5.2.1复数（题型战法）- 备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）

第五章 平面向量与复数

5.2.1 复数（题型战法）

知识梳理

一 复数的有关概念

1.虚数单位:

（1）它的平方等于，即；（2）的周期性：，，，（）.

2. 概念形如（）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。

3.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：

（）

4.复数相等的充要条件：如果，那么.

5.共轭复数：复数和（）互为共轭复数。

二 复数四则运算

；

；

。

三 复数的几何意义

1. 复平面、实轴、虚轴：

复数复平面内的点

2.复数的模

.

题型战法

题型战法一 复数的四则运算

典例1．（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的加法运算直接计算作答.

【详解】

.

故选：A

变式1-1．等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

直接由复数的减法运算求解即可.

【详解】

.

故选：D.

变式1-2．（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的乘法可求.

【详解】

，

故选：D.

变式1-3．（       ）

A．－1 B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由复数的除法法则求解即可

【详解】

，

故选：B

变式1-4．已知复数z满足，其中为虚数单位，则（       ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数除法即可求得复数z

【详解】

由，可得

故选：B

题型战法二 虚数单位及其性质

典例2．已知复数z满足（其中为虚数单位），则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数乘方化简可得结果.

【详解】

，由可得.

故选：A.

变式2-1．计算：（       ）

A． B． C．0 D．

【答案】A

【解析】

【分析】

直接由复数的除法及复数的乘方运算求解即可.

【详解】

因为，

故.

故选：A.

变式2-2．复数等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的乘法、乘方与除法法则化简可得结果.

【详解】

因为，

所以，，

故选：D.

变式2-3．复数的值为（       ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数的乘方计算即可.

【详解】

因为，

所以

.

故选：B

变式2-4．已知i为虚数单位，复数，则（          ）

A． B． C． D．0

【答案】C

【解析】

【分析】

先由复数的除法运算计算出，再按照乘方运算计算即可.

【详解】

，则，，，故.

故选：C.

题型战法三 复数的实部与虚部

典例3．已知复数，则的虚部为（       ）

A．2 B．11 C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数乘法求出，即可确定其虚部.

【详解】

因为，所以的虚部.

故选：C

变式3-1．已知复数，则的实部是（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出复数z，即可得到的实部.

【详解】

由，可得复数的实部为.

故选：B.

变式3-2．复数，则z的虚部为（       ）．

A．3 B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算法则化简，再由虚部的定义求解即可.

【详解】

复数

所以的虚部为，

故选：B.

变式3-3．已知，则z的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的四则运算及复数的概念即可求解.

【详解】

解：因为，故，

所以z的虚部为.

故选：A.

变式3-4．设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知条件求得的值，利用复数的乘法化简可得结果.

【详解】

因为复数的虚部与复数的虚部相等，则，则，

因此，.

故选：D.

题型战法四 复数的分类

典例4．设i为虚数单位，若复数是实数，则实数a的值为（       ）

A．－1 B．0 C．1 D．2

【答案】C

【解析】

【分析】

由复数乘法法则化复数为代数形式，再由复数的分类求解．

【详解】

，它是实数，

则，．

故选：C．

变式4-1．若复数为纯虚数，则实数（       ）

A． B． C．7 D．5

【答案】A

【解析】

【分析】

根据已知条件，结合纯虚数的概念和复数代数形式的乘法运算，即可求解．

【详解】

解：，

又复数为纯虚数，

，解得．

故选：A．

变式4-2．已知复数与都是纯虚数，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

设，再设求解即可

【详解】

设，，则，故，解得，故

故选：C

变式4-3．若复数是实数，则实数（　　）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【解析】

【分析】

化简复数，结合复数的分类，列出方程，即可求解.

【详解】

由题意，复数，

因为复数是实数，所以，解得.

故选：A.

变式4-4．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）为纯虚数，那么z的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数除法运算化简复数z，结合纯虚数即可求解结果．

【详解】

∵z为纯虚数，

∴，

∴

∴z的虚部为

故选：A

题型战法五 共轭复数

典例5．设复数满足，为虚数单位，则共扼复数（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据虚数单位的性质结合复数的除法运算，可求出，即可求得.

【详解】

，.

故选：D.

变式5-1．已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的概念判断可得出合适的选项.

【详解】

，则，

故的虚部为.

故选：D.

变式5-2．已知复数满足，则（       ）

A．5 B． C． D．2

【答案】A

【解析】

【分析】

运用复数的运算及共轭复数的概念即可得到结果.

【详解】

由得，

则，

所以，

故选:A.

变式5-3．若复数z满足：，则的共轭复数的虚部为（       ）

A．-2 B．i C．0 D．2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用复数的乘方、加减运算计算即可判断作答.

【详解】

因，则，

所以所求共轭复数为，其虚部为0.

故选：C

变式5-4．设是虚数单位，若复数（），且z的共轭复数是实数，则a的值为（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数的运算法则，化简复数，得出共轭复数，根据是实数，列方程，即可求出a的值.

【详解】

由题意，复数，则，

因为复数是实数，所以，解得，

即实数a的值为2.

故选：D.

题型战法六 复数的相等

典例6．已知复数，，，则（       ）

A．3 B．1 C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数相等的充要条件，求出、，进而求出.

【详解】

，，

，.

故选：C.

变式6-1．若（，i为虚数单位），则（       ）

A．2 B．0 C． D．1

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数乘法及复数相等可得，即可得答案.

【详解】

由，即，

所以.

故选：B

变式6-2．复数满足（是虚数单位），则复数的共轭复数（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

设，代入中化简可求出的值，从而可求得答案

【详解】

设，

因为，

所以，

所以，

所以，解得，

所以，所以，

故选：B

变式6-3．若复数z满足.则z等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

设出复数，由共轭复数及复数的乘法化简得到，解方程即可求解.

【详解】

设，则，，

则，解得，故.

故选：A.

变式6-4．若是关于x的方程的一个根，则（       ）

A． B．0 C．2 D．4

【答案】D

【解析】

【分析】

将代入方程，利用复数相等，列出满足的等量关系，即可求得结果.

【详解】

依题意，，

所以所以则．

故选：D

题型战法七 复数的坐标表示

典例7．已知复数（是虚数单位），则所对应的点所在象限为（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

化简，由共轭复数的定义知，再由复数的几何意义知所对应的点为，在第一象限，即可得出答案.

【详解】

，则，

所对应的点为，在第一象限.

故选：A.

变式7-1．复数在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数的乘法运算算出，然后可得答案.

【详解】

由题意得，所以z在复平面内对应的点位于第一象限．

故选：A

变式7-2．若，则在复平面内复数z对应的点在（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

先由已知求得复数z，即可确定复数对应的点所在象限.

【详解】

解：由可得，，

则在复平面内复数对应的点为，位于第一象限

故选：A.

变式7-3．复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．无解

【答案】C

【解析】

【分析】

根据复数对应的点在第三象限，让实部虚部均小于0，计算得解.

【详解】

解：化简可得：复数，

因为其对应的点在第三象限内，所以，解得．

故选：C.

变式7-4．若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（       ）.

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数运算法则计算得 ，根据点所在象限列不等式组即可求解.

【详解】

解：由题得 ，在复平面内所对应的点在第四象限，

所以 ，解得 .

所以.

故选：B

题型战法八 复数的模

典例8．已知是虚数单位，，则=（       ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由除法法则化简复数，然后由模的定义计算．

【详解】

，，

故选：B．

变式8-1．若复数满足，则的模为（       ）

A．5 B．3 C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数乘法和减法的运算法则，结合复数模的计算公式进行求解即可.

【详解】

，所以，所以.

故选：A.

变式8-2．若复数z的共轭复数是，且，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据复数的四则运算法则以及共轭复数的概念计算即可.

【详解】

由题意，不妨假设 ，则 ，且 ，

， ， ；

故选：C.

变式8-3．复数z1，z2满足z1∈R，，则z1＝（       ）

A．1 B．2 C．0或2 D．1或2

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可设z1＝a，结合复数求模的公式即可得出结果.

【详解】

解：因为z1∈R，可设z1＝a，且a∈R，

由z2＝1+i，得z1﹣z2＝（a﹣1）﹣i，

又因为|z1﹣z2|＝，

所以（a﹣1）2+（﹣1）2＝2，

解得a＝0或a＝2，

所以z1＝0或2．

故选：C．

变式8-4．复数z满足，则的最大值为（       ）

A．1 B． C．3 D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由复数模的几何意义可得复数对应点在以为圆心，1为半径的圆上运动，数形结合可得的最大值.

【详解】

设，

，复数对应点在以为圆心，1为半径的圆上运动.

由图可知当点位于点处时，点到原点的距离最大，最大值为3.

故选：C.

【点睛】

两个复数差的模的几何意义是：两个复数在复平面上对应的点的距离.