2020-2021学年4.2 等差数列复习练习题

4.2.2等差数列前n项和

(时间：120分钟，分值：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在等差数列中，，S，是数列的前n项和，则S2020=（    ）

A．2019 B．4040 C．2020 D．4038

【答案】B

【分析】

由等差数列的性质可得，则可得答案.

【详解】

等差数列中,

故选：B

2.设等差数列的前项和为，若，则必定有（    ）

A．，且 B．，且

C．，且 D．，且

【答案】A

【分析】

根据已知条件，结合等差数列前项和公式，即可容易判断.

【详解】

依题意，有，则故选：.

3.已知数列的前项和，，则（    ）

A．20 B．17 C．18 D．19

【答案】C

【分析】

根据题中条件，由，即可得出结果．

【详解】

因为数列的前项和，

所以．

故选：C．

4.已知递减的等差数列满足，则数列的前n项和取最大值时n=（    ）

A．4或5 B．5或6 C．4 D．5

【答案】A

【分析】

由，可得，从而得，然后利用二次函数的性质求其最值即可

【详解】

解：设递减的等差数列的公差为（），

因为，所以，化简得，

所以，对称轴为，因为，，

所以当或时，取最大值，故选：A

5.设是等差数列，从中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

分取连续3项，隔一项，…，隔4项时，列举求解.

【详解】

当取连续3项时，有共8个，其倒序仍然是等差数列，因此共有16个，

当取隔一项时，有共6个，其倒序仍然是等差数列，因此共有12个，

…

当取隔4项时，有共2个，其倒序仍然是等差数列，因此共有4个，

综上：这样不同的等差数列最多有个.

故选：A

6.如果有穷数列满足，那么称该数列为“对称数列”．设是项数为的“对称数列”，其中是首项为50，公差为-4的等差数列，记的各项之和为，则的最大值为（    ）

A．622 B．624 C．626 D．628

【答案】C

【分析】

由等差数列的求和公式求得，根据题设数列的新定义，得到，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】

由题意，是首项为50，公差为-4的等差数列，

可得，

所以，

当时，取到最大值，且最大值为626．

故选:C．

7.已知数列的前n项和为，，，则（    ）

A．414 B．406 C．403 D．393

【答案】B

【分析】

利用两式相减得，再利用两式相减可得，由此可得，进一步可得答案.

【详解】

由，两式相减得，即.

再由，两式相减得，由，得，

故为以14为首项，8为公差的等差数列，故，

故.

故选：B

8、有一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2021个数字为（    ）

A．5979 B．5980 C．5981 D．以上都不对

【答案】C

【分析】

首先分析出第次报数的个数，得到第次报完数后总共报数的个数，计算出是第次报数中会报到第2020个数字，再计算当第次报数时，3人总的报数次数，

再推算出此时报数的最后一个数，再推出报出的第2021个数字.

【详解】

由题可得第次报数的个数为，

则第次报完数后总共报数的个数为，

再代入正整数，使的最小值为37，得，

而第37次报时，3人总共报数为次，

当第次报完数3人总的报数个数为，

即报出的第2035个数字为，

故报出的第2021个数字为.

故选：C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第天所织布的尺数为，，则（    ）

A． B．数列是等比数列

C． D．

【答案】BD

【分析】

利用等差数列前项和公式列方程，由此求得，进而求得.由此对选项逐一分析从而确定正确选项.

【详解】

由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，首项，

则，解得，

∴.

∵，∴，

∴数列是等比数列，B选项正确；

∵，∴，A选项错误；

，∴，C选项错误；

，，

∴，D选项正确.

故选：BD.

10.设等差数列的前n项的和为，公差为d，已知，，，则（    ）

A． B． C． D．时，n的最小值为13

【答案】ACD

【分析】

根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n项和公式依次分析选项，结合基本量的运算即可得到答案.

【详解】

由题意，，而，可以判断是递减数列，又，所以，C正确，而，D正确；

又，所以，B错误；

而，A正确.

故选：ACD.

11.已知两个等差数列和的前项和分别为，，且，则使得为整数的正整数可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】

首先利用等差数列前项和公式，求出与之间的关系，进而可求出，然后根据已知求解即可.

【详解】

由题意，可得，

∵和均为等差数列，

∴，

同理，，

∴，

若为整数，则只需，，，.

故选：AC.

12.已知数列{an}满足a1＝1，nan+1﹣（n+1）an＝1，n∈N*，其前n项和为Sn，则下列选项中正确的是（　　）

A．数列{an}是公差为2的等差数列

B．满足Sn＜100的n的最大值是9

C．Sn除以4的余数只能为0或1

D．2Sn＝nan

【答案】ABC

【分析】

令，由题干条件可得，可得，可求得，，依次分析即可判断

【详解】

由题意，nan+1﹣（n+1）an＝1，故

令，则

则

即

故，数列{an}是公差为2的等差数列，A正确；

，满足Sn＜100的n的最大值是9，B正确；

当时，除以4余1；当时，除以4余0；当时，除以4余1；当时，除以4余0，C正确；

，D错误.

故选：ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为       

【答案】11

【分析】

使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到的最大值．

【详解】

若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，

不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，

则，，所以.对于，，

取数列各项为(，,则，

所以n的最大值为11．

14.已知正项数列满足，且，其中为数列的前项和，若实数使得不等式恒成立，则实数的最大值是________.

【答案】9

【分析】

由题意可得数列为等差数列，由可得的表达式，由分离参数可得，设利用其单调性可得的最大值.

【详解】

解：依题意，数列为等差数列，因为，

即，即，因为，

即，因为在时单调递增，

其最小值为9，所以，故实数的最大值为9.

15.．数列满足，则的80项和为________.

【答案】

【详解】

试题分析：因为当为奇数时，所以，因此，此数列每四项构成首项为，公差为的等差数列，的项和为，故答案为.

16.首项为正数的递减等差数列的前项和为，且对任意项序数，总存在正整数，满足，则的最小值为______．

【答案】

【分析】

首先利用前项和公式，将条件变形为，并由条件可知，并且时，由，得，推理得到，计算求得，再代入，利用二次函数求最值.

【详解】

由题意知，，，则，

当时，∴，

当时，，，，

又，，则，则，∴，

∴，∴，∴，

∴，∴或时取最小值为．

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17（10分）

在①；  ②；③. 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.  问题：已知数列的前项和为，，      .

（1）求数列的通项公式；

（2）求的最大值.

【答案】

（1）

（2）12

【分析】

（1）若选择条件①，利用得数列的递推关系，证得数列是等差数列，求出后可得通项公式；

若选择条件②，直接利用得证数列是等差数列，易得通项公式；

若选择条件③，已知式变形栣出新数列是等差数列，求出后再由求得通项公式；

（2）由等差数列前项和公式求得前项和，利用二次函数性质得最大值．

（1）

若选择条件①：因为

所以，

两式相减得，，，即，又，

即，所以，，又，，所以，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．

所以

若选择条件②：由，得，即，

所以数列是等差数列，公差为，又因为，  

所以数列的通项公式为  

若选择条件③：由，变形为，

在原式中令得，又，所以，所以，

所以数列是等差数列，首项为6，公差为-2.

所以，所以，

所以当时，，

符合上式，所以数列的通项公式为

（2）

因为，

所以当或4时，取最大值为12 ．

18.（12分）

已知等差数列的前n项和为，且，

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求的值.

【答案】

（1）

（2）58

【分析】

（1）由等差数列的性质和基本量运算求得数列的首项和公差，然后可得通项公式；

（2）确定数列项的正负，然后分组求和．

（1）

因为是等差数列，所以，，

又，所以，所以，，

从而，

，

（2）

由（1）时，，时，，

所以.

19.（12分）

已知是正项数列的前n项和，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若不等式恒成立，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）当时，得，当时，，进而得是首项为1，公差为1的等差数列，故；

（2）结合（1）得，进而将问题转化为恒成立，再根据数列的函数属性求最值即可得答案.

【详解】

解：（1）当时，由题得

因为是正项数列，所以

当时，，因为，所以，

所以是首项为1，公差为1的等差数列，所

以.

（2）因为，所以，根据已知条件得，

恒成立，

即恒成立

设，于是有.

因为函数在上单调递减，在上单调递增，

又，

所以，

所以的最小值为.

20.（12分）

已知数列中，，且点在直线上.

（1）函数 且，求函数的最小值；

（2）设，表示数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，，证明见解析.

【分析】

（1）首先求数列的通项公式，代入后求，利用放缩法证明数列的单调性，再求函数的最小值；（2）由条件可知， ，即，利用累加求和变形求得.

【详解】

（1）点在直线上，即，且

数列是以1为首项，1为公差的等差数列，

.

，

，

是单调递增的，故的最小值是.

（2），

，

即，

，，，

，

，

.

21.（12分）

已知数列的前和记其中表示不超过的最大整数，如

（1）求数列的通项公式；

（2）设求数列的前项和

（3）求数列的项和.

【答案】

（1）；

（2）=；

（3）.

【分析】

（1）由，可知当时，，再利用，即可求出数列的通项公式；

（2）由（1）得，=，再利用裂项相消法即可求出；

（3）由（1）知，结合题意可求出，，，，即可求出数列的项和.

（1）

解：，①

当时，，②

由①-②得，

当时，，满足上式，

数列的通项公式为：.

（2）

解：由（1）知，=，

所以数列{}前项和为：

==.

（3）

解：由（1）知，

，

由于在上单调递增，且

，，

，，

数列的前500项和为：.

22.（12分）

已知数列的前项和为，，且（），数列满足（），，其前11项和为88．

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求的值．

【答案】（1），；（2）.

【分析】

（1）由条件得，进而得，再由可得解；

（2）由根据分组求和和列项求和得，再由作差法判断单调性，求得，进而可得解.

【详解】

（1）由，得．

所以数列是以首项为1，公差为的等差数列．

因为，即．

于是．因为，所以．

又因为，所以数列是等差数列．

由的前11项和为88得，，得，

所以公差．

所以．

（2）由（1）知，

．

所以．

设，

因为

，所以单调递增，故．

因为，所以．

因为对任意正整数，，所以，，

即的最大值为，的最小值为3，所以．