高中数学第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用课后练习题

5.2导数运算

(时间：120分钟，分值：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知函数，则等于（    ）

A．0 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】

利用诱导公式化简函数，再对函数求导，从而可求得的值.

【详解】

∵，∴，则，∴.故选：D.

2已知函数，其导函数为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

求出的表达式，在、的表达式中，分别令，可得出关于、的方程组，即可解得、的值.

【详解】

因为，所以.

因为，所以，

故.故选：C.

3.函数y＝ (a＞0)在x＝x0处的导数为0，那么x0＝（    ）

A．a B．±a C．－a D．a2

【答案】B

【分析】

求导得y′＝，解方程－a2＝0即得解.

【详解】

y′＝′＝＝，由－a2＝0，得x0＝±a.故选：B

4.若函数，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

求导函数，解不等式，结合定义域即可．

【详解】

函数的定义域为，由，得．故选：B．

5.已知数列为等比数列，其中，，若函数，为的导函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据等比数列的性质和导数的运算法则即可求出.

【详解】

，，为等比数列，

，

，

则.

故选:C.

6.函数的导函数在区间上的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

求导，由导函数的奇偶性可判断

【详解】

∵，∴，

∴，∴为奇函数，

故选：C.

7.设函数，其中，则导数的取值范围是（    ）

A．[－2，2] B． C． D．

【答案】D

【分析】

对函数求导得，进而得到，求三角函数的值域，即可得到答案；

【详解】，

，故选：D

8.已知是函数的导函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

设，可得，再根据求出，即可求解不等式.

【详解】

设，，，

，，，，

即，解得，所以不等式解集为，故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列求导运算不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】

利用基本初等函数的导数公式和运算法则求解.

【详解】

，故A错误；

，故B正确；

，故C错误；

，故D错误．

故选：ACD

10.定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”，有下列函数：

A              B

C              D．

其中只有一个“新不动点”的函数有（    ）

A．A B．B C．C D．D

【答案】ABC

【分析】

根据“新不动点”定义逐个验证即可.

【详解】

对于A，，由得，∴只有一个“新不动点”，故A正确；

对于B，，由得，∴只有一个“新不动点”，故B正确；

对于C，，根据和的图象可看出只有一个实数根，∴只有一个“新不动点”，故C正确；

对于D，，由得，∴，

根据和的图象可看出方程有无数个解，∴有无数个“新不动点”，故D错误．

故选：ABC．

11.给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】

求出每个选项中函数的二阶导函数，并验证是否对任意的恒成立，由此可得出合适的选项.

【详解】

对于A，，，

当时，，，故不是凸函数；

对于B，，，故是凸函数；

对于C，，对任意的，，故是凸函数；

对于D，，对任意的，，故不是凸函数．

故选：AD．

12.已知函数，则函数的零点个数可能为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】BCD

【分析】

根据题意，得到函数的零点即是函数与直线图像交点的横坐标，画出的大致图像如下，结合函数图像，即可得出结果.

【详解】

由可得，

则函数的零点即是函数与直线图像交点的横坐标，

画出的大致图像如下，

由得，所以曲线在点处的切线斜率为，

此时的切线方程为，即，恰好过点，

又直线也过点，

所以由图像可得，当时，直线与函数的图像有两个交点；即函数有两个零点；

当时，直线只与函数在的图像有一个交点，即函数有一个零点；

当时，直线与函数有三个不同的交点，即函数有三个零点；

综上，函数的零点个数可能为，，.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.已知函数，若是奇函数，则______．

【答案】

【分析】

首先利用复合函数求导法则求出，然后利用辅助角公式化简，根据奇函数性质可得到，最后结合的范围即可求解.

【详解】

因为，

所以，

若为奇函数，则，即，

所以，又因为，所以．故答案为：.

14.已知函数，其导函数记为，则

【答案】2

【分析】

函数，分析其性质可求的值 ，再求并讨论其性质即可作答.

【详解】

由已知得定义域为R，令，，

则，即是奇函数，

，显然是偶函数，

，所以有2.

15.已知函数，若对任意两个不相等的正实数，，恒成立，则实数的取值范围是______________．

【答案】

【分析】

由可判断函数应在对应的导数值恒成立

【详解】

由，要使在恒成立，由基本不等式得，可得，

故答案为

16.已知函数，令，若函数有四个零点，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【分析】

可作出的图像，将问题转化为函数与直线的交点问题，观察图像可得到答案.

【详解】

当时，，

可理解为函数与直线的交点问题（如图）

令，有，设切点的坐标为，

则过点的切线方程为，

将点坐标代入可得：，

整理为：，

解得：或，得或，

故，而，两点之间的斜率为，

故.

四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17（10分）

求下列函数的导数：

（1）；

（2）.

【答案】

（1）

（2）

【分析】

（1）先化简，再由导数的运算法则求解即可；

（2）由导数的运算法则和复合函数的运算法则求解即可

（1）

因为，

所以

（2）

因为，

所以

18.（12分）

写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数．

（1）y＝；（2）；（3）；（4）．

【答案】（1）中间变量： 函数的导数：

（2）中间变量： 函数的导数：

（3）中间变量： 函数的导数：

（4）中间变量： 函数的导数：

【分析】

根据基本初等函数来寻找中间变量，再结合基本初等函数和符合函数的求导法则进行运算即可.

【详解】

解：（1）引入中间变量．

则函数是由函数与复合而成的．

查导数公式表可得，．

根据复合函数求导法则可得．

（2）引入中间变量，

则函数是由函数与复合而成的，查导数公式表可得，．

根据复合函数求导法则可得

（3）引入中间变量，

则函数是由函数与复合而成的，

查导数公式表得，，

根据复合函数求导法则可得

（4）引入中间变量，

则函数是由函数与复合而成的.

查导数公式表可得，．

根据复合函数求导法则可得

．

19. （12分）

已知函数f(x)是关于x的二次函数，其导函数为f′(x)，且∀x∈R，恒成立，求函数f(x)的解析式．

【答案】

【分析】

根据题意设出，然后利用基本函数的导数代入

求出参数，便可求得函数f(x)的解析式.

【详解】

解：设，则又

恒成立∴∴

．

  故函数的解析式为.

20.（12分）

已知函数，将满足的所有正数x从小到大排成数列，证明：数列为等比数列．

【答案】证明见解析.

【分析】

对函数求导得，再利用等比数列定义可得，即可得到答案；

【详解】

证明：

因为，即，又x为正数，解得，为正整数，

从而

所以，

，则.

所以数列首项为，公比为的等比数列．

21.（12分）

已知，函数的导函数为．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据，得到，对其求导，得出切线斜率，进而可求出切线方程；

（2）先对函数求导，分别计算，，，将所求式子化简整理，即可得出结果.

【详解】

（1）若，则，所以，

则，即曲线在点处的切线斜率为，

又，

所以所求切线方程为：；

（2）由得

，

所以，，，

因此

.

22.（12分）

已知在函数（）的所有切线中，有且仅有一条切线与直线垂直．

（1）求的值和切线的方程；

（2）设曲线在任一点处的切线倾斜角为，求的取值范围．

【答案】（1）（2）或．

【详解】

（1），由题意知，方程有两个相等的根，

∴，∴．

此时方程化为，得，

解得切点的纵坐标为，

∴切线的方程为，即．

（2）设曲线上任一点处的切线的斜率为（由题意知存在），

则由（1）知，

∴由正切函数的单调性可得的取值范围为或．