数学选择性必修 第二册4.3 等比数列课后复习题

1、等比数列的概念

2、等比中项及“高斯技巧”

3、等差等比纠缠数列

4、二阶等比数列

5、奇偶分段和正负相间的数列

6、等比数列有关的最值

7、高中联赛题选。

      一、等比数列的概念

1.基本定义和公式：

（1）定义：数列{an}若满足=q(q为常数)称为等比数列。q为公比。

（2）通项公式：an=a1qn-1(a10、q0)。

2.等比数列通项涉及到指数幂形式，所以对应的计算要稍微复杂些，一般情况下是构造首项和公比的方程，在实际计算过程中，常常通俗的归纳为“等差数列两式常做差，等比数列两式常做商”

【典型例题】

【例1】下列数列一定是等比数列的是（    ）

A．数列1，2，6，18，…

B．数列中，，

C．常数列，，…，，…

D．数列中，

【例2】已知等比数列，，，则（    ）

A． B． C． D．

【例3】如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为（    ）

，

，，

…

A． B．

C． D．

【例4】如果，，，，成等比数列，那么（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【例5】已知等比数列中，，，则（    ）

A．16 B．8 C．4 D．2

【例6】已知等比数列，则下面对任意正整数都成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【例7】设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则值为（    ）

A． B． C． D．

【对点实战】

1.设数列为公比不为的等比数列，则下面四个数列：①；②(为非零常数)；③；④其中是等比数列的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2.已知等比数列满足，，则（     ）

A．12 B．16

C．32 D．64

3.已知为等比数列，下列结论中正确的是（    ）

A．

B．若，则

C．若，则

D．

4.在递增的正项等比数列中，和是方程的两个根，则（    ）.

A．4 B． C． D．2

5.已知数列满足，且，则（    ）．

A．10 B．11 C．12 D．13

6.已知数列为各项都是正数的等比数列，，则（    ）

A． B． C． D．

7.等比数列的公比，中有连续四项在集合中，则等于（    ）

A． B．

C． D．

      二、等比中项及“高斯技巧”

1.等比中项的定义

如果x、G、y成等比数列，那么G叫做x与y的____________，且G2＝________.

2. 扩展性质：“高斯技巧”

若 m+n=s+t，则aman=asat,特别地，若m+n=2p，则aman=a2p

【典型例题】

【例1】设数列为等比数列，且，则必有（    ）

A． B． C． D．

【例2】若，，成等比数列，是，的等比中项，是，的等比中项，则（    ）

A． B． C．，，同号 D．与同号

【例3】在等比数列中，，则=（    ）

A． B． C． D．

【例4】在正项等比数列中，已知，，，则等于（     ）

A． B． C． D．

【例5】已知等比数列的各项均为正数，且，则（     ）

A． B． C． D．

【例6】已知等比数列的各项均为正数，若，则（    ）

A．4 B．3 C．2 D．8

【例7】在等比数列中，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【例8】已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为，则可能的一个值是（    ）

A． B． C．2 D．

【对点实战】

1.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则等于（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

2.在等比数列中，，，则的值为（    ）

A．48 B．72 C．144 D．192

3.在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

4.在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

5.已知数列的首项为1，数列为等比数列，且，若，则（    ）

A．1008 B．1024

C．2019 D．2020

6.已知数列中，，，若，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

      三、等差等比纠缠数列

【典型例题】

【例1】如果一个数列既是等差数列又是等比数列，则此数列（    ）

A．为常数数列 B．为非零的常数列 C．存在且唯一 D．不存在

【例2】已知正项等比数列中，，且成等差数列，则该数列公比为（　　）

A． B． C． D．

【例3】正项等比数列的公比，且成等差数列，则的值（    ）

A． B． C． D．或

【例4】已知数列，，，成等差数列，，，成等比数列，则的值是（    ）

A． B． C．或 D．

【例5】在正项等差数列和正项等比数列中，有，，则与的大小关系为（    ）．

A． B． C． D．

【例6】已知数列满足，下列结论正确的是（    ）

A．当时，的最大值258 B．当时，的最小值

C．当时，的最小值 D．当时，的最大值

【例7】若四个正数成等差数列，是和的等差中项，是和的等比中项，则和的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【例8】设是无穷数列，，给出命题：①若是等差数列，则是等差数列；②若是等比数列，则是等比数列；③若是等差数列，则是等差数列，其中正确命题的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【例9】若等差数列的公差不为0，数列中的部分项组成的数列，，，，恰为等比数列，其中，，，则满足的最小的整数是（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【例10】 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【例11】无穷数列中是首项为10，公差为的等差数列，是首项为公比为的等比数列，对任意，均有成立．若，则的值有多少个（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【对点实战】

1.下列说法错误的是（    ）

A．给出数列的有限项一定能唯一确定这个数列的通项公式

B．若等差数列的公差，则是递增数列

C．若，，成等差数列，则，，一定成等差数列

D．若数列是等差数列，则数列一定是等比数列

2.下列命题中正确的是（    ）

A．若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列

B．若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列

C．若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列

D．若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列

3.已知数列，，，，成等差数列，数列，，，，成等比数列，则（    ）

A． B． C． D．

4.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（    ）

A．－24 B．－3

C．3 D．8

5.已知等差数列的各项均为正数，，且，，成等比数列.若，则（    ）

A． B． C． D．

6.已知不全相等的实数，，成等比数列，则一定不可能是等差数列的为（    ）

A．，， B．，， C．，， D．，，

7.已知公差不为0的等差数列的第4，7，16项恰好分别是某等比数列的第4，6，8项，则该等比数列的公比是（    ）

A． B． C．± D．±

      四、二阶等比数列

【典型例题】

【例1】在数列中，，且，则的通项为（    ）

A． B．

C． D．

【例2】设数列满足，且，则（    ）

A．为等比数列 B．为等比数列

C．为等比数列 D．为等比数列

【例3】已知在数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【例4】已知数列满足：，，则（    ）

A． B． C． D．

【对点实战】

1.数列的首项，且，令，则（    ）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

2.设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，则通项an可能是（ ）

A．5－3n B．3·2n－1－1

C．5－3n2 D．5·2n－1－3

      五、奇偶分段和正负相间的数列

【典型例题】

【例1】在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，an＋1＝2an－1，则a12等于（    ）

A．32 B．34 C．66 D．64

【例2】已知等比数列中，，则公比（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【例3】设各项为正数的等比数列中，公比，且，则(    )

A． B． C． D．

【例4】已知数列中，，且（），则（    ）．

A． B． C． D．

【例5】数列满足，，若为等比数列，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

      六、等比数列有关的最值

【典型例题】

【例1】已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为（    ）

A．12 B．18 C．24 D．32

【例2】设等比数列满足，，则使最大的n为（    ）

A． B．3 C．3或4 D．4

【例3】已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（    ）

A．9 B． C． D．

【例4】已知数列中，，是公比为的等比数列，记，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【例5】在等比数列中， ，则能使不等式成立的最大正整数是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【例6】各项不为的等差数列，满足，数列是各项为正的等比数列，且，则的最小值是（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【对点实战】

1.已知为各项都大于零的等比数列，公比，则（    ）

A．             B．

C．             D．与的大小关系不能由已知条件确定

2.已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（    ）

A．4 B． C． D．9

3.等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．1

4.在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（    ）

A．25 B． C．5 D．

5.已知数列满足，，，则数列的最小项为（    ）

A． B． C． D．

      七、高中联赛、竞赛与自主招生题选

【例1】设，，，则的值为______．

【例2】设，，…，满足，，且，则数列的通项______.