人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列精练

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4.2.1
等差数列



【知识目录】



1. 等差数列的判定与定义
2. 等差数列的性质及计算
3.递推公式之等差数列
4.等差数列的函数性质和最值范围
5.实际应用题
6.等差数列综合应用
7. 高中联赛、竞赛与自主招生题选
典例分类精讲






Ø 一、等差数列的判定与定义
1. 等差数列判定，可以用定义法。如例题1
2. 等差数列的结构性变化，是否依旧具有等差性质，否定很简单，可以代指否定，否则依旧要用定义来确认。如例题2
3. 判断难点是类似例题3这一类递推型，需要通过构造求出通项公式。通项公式是关于n的一次函数形式，即为等差数列。
4. 注意多个等差数列的“加减乘除”是否具有等差性质，如例题4和5。
一般情况下，以下几条推论成立：
（1）若{an}，是等差数列，则是等差数列
（2）若{an}是等差数列，则每隔k项取出一项，依旧是等差数列（跳棋性质）
若{an}是等差数列且公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．
若{an}是等差数列且公差为d，则{a2n－1＋a2n}也是等差数列，公差为4d．
类似这样的规律，可以多举例子（实际授课时，用跳棋来打比方）增加理解，但不要求学生记忆。
5.稍微复杂的递推公式，要在鉴别出“累加法”“累积法”以及“周期数列”的特征基础上，可以推导出等差数列的定义形式，如例题6及本专题对点实战中的题。


【典型例题】
【例1】已知数列是公差不为零的等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
A中设数列的公差为，求出的表达式，再根据等差数列的定义判断．BCD中通过特例求出，根据通项公式形式可判断．
【详解】
A．设数列的公差为，由，又由，故数列也一定是等差数列.
若，是等差数列，
B．，不是等差数列，
C．，不是等差数列，
D．，不是等差数列，
故选：A．
【例2】下列说法中正确的是（ ）
A．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a+2，b+2，c+2成等差数列，
D．若a，b，c成等差数列，则成等差数列
【答案】C
【分析】
选项A、B、D举反例即可判断，选项C可用等差数列的定义判断
【详解】
对于A选项，成等差数列，但不成等差数列，故A错误；
对于B选项，成等差数列，但为不成等差数列，故B错误；
对于C选项，由于a，b，c成等差数列，故，则，即a+2，b+2，c+2成等差数列，C正确；
对于D选项， 成等差数列，但不成等差数列, 故D错误
故选：C
【例3】若数列满足，，则此数列是（ ）
A．等差数列 B．等比数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既非等差数列又非等比数列
【答案】A
【分析】
首先判断数列是常数列，求得数列的通项公式后，判断选项.
【详解】
由条件可知，所以数列是常数列，，所以，即，，
所以数列是等差数列.故选：A
【例4】 已知无穷数列和都是等差数列，其公差分别为和，若数列也是等差数列，则（ ）
A． B．
C．，可以是任何实数 D．不存在满足条件的实数和
【答案】B
【分析】
根据题意，得到，整理，即可得出结果.
【详解】
因为无穷数列和都是等差数列，其公差分别为和，且数列也是等差数列，
所以，即，
整理得，即，
即和中有一个等于零，或两者都为零；因此ACD都不正确；
故选：B．
【例5】设公差为-2的等差数列，如果，那么（ ）
A．-72 B．-78
C．-182 D．-82
【答案】D
【分析】
利用等差数列通项公式及性质求得答案．
【详解】∵{an}是公差为﹣2的等差数列，
∴a3+a6+a9+…+a99＝（a1+2d）+（a4+2d）+（a7+2d）+…+（a97+2d）＝a1+a4+a7++a97+33×2d＝50﹣132＝﹣82．故选：D．
【例6】已知数列满足递推关系：,,则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用数列递推关系,结合等差数列的定义得数列是首项为,公差为的等差数列,再利用等差数列的通项公式计算即可．
【详解】
解：,,又,数列是首项为,公差为的等差数列,即
,即.故选C．

【对点实战】
1.下列命题中正确的个数是
①若a，b，c成等差数列，则一定成等差数列；
②若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列；
③若a，b，c成等差数列，则一定成等差数列；
④若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据等差数列的定义，利用列举法和举反例法判断①②④，利用等差中项的性质判断③即可.
【详解】
对于选项①：取，
由等差数列的定义可知，选项①错误；
对于选项②：例如，即与a，b，c都是公差为的等差数列，故选项②正确；
对于选项③：，b，c成等差数列，，即一定成等差数列，故选项③正确；
对于选项④：，即是公差为等差数列，故选项④正确.
故选：C

2.已知等差数列的公差为，则（为常数且，）是
A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列
C．非等差数列 D．公差为的等差数列
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列定义，作差即可判断公差。
【详解】
因为
所以是公差为cd的等差数列，
故选D．
3.已知数列，为常数，那么下列说法正确的是
A．若是等差数列时，不一定是等差数列
B．若不是等差数列时，一定不是等差数列
C．若是等差数列时，一定是等差数列
D．若不是等差数列时，一定不是等差数列
【答案】D
【详解】
当是等差数列时，由等差数列的性质可知，
一定是等差数列，A错；
对于数列：1，2，4，5，令，
则为等差数列，B错；
当时， 0，0，0，0是等差数列，但不是等差数列，C错．
故选：D．
4.数列满足，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由等差中项可知数列是等差数列，利用等差数列通项公式即可求解.
【详解】
由，可知：数列是等差数列，
首项为，公差为：.∴，∴.故选：A
5.已知递增数列中，，且()，则（ ）
A．360 B．362 C．364 D．366
【答案】B
【分析】
根据递推关系可得，从而证明数列是以为首项，1为公差的等差数列，求出通项公式，即可得答案.
【详解】
由，得.
因为数列是递增数列，且，所以得，
所以，即.
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
所以，即，
所以.
故选：B.

Ø 二、等差数列的性质及计算
1. 等差中项既可以作为等差定义用，也可以计算中化简，如例题1
2. “高斯技巧”：（类比高斯的5050数计算原理，也就是“倒序求和”）
若{an}是等差数列，且k＋l＝m＋n(k、l、m、n∈N*)，则__ak＋al＝am＋an_
授课时，要讲清：（1）可以三项对三项；（2）可以是相同项。
“高斯技巧”实质是广义的等差中项。使用“高斯技巧”，可以快速找出数量关系，避免列方程计算，如例题2 和3。
3. 等差数列可推得如下通项公式及推论：。此性质，有经典题型，例题4.
此处建议授课时， 用直线斜率解释。
4. 等差数列满足等式，既可以设首项和公差列方程计算，也可以通过“高斯技巧”简化来计算，如例题5
5. 等差数列，结合定义，可得经验口诀：“等差数列相同结构式子可作差，等比数列可做商”。如例题6.

【典型例题】
【例1】设是与的等差中项，是与的等差中项，则，的关系是（ ）．
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【分析】
直接由等差中项的定义得出，，列出关系式并求解即可得出，的关系.
【详解】
解：由等差中项的定义知，，所以，即，
故或．故选：C.
【例2】等差数列中，，那么关于x的方程（ ）．
A．无实根 B．有两个不等实根
C．有两个相等实根 D．不能确定有无实根
【答案】C
【分析】
根据等差数列的性质可得出方程，即可判断.
【详解】
因为等差数列中，，所以，
∴，∴方程为，，∴方程有两个相等实根．
故选：C.
【例3】已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【分析】
直接利用等差数列的性质进行计算即可
【详解】
由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.故选：B.
【例4】已知m，，，n和m，，，，n分别是两个等差数列（），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据等差数列的概念分别表示出两个数列的公差，然后作商即可.
【详解】
设等差数列的公差为，则.设等差数列的公差为，则，所以.
故选：D
【例5】在等差数列中，，则的值为（ ）
A．6 B．12
C．24 D．48
【答案】D
【分析】
由等差数列的性质化简已知条件可得，再由等差数列的通项公式即可求解.
【详解】
在等差数列中，，
所以，
所以，
故选：D.
【例6】等差数列的首项为1，对，满足．则（ ）
A．4042 B．4041 C．4040 D．4039
【答案】B
【分析】
由和差即可求解公差，用通项公式可求解．
【详解】
解：因为等差数列的首项为1，，所以，
两式相减得，所以，则．故选：B．


【对点实战】
1.在等差数列{an}中，a2 018＝log27，a2 022＝，则a2020＝（ ）
A．0 B．7 C．1 D．49
【答案】A
【分析】
由等差中项的性质和对数运算性质计算可得选项.
【详解】
解： .
故选：A.
2.已知是等差数列，且，是函数的两个零点，则（ ）
A．8 B． C．2020 D．
【答案】A
【分析】
由根与系数的关系及等差中项即可求解.
【详解】
因为，是函数的两个零点，
所以，所以.故选：A
3.等差数列中，若，则的值是（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】C
【分析】
先由等差数列的性质得，再用性质求解
【详解】
解：依题意，由，得，即
所以
故选C
4.方程有4个不等的实根，且组成一个公差为1的等差数列，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意设4个根组成的等差数列为，，，，根据韦达定理可知，进而可得，求出4个根即可求解.
【详解】
设4个根组成的等差数列为，，，，
则，∴.
又∵，∴，∴，，，
∴，故选：C
5.已知数列对于任意p，有，若，则（）
A． B． C．1 D．4
【答案】D
【分析】
根据已知关系式求出数列的通项公式后可得结论．
【详解】
∵对于任意p，有，令，则，∴，
∴是等差数列，公差为，首项是，∴，
∴．故选：D．
6.在等差数列中，，（、），则的值为______.
【答案】0
【分析】
基本量代换，由，求出公差d，直接用通项公式求出.
【详解】
设的公差为d，则有
∴ ，

故答案为：0


Ø 三、递推公式之等差数列
许多复杂的递推公式，经过化简构造后，发现是等差数列，实际上，这个递推公式源于等差数列定义式子，可以通过换元，得到更复杂的式子。以下总结了一些常见的递推公式，蕴含了“二级形式”的等差数列。授课时要讲清楚，这是经验性递推总结。
1.根号型换元，如例题1
2.系数配凑型，如例题2。这个系数。既可以是乘。也可以是除。
3.指数凑配型，如例题3.实质上是例题2的换元扩展。
4.倒数型。复杂分式，可以适当分离取倒数，得到等差数列，如例题4
5.奇偶等差型。对于这类“和”型，有时候可推出奇数项和偶数项各自独立的成等差数列。在授课时要讲清通项公式推导过程。如例题5
6.结构型，如例题6，这道题具有明显的等差形状，但是如果去分母，这个等差式子隐藏的就比较深了，如后边的高中数学联赛选题，就有这个特征。
7.消常数同除型。如例题7
8.配方型，如例题8.
9.双数列纠缠迭代型，如例题9.



【典型例题】
【例1】在数列中，若，，，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【分析】
由已知得，从而有数列是等差数列，公差，根据等差数列的通项公式可求得答案.
【详解】
解：因为，所以，
所以数列是等差数列，公差，
所以，
所以.
故答案为：.
【例2】已知数列中，，，则数列的通项公式为______．
【答案】
【分析】
将两边同时除以，进而化为，然后结合等差数列的定义得到答案.
【详解】
由题意，可得，即．又，∴数列是以为首项，为1公差的等差数列，∴，∴．
故答案为：.
【例3】已知数列{an}中，a1＝1，，则数列{an}的通项公式an＝________.
【答案】
【分析】
根据已知可得是等差数列，即可求出通项公式.
【详解】
∵，∴两边同除以，得＝＋1.
又a1＝1，∴是以首项为，公差为1的等差数列，
∴＝＋(n－1)×1＝n－，即.
故答案为：.
【例4】数列中，则_____________.
【答案】
【分析】
对两边取到数可得，从而可得数列是等差数列，求出数列的通项公式，即可求出.
【详解】
因为，所以，即，又，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以，所以.
故答案为：
【例5】若数列满足：，，则________________.
【答案】.
【分析】
根据写出，相减以后可得，可以判断出数列是等差数列，然后判断出首项和公差，即可得.
【详解】
.
两式相减，得.
.
故是首项为，公差为的等差数列的第项，
故.
故答案为：.

【例6】已知数列中，，，若，则______．
【答案】19
【分析】
先由，
再求得，从而就容易求出结果了.
【详解】
由，令，
数列是公差为1，首项为的等差数列，
所以，
变形可得，
由累加法得，
所以
，
所以，故数列是公差为的等差数列，
则的公差，所以．
故答案为：19.
【例7】设数列满足，则数列的前2020项和为______．
【答案】
【分析】
由递推关系式可得，根据等差数列通项公式可求出，由裂项相消法求和即可.
【详解】
，，
，
的前2020项和为，
故答案为：
【例8】已知单调递增数列满足，，则________．
【答案】
【分析】
根据题意，求得，由于数列是递增数列，可知，且，由，可得出，再根据定义法证明出数列是首项为0，公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式求出，即可得出.
【详解】
解：，，即，所以，
由于数列是递增数列， 则，且，∴，
由于，则，即，，
而数列是递增数列，则，，
数列是首项为0，公差为1的等差数列，，.
故答案为：.
【例9】已知正项数列和满足：①，；②，.则数列的通项公式为___________.
【答案】
【分析】
根据条件②，联立化简得数列是等差数列，再根据条件①可得的通项，再代入②即可得数列的通项公式.
【详解】
，，，，则时，，
时，，即，数列是等差数列.
又，，，首项，公差，
.，.
，其中适合此式，.故答案为：.

【对点实战】
1.已知数列满足.若点在直线上，则___________.
【答案】
【分析】
由已知得，故而有数列为等差数列，且公差，根据等差数列的通项公式可求得答案.
【详解】
解：由点在直线上，得，即，
∴数列为等差数列，且公差.
又，∴，即.
故答案为：.

2.在数列中，设，若数列是等差数列，则______
【答案】
【分析】
由数列是等差数列，结合已知求得，然后利用累乘法求得结果.
【详解】
因为数列是等差数列，所以公差，所以
则，，，，由累乘法可得：，
故答案为：
3.如果数列满足，且，则这个数列的第项等于___________.
【答案】
【分析】
由，化简得，则为等差数列，结合已知条件得．
【详解】
由，化简得，且，，
得，所以是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，即
故答案为：
4.在数列中，，，，则_______________.
【答案】240
【分析】
由已知可得，即是以2为首项，4为公差的等差数列，由此可求出的通项公式，得出所求.
【详解】
，
，则数列是以2为首项，4为公差的等差数列，
，，
.
故答案为：240.
5.已知数列中，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是_________.
【答案】2
【分析】
将已知等式化为，根据数列是首项为3公差为1的等差数列，可求得通项公式，将不等式化为恒成立，求出的最大值即可得解.
【详解】
因为时，，所以，而，
所以数列是首项为3公差为1的等差数列，故，从而.
又因为恒成立，即恒成立，所以.
由得，得，
所以，所以，即实数的最小值是2.
故答案为：2
6.数列满足，，则的通项公式为________．
【答案】
【分析】
先根据条件得隔项成等差数列，再根据等差数列通项公式得结果.
【详解】

相减得
所以当为奇数时，
当为偶数时，
因此
故答案为：
7.数列满足：，且 ，则数列的通项公式是=______________．
【答案】
【分析】
将等式化简，拆分等号右侧式子，可构造等差数列，由等差数列通项公式的求法求出数列的通项，进而求出的通项公式.
【详解】
原等式可化简为：，所以数列为以3为首项，2公差的等差数列，
则，所以.
8.已知数列中，，且，数列满足，则的通项公式是_____.
【答案】
【分析】
根据已知，利用作差法求易判断为等差数列，写出通项公式即可.
【详解】
∵，
∴，
又，则，
∴数列是首项为，公差为1的等差数列，
∴.
故答案为：.



Ø 四 、等差数列的函数性质和最值范围
1. 最常见的最值题型，就是把数列通项化归为对应的各种函数求最值，需要注意此时是离散型函数。如例题1。
2. 等差数列中比较常见的最值范围，是以首项或者公差为变量，构造不等式（组）求范围，如例题2
3. 对于首项和公差的双变量，可利用三角换元求最值。如例题3
4. 等差数列是关于n的一次型，就是存在正负项的分界点，利用正负分界研究范围最值，如例题4和5
5. 借助于“高斯技巧”和均值不等式求最值，如例题6
6. 借助于等差数列的“斜率性质”求最值，如例题7，是比较好的关于等差数列最值范围的一道类型题。
7. 与函数结合，运用函数的图像，值域，以及等差数列的定义等，如例题8，是一道等差数列和函数的综合题型。
8.

【典型例题】
【例1】已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
转化条件为，结合等差数列的性质可得，即可得解.
【详解】
因为，所以，
又，所以，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，即，
所以，，，当时，，所以中最小的一项是.故选：B.

【例2】已知等差数列的首项为，且从第10项开始均比1大，则公差d的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
易得，结合通项公式，解关于的不等式即可.
【详解】
由题意得所以解得.故选：D

【例3】已知等差数列的公差为，，那么的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先利用等差数列的通项公式，得，，代入条件，得，再设为参数方程的形式，利用三角函数的有界性求最小值.
【详解】
，则，设(为参数)，
，其中，
最小值为.故选:A．

【例4】在等差数列中，.记，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】C
【分析】
根据题意求出，根据等差数列的各项符号得到数列的单调性，由此可求得结果.
【详解】
依题意可得公差，，
所以当时，，当时，，
因为，，，
，，
，
又当时，，且，即，所以当时，数列单调递增，
所以数列无最大项，数列有最小项.
故选：C
【例5】已知数列是等差数列，若，则使得成立的最小正整数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设等差数列的公差为，根据，利用“”求解.
【详解】
设等差数列的公差为，因为，所以，所以，
故，所以使得成立的最小正整数的值为．故选：C
【例6】等差数列满足，且，则的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】
由等差数列的性质求得，然后由基本不等式得结论．
【详解】
等差数列满足，则，所以，
所以，所以，当时等号成立．
故选：A．

【例7】已知无穷等差数列的公差，且5，17，23是中的三项，则下列结论正确的是（ ）
A．d的最大值是6 B．
C．一定是奇数 D．137一定是数列中的项
【答案】ABD
【分析】
推导出，的最大值为6，，当时，，从而一定是等差数列中的项.
【详解】
因为无穷等差数列的公差，且是中的三项，所以设，
解得，所以的最大值为，故A正确；因为，，所以，故B正确；
因为，所以时，，数列可能为故C错误；
因为，所以一定是等差数列中的项，故D正确.故选：ABD.
【例8】设函数，数列满足，若是等差数列.则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
作出函数图象，讨论的范围，根据，再讨论公差的范围，判断是否满足等差数列，得出答案.
【详解】
画出函数的图象如如图所示.

当时，，，…
数列是首项为，公差为-4的等差数列，符合题意；
当时，因为是等差数列，若其公差，则，使得，这与矛盾；
若其公差，则，解得或.则当时，为常数列.
当时，为常数列，此时为等差数列，符合题意；
若其公差，则，使得且，则等差数列的公差必为-4，因此，∴，解得(舍去)或.
又当时，这与是等差数列矛盾.
综上所述，的取值范围是.故答案为：.
【对点实战】
1.已知数列的前项和为，，且满足，若，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】
转化条件为，由等差数列的定义及通项公式可得，求得满足的项后即可得解.
【详解】
因为，所以，
又，所以数列是以为首项，公差为2的等差数列，
所以，所以，
令，解得，
所以，其余各项均大于0，
所以.
故选：A.
2.数列是等差数列，，公差，，且，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用等差数列通项公式推导出，由，，能求出实数取最大值.
【详解】
数列是等差数列，，公差，，且，
，解得，，，是减函数，
时，实数取最大值为.故选：D.
3.已知数列中，，，且，则数列的最大项的值是　　
A．225 B．226 C．75 D．76
【答案】B
【分析】
由且，变形为，又．利用等差数列的通项公式可得，再利用累加求和法与等差数列的求和公式即可得出结果．
【详解】
解：且，，即，
又，数列是等差数列，首项为29，公差为，，
当时，

也满足上式 ，
数列的通项，
由二次函数的知识知当时，取得最大值．故选：．
4.已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为　　
A．16 B．9 C．5 D．4
【答案】A
【分析】
根据题意，由等差中项的定义分析可得1，进而分析可得a+9b＝（a+9b）（）＝10，由基本不等式的性质分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，a＞0，b＞0，且，，成等差数列，则21；
则a+9b＝（a+9b）（）＝1010+216；当且仅当，即=时取到等号，
∴a+9b的最小值为16；故选A．
5.已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的 , 都有成立, 则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足.
若对任意的, 都有成立,所以恒成立，
所以则实数的取值范围是，故选A．
6.已知递增等差数列中，，则的（ ）
A．最大值为－4 B．最小值为4 C．最小值为－4 D．最大值为4
【答案】B
【分析】
利用等差数列的通项公式可得d=，由a3=a1+2d=，利用基本不等式即可求解.
【详解】
解：∵递增等差数列{an}中，a1a2=﹣2，∴a1(a1+d)=﹣2，且d>0，∴d=，∴a1<0，
∴a3=a1+2d=≥，当且仅当a1=﹣2时，等号成立，∴a3有最小值4.故选：B.
7.数列满足：，，，若，则的最大值为______.
【答案】675
【分析】
由得，在取等号成立的情况下，的每一项均有最大值，此时，数列为等差数列，进而利用等差数列求解即可
【详解】
由得，在取等号成立的情况下，
的每一项均有最大值，此时，有，
即在等号成立的条件下，数列为等差数列，
由和可得，此时，
故答案为：675
8.已知等差数列的前项和为，且，若，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设公差为d,由得:,即,由得:,解得,故选A.



Ø 五、实际应用题

【典型例题】
【例1】图①是程阳永济桥又名“风雨桥”，因为行人过往能够躲避风雨而得名．已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图②所示，且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列，若这四层六边形的周长之和为156，且图②中阴影部分的面积为，则最外层六边形的周长为（ ）

A．30 B．42 C．48 D．54
【答案】C
【分析】
设该图形中各层的六边形边长从内向外依次为，，，成等差数列，这四层六边形的周长之和为156，由得到的关系，再根据阴影部分的面积为，由得到的关系联立求解.
【详解】
设该图形中各层的六边形边长从内向外依次为，，，成等差数列，
由题意得，即，
所以，
因为阴影部分的面积，
所以，
联立得或（不合题意舍），故，所以最外层六边形的周长为48．故选：C．

【例2】我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后第三个节气（立秋）晷长是（ ）

A．三尺 B．三尺五寸 C．四尺 D．四尺五寸
【答案】D
【分析】
根据题意，结合等差数列的通项公式进行求解即可.
【详解】
根据题意从冬至到夏至可知：晷长为等差数列，公差为，
由题意可知：，，
所以有，
因为相邻两个节气晷长的变化量相同，
所以当夏至之后第三个节气（立秋）晷长是，
故选：D

【例3】数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的正整数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则满足的正整数的最小值为（ ）
A．132 B．135 C．136 D．138
【答案】C
【分析】
首先由题意，列举求得数列，再求通项公式，即可求解不等式.
【详解】
由题意归纳可知，数列为8，23，38，…，
即所求数列是首项为8公差为15的等差数列，
故，
令，解得，
所以的最小值为136.
故选：C
【例4】“苏州码子”发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合.110多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“苏州码子”刻于里程碑上.“苏州码子”计数方式如下：〡1.､〢2.､〣3.､〤4.､〥5.､〦6.､〧7.､〨8.､〩9.､〇0．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写.已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“〣〤”，在B点处里程碑刻着“〩〢”，则从A点到B点里程碑的个数应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
里程碑上刻着数字依次成等差数列，求出两处刻的数字，按等差数列的公式求得项数即可．
【详解】
根据题意A点处里程碑上刻着数字34，B点处里程碑刻着数字92，里程碑刻着数字厉等差数列，公差为2，因此里程碑个数为．
故选：B．


【例5】．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题．现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列所有项中，中间项的值为（ ）
A．992 B．1022 C．1007 D．1037
【答案】C
【分析】
由题可得，可判断共有135项，且中间项为第68项，即可求出.
【详解】
解：由题意可知，既是3的倍数，又是5的倍数，所以是15的倍数，即，所以，
当时，，
当时，，
故，数列共有135项，因此数列中间项为第68项，且．
故中间项的值为1007．
故选：C．


【例6】单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例如，，……，现已知可以表示成4个单分数的和，记，其中，，是以101为首项的等差数列，则的值为（ ）
A．505 B．404 C．303 D．202
【答案】A
【分析】
根据题中拆分后分数的特征以及分出结果中含，对分母增大倍数进行拆分，即得结果.
【详解】
依题意，拆分后的分数，分子都是1，分母依次变大，又中含，
故可分解如下：，
又，，是以101为首项的等差数列，故.
故.
故选：A.

【对点实战】
1.
（多选题）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（ ）
A．甲得钱是戊得钱的倍 B．乙得钱比丁得钱多钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
【答案】AC
【分析】
由等差数列的性质，可设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，结合已知求，，即可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱，进而判断选项的正误.
【详解】
依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，且，即，又，
∴，，即，，，，
∴甲得钱，乙得钱，丙得钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论：
甲得钱是戊得钱的倍，故A正确；
乙得钱比丁得钱多钱，故B错误；
甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C正确；
丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D错误．
故选：AC．
2.如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到.依次类推，则该数表中，第n行第n个数是______________.

【答案】
【分析】
观察数表可得设第n行第1个数是，则第n行第2个数是，从而可得，进而证得是等差数列，然后求出数列的通项公式，进而可以求出结果第n行第1个数是，从而可以求出结果.
【详解】
观察数表，得出每一行都成等差数列，且第n行公差为，因此设第n行第1个数是，则第n行第2个数是，从而可得，从而，∴是等差数列，公差为，∴，，∴第n行第n个数为.
故答案为：.
3.日晷是我国古代按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，如此周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（ ）

A．白露比立秋的晷长长两尺 B．大寒的晷长为一丈五寸
C．处暑和谷雨两个节气的晷长相同 D．立春的晷长比立秋的晷长长
【答案】B
【分析】
不妨将每一个节气晷长排成一列，组成数列，则有为等差数列，夏至晷长为，冬至晷长为，这样求出通项即可判断每一个选项.
【详解】
由题意，将每一个节气晷长排成一列，组成数列，则有为等差数列，夏至晷长为，冬至晷长为，则有，解得.
对选项A，白露、立秋分别对应的为、，所以白露比立秋的晷长寸，即两尺，故A正确；
对选项B，由图可知大寒比冬至的晷长要小两个，所以大寒的晷长为寸，即一丈一尺五寸，故B错误；
对选项C，由图可知，处暑和谷雨的晷长相同，故C正确；
对选项D，可得立春的晷长为寸，立秋的晷长为.
故选：B.

Ø 六、等差数列综合应用
利用等差数列的定义，性质等等来解决问题。以下是几个不同的综合应用，可以借助研究学习，增加做题积累。
1. 双数列相同项，如例题1，一般新数列的公差，是两个条件数列公差的最小公倍数。
2. 新定义数列之“等积数列”，如例题2，本题也涉及到了奇偶项研究。
3. 裂项相消是求和测常用技巧之一，如例题3，初步涉及到裂项相消的技巧方法。
4. 和三角函数结合，具有周期数据变化特征，如例题4和5题，是从不同角度与三角函数结合。.
5. 递推换元型，如例题6
6. 插入数构造型，如例题7.
7. 恒成立裂项型，如例题8.
【典型例题】
【例1】已知两个等差数列5，8，11，…，302与3，7，11，…，399，则它们所有公共项的个数为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】C
【分析】
求得新数列的首项以及公差，然后根据等差数列的通项公式进行求解.
【详解】
设两数列的所有相同的项构成的新数列为，，
又数列5，8，11，…，302的公差为3，
数列3，7，11，…，399的公差为4，
所以数列的公差为12，所以，解得，
所以两数列有25个公共项.故选：C
【例2】在一个数列中，若每一项与它的后一项的乘积都同为一个常数（有限数列最后一项除外），则称该数列为等积数列.是等积数列，且，公积为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据等积数列定义可推导得到数列的奇数项为，偶数项为，由此可求得结果.
【详解】
由等积数列定义可知：，
又，，由此推导可得：数列的奇数项为，偶数项为；
设等差数列的首项为，，由得：，
共有项，.
故选：D.

【例3】等差数列{an}中，a1＝1，an，an＋1是方程x2－（2n＋1）x＋＝0的两个根，则数列{bn}前n项和Sn＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由韦达定理可得an＋an＋1＝2n＋1，，再由等差数列的性质有an＋an＋1＝a1＋a2n，可得a2n＝2n，即an＝n，有，裂项相消法即可求前n项和
【详解】
因为an，an＋1是方程x2－（2n＋1）x＋＝0的两个根，由韦达定理，an＋an＋1＝2n＋1，
又因为数列{an}为等差数列，所以an＋an＋1＝a1＋a2n＝1＋a2n＝2n＋1，所以a2n＝2n，所以an＝n.
anan＋1＝n（n＋1）＝，所以bn＝＝，所以数列{bn}前n项和Sn＝故选：D
【例4】在等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{ancosnπ}的前2020项的和为（ ）
A．1009 B．1010 C．2019 D．2020
【答案】D
【分析】
根据已知条件求出等差数列的首项和公差，发现中，，
，根据规律求出即可.
【详解】
设的公差为d，则有，解得，∴，
设，则，，…，
∴数列的前2020项的和．
故选：D
【例5】若等差数列满足，且，求的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设，，根据求出的范围，利用等差中项的性质得到，再利用同角公式可求得结果.
【详解】
设，，
又∵，∴，即，∴，
∴，
∴，
又∵，所以，所以，∴．故选：B
【例6】已知数列满足，其中且，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，存在一个实数和正整数，使得，，成等差数列
B．当时，存在一个实数和正整数，使得，，成等差数列
C．当时，数列是递增的
D．当时，数列是递减的
【答案】D
【分析】
由已知式变形，再写一次（用换）可得，这样．然后根据利用等差中项法判断等差数列，利用定义判断数列的单调性．
【详解】
由题意知，则，从而，
则， 因此．
对于选项A，C，当时，，从而，
故数列不可能是等差数列，因此选项A错误，
若，则，从而，即，
因此数列是递减的，因此选项C错误；
对于选项B，D，当时，，
从而，故数列不可能是等差数列，因此选项B错误，
若，则，从而，
即，因此数列是递减的，选项D正确．故选：D．
【例7】在等差数列中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.若是数列的项，则k的值可能为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】ABD
【分析】
根据题意，找到等差数列中的项在新的等差数列中的位置，进而可求得n与k的关系，根据，即可求得答案.
【详解】
由题意得：插入个数，则，，，
所以等差数列中的项在新的等差数列中间隔排列，且角标是以1为首项，k+1为公差的等差数列，
所以，
因为是数列的项，
所以令，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得，
故k的值可能为1,3,7，
故选：ABD
【例8】数列中，，且满足．设，，对任意，均有成立，则的最大值为_____．
【答案】7
【分析】
由条件，可得，从而为等差数列，利用，可求公差，从而可求数列的通项公式；再裂项求和，再根据对任意成立，得对任意成立，利用的最小值是，可知，从而存在最大整数．
【详解】
由题意，，
为等差数列，设公差为，
由题意得，
.


若对任意成立，即对任意成立，
的最小值是，，的最大整数值是7．
即存在最大整数，使对任意，均有.故答案为：7


Ø 八、高中联赛、竞赛与自主招生题选

【例1】已知数列满足，，则数列的通项公式为______.
【答案】
【分析】
将已知递推关系式变形为，令，采用倒数法可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得后，整理可得所求通项公式.
【详解】
由得：，
设，则有，即，又，
数列是以，为公差的等差数列，，
，即，.
故答案为：.
【例2】已知数列满足，，且（），则数列的通项公式_______.
【答案】
【分析】
化简题设条件得到，得出数列是以为首项，为公差的等差数列，求得则，再利用叠加法，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，数列满足（），
两侧同除，可得，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，
所以
（），
当时，适合上式，
所以，所以数列的通项公式.
【例3】已知数列满足，其中，设，若为数列中唯一最小项，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【分析】
先求，再根据数列单调性求为数列中唯一最小项的条件，解得结果.
【详解】
因为，所以,,,所以,,因此要使为数列中唯一最小项，需
【例4】已知{an}是公差为d（d＞0）的等差数列，若存在实数x1，x2，x3，⋯，x9满足方程组，则d的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
把方程组中的都用和表示，求得的表达式，根据方程组从整体分析可知：当，，时，取最小值．
【详解】
解：把方程组中的都用和表示得：
，
把代入得：
，根据分母结构特点及可知：当，，时，
取最小值为．
故选：C．