高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念课时训练

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4.1
数列的概念



【知识目录】


1、 数列概念
2、 简单的通项与递推
3、 Sn与an的关系
4、 累加法归类
5、 累积法归类
6、 周期数列归类
7、 数列的单调性和最值
8、 高中联赛题选。


典例分类精讲



Ø 一、数列概念
1.数列是特殊的函数，如可以把
2.数列可能具有函数的性质：单调性，周期性，最值等，如例题2
3.归纳猜想数列的通项公式。如例题3

【典型例题】
【例1】下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数；
②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点；
③数列的项数是无限的；
④数列通项的表达式是唯一的．
其中正确的是（ ）．
A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④
【答案】A
【分析】
根据数列的定义、数列的分类判断．
【详解】
数列的项数可以是有限的，也可以是无限的．数列作为一个函数，它的定义域是正整数集或正整数集的有限子集，
数列通项的表达式可以不唯一，例如，数列1，0，－1，0，1，0，－1，0，…的通项可以是，也可以是．故①②正确，③④错误．
故选：A．
【例2】若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是（ ）
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
【答案】A
【分析】
作差法判断出an＋1>an，进而可以得出结论.
【详解】
an＋1－an＝3n＋1－3n＝2×3n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．
故选：A.
【例3】根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数．
（1）
（2）
（3）
【答案】
（1）第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为
（2）第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为
（3）第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为
【分析】
（1）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式；
（2）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式；
（3）根据图形中点数的规律可作出第项的图形，并根据各项的点数可归纳出数列的通项公式.
（1）
解：设第项的点数为，
，，，，该数列的第项为，
数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：

（2）
解：设第项的点数为，
，，，，该数列的第项为，
数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：

（3）
解：设第项的点数为，
，，，，该数列的第项为，
数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示：

【例4】写出下列数列的一个通项公式．
（1）－，，－，，…；
（2）2，3，5，9，17，33，…；
（3）…；
（4）1，，2，，…；
（5）-…；
（6）2，6，12，20，30，….
【答案】（1）an＝(－1)n；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）an＝n(n＋1)．
【分析】
根据题中所给数据，逐一分析即可得出结论.
【详解】
解：（1）符号规律(－1)n，分子都是1，分母是n2＋1，∴an＝(－1)n；
（2）2＝1＋1， 3＝2＋1， 5＝22＋1，
9＝23＋1， 17＝24＋1， 33＝25＋1，
∴；
（3），
∴；
（4），∴；
（5），
∴；
（6）2＝1×2， 6＝2×3， 12＝3×4， 20＝4×5， 30＝5×6，∴an＝n(n＋1)．



【对点实战】
1.下列叙述正确的是（ ）
A．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列
B．数列0，1，2，3，…可以表示为{n}
C．数列0，1，0，1，…是常数列
D．数列是递增数列
【答案】D
【分析】
A由数列的概念即可判断；B验证首项即可判断；C根据常数列的概念即可判断；D结合通项公式，判断 an＋1－an的符号即可得出结论.
【详解】
A由数列的概念可知数列1，3，5，7与7，5，3，1是不同的数列，故A错误；
B因为首项是0，所以不能表示为{n}，故B错误；
C根据常数列的概念可知数列0，1，0，1，…不是常数列，故C错误；
D由数列的通项an＝知， an＋1－an＝－＝>0，
即数列{}是递增数列，故D正确；故选：D．
2.写出下列数列的一个通项公式．
（1），，，，…；
（2）1，0，，0，，0，，…；
（3）0.8，0.88，0.888，…；
（4），，，，…．
【答案】
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】
观察并总结各项数列的规律，直接写出对应的通项公式即可.
（1）
所给数列可写成，，，，…，
∴原数列的一个通项公式为．
（2）
由题设数列的奇偶项的规律，易知一个通项公式为．
（3）
由原数列可写成，，，…，
∴原数列的一个通项公式为．
（4）
由数列可写成，，，，…，
∴原数列的一个通项公式为．
3.图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：

通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为（ ）
A．3n-1 B．3n
C．3n+1 D．3(n+1)
【答案】C
【分析】
观察给出的4个图形，分析出增加一个正方形，需在前一个图中增加的火柴棒数即可总结得解.
【详解】
观察图形知，第1个图形中，火柴棒有4根，
第2个图形在第1个图形中增加一个正方形，需增加3根火柴棒，则第2个图形中火柴棒有4+3=4+3×1根，
第3个图形在第2个图形中增加一个正方形，需增加3根火柴棒，则第3个图形中火柴棒有4+3+3=4+3×2根，
第4个图形在第3个图形中增加一个正方形，需增加3根火柴棒，则第4个图形中火柴棒有4+3+3+3=4+3×3根，
可以发现，第n个图形中，火柴棒的根数为an=4+3(n-1)=3n+1.
故选：C
4.下列有关数列的说法正确的是（ ）
①数列1，2，3可以表示成，2，；
②数列，0，1与数列1，0，是同一数列；
③数列的第项是；
④数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】B
【分析】
利用数列的基本概念对四个选项逐一判断即可．
【详解】
解：对于①，是集合，不是数列，故选项①错误；
对于②，数列是有序的，故数列，0，1与数列1，0，是不同的数列，故选项②错误；
对于③，数列的第项是，故选项③正确；
对于④，由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关，故选项④正确．
故选：．



Ø 二、简单的通项与递推
作为刚学习数列感念，要了解和认识一些简单的递推和通项关系，通过一项一项的推导，有助于对数列概念深层次的理解。
1. 三阶递推关系。如例题1
2. 分式型递推关系，如例题2
3. 奇偶常数型递推关系，如例题3
4. 正负相间型递推关系，如例题4
5. 分段型递推关系，如例题5
6. 内外复合型递推关关系，如例题6
7. 前n项和与通项型递推关系，如例题7
【典型例题】
【例1】数列满足，且，，则（ ）
A．1 B．2 C．5 D．8
【答案】C
【分析】
根据递推公式一一计算可得；
【详解】
解：因为，且，，所以，，
故选：C
【例2】数列中，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由递推公式直接计算．
【详解】
由题意，，．
故选：A．
【例3】已知数列中，，，则（ ）
A．3009 B．3025 C．3010 D．3024
【答案】B
【分析】
由已知得奇数项为1，偶数项为2，代入计算可得选项.
【详解】
解：数列中，，，可得，，，…，即奇数项为1，偶数项为2，
则．
故选：B．
【例4】在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于（ ）
A．－ B．
C．－ D．
【答案】B
【分析】
根据递推公式代入数据即可直接求出结果.
【详解】
∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，
∴a2＝(－1)2×2×＝，a3＝(－1)3×2×＝－，
a4＝(－1)4×2×＝－，
a5＝(－1)5×2×＝.
故选：B.
【例5】已知数列{an}满足，，则254是该数列的（ ）
A．第8项 B．第10项
C．第12项 D．第14项
【答案】D
【分析】
根据已知条件写出数列中的前几项，进而根据数列的前几项归纳出通项公式，解方程即可求解.
【详解】
当n为正奇数时，an＋1＝2an，则a2＝2a1＝2，当n为正偶数时，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次类推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，
归纳可得数列{an}的通项公式，
若为正奇数，则，则无正奇数解；
若为正奇数，则，则；
故选：D.
【例6】由1，3，5，…，2n-1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1=2，当n≥2时，，则b6的值是（ ）
A．9 B．17
C．33 D．65
【答案】C
【分析】
利用给定递推关系，依次求出数列{bn}的前6项即可作答.
【详解】
因{an}的通项公式为，而n≥2时，，又b1=2，
则.
故选：C
【例7】已知数列的前项和为．若，，，则（ ）
A．9 B．27 C．30 D．36
【答案】D
【分析】
先令求出和，再令求出即可.
【详解】
解：因为，，
当时，，此时
当时，，
故选：D.

【对点实战】
1.已知数列满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用递推关系即求.
【详解】
依题意有，则，
由此得，，，．
故选：C．
2.已知数列的各项均为正数.若对于任意的正整数，总有，且，则（ ）
A．16 B．32 C．48 D．64
【答案】B
【分析】
由题意条件能够求出，从而可求.
【详解】
由题意可得，，则，
又，则，
又，则.
故选：B.
3.在数列中，，，（，），则（ ）
A． B．6 C．10 D．
【答案】B
【分析】
根据递推公式一一计算可得；
【详解】
解：因为，，（，），即（，），
所以，，
故选：B
4.设数列{an }满足，则a3=（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】
根据数列的首项和递推公式直接计算即可.
【详解】
由且，得
，
.
故选：C
5.已知数列的前项和，则的值为（ ）
A．91 B．152 C．218 D．27
【答案】B
【分析】
由数列与的关系可得，运算即可得解.
【详解】
因为数列的前项和，
所以.
故选：B.
6．已知数列的通项公式为，则（ ）
A．35 B． C． D．11
【答案】A
【分析】
直接将代入通项公式可得结果.
【详解】
因为，所以.
故选：A


Ø 三、sn与an的关系
1.授课时，要写出详细的如下关系，写到a7再跨越到an

2.
3. 注意处检验n=1的情况。如例题1.
4. “再写一个作差”是处理sn与an的主要方法之一，如例题2
5. 复杂的“和”数列，可以通过换元来理解，实质依旧是“再写一个作差”的类型，如例题3.
6. “前你项积”型，可类比“和”型，一个一个写几项增加理解，如例题4

【典型例题】
【例1】已知数列 的前项和，则等于( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用与之间的关系即可求解.
【详解】
当时，，
当时，，
因为满足，
所以.
故选：D.
【例2】若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则an与an－1的关系为（ ）
A．an＝2an－1 B．an＝an－1
C．an＝－2an－1 D．an＝－an－1
【答案】A
【分析】
由求解即可
【详解】
∵Sn＝2an－2，
∴当n＝1时，a1＝2a1－2，即a1＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，
故选：A.

【例3】若数列满足：，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用整体相减的方法即可计算出数列的通项公式
【详解】
由①得，当时②
由①②得
当时也满足上式
故选：D

【例4】在数列中，，对于所有的，，都有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意可得出当时的式子，两式相除得，即可得出，的值.
【详解】
解：当，时，．
当，时，．
两式相除得.
，.
.
故选：A.


【对点实战】
1.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2，则an等于（ ）
A．n B．n2
C．2n＋1 D．2n－1
【答案】D
【分析】
利用和与通项之间的关系即可求解．
【详解】
∵Sn＝n2，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1．
当n＝1时，S1＝a1＝1适合上式，∴an＝2n－1．
故选：D
2.数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令可求得的值，由，由作差法可得出的表达式，再对是否满足的表达式进行检验，即可得解.
【详解】
当时，则有；
当时，由，①
可得，②
①②可得，所以，，满足.
故对任意的，.
故选：D.
3.若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则an与an－1的关系为（ ）
A．an＝2an－1 B．an＝an－1
C．an＝－2an－1 D．an＝－an－1
【答案】A
【分析】
由求解即可
【详解】
∵Sn＝2an－2，
∴当n＝1时，a1＝2a1－2，即a1＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，
故选：A.


Ø 四、累加法
累加法是指递推公式满足：

1.f（n）是常数型。实质是即将学习的等差数列型，如例题1
2.f（n）是一次型。如例题2
3.f（n）是指数型。如例题3
4.f（n）是裂项型。如例题4
5.f（n）是对数型。如例题5，这道题实质也可以裂项。
6.换元型累加法，如例题6
7.更复杂的换元型累加法，如例题7.此题实质是把例题4题换元而来，授课时可以利用更多的更复杂型的数列换元变型，以加深对数列累加法等的例题。

【典型例题】
【例1】已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N*)，则数列的通项公式为（ ）
A．an＝3n＋1 B．an＝3n
C．an＝3n－2 D．an＝3(n－1)
【答案】C
【分析】
由an－an－1＝3，利用累加法求解.
【详解】
∵an＝an－1＋3，
∴an－an－1＝3.
∴a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，
以上各式两边分别相加，
得an－a1＝3(n－1)，
∴an＝a1＋3(n－1)＝1＋3(n－1)＝3n－2，
故选：C.
【例2】已知数列满足，那么的值是（ ）
A．20192 B．2018×2017 C．2019×2018 D．2019×2020
【答案】C
【分析】
根据 可知利用叠加法， ，然后利用等差数列求和公式进行求解即可．
【详解】



故选：C
【例3】已知数列满足，，则（ ）
A．510 B．512 C．1022 D．1024
【答案】B
【详解】由,得，，，

，以上各式相加得，，
所以，所以.故选：B.
【例4】已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由，利用累加法得出.
【详解】
由题意可得，
所以，，…，，
上式累加可得
，
又，所以.
故选：B.
【例5】在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
法一：利用累加法，结合对数的运算性质可得，再验证是否符合所得公式即可确定；法二：构造数列，由已知条件确定其性质并写出通项，进而可得.
【详解】
方法一：，
当时，．
又也符合所得通项公式，
∴．
方法二：∵，，
∴数列是常数列，即，则．
故选：A．
【例6】数列的各项都是正数，，，那么此数列的通项公式为___________.
【答案】
【分析】
分析得到是一个以为首项，以2为公差的等差数列，求出，即得解.
【详解】
因为，
所以，
所以数列是一个以为首项，以2为公差的等差数列，
所以，
因为数列的各项都是正数，
所以.
故答案为：
【例7】在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据，利用累加法先求出，进而求得即可.
【详解】
由题意得，，
则，…，，
由累加法得，，
即，
则，
所以，
故选：D

【对点实战】
1.数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据，利用累加法结合等差数列前n项和的公式即可得出答案.
【详解】
解：因为，
则，
，

，
，
累加得，
所以.
当n=1时也成立
故选：A.
2.数列满足，，则数列的通项公式为______.
【答案】
【分析】
结合累加法以及等差数列的前 项和公式，可求出，由可求出数列的通项公式.
【详解】
解：因为，所以当时， ，
所以，
所以，当时，，所以.
故答案为:
3.已知数列中，，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【详解】由.
∴ ∴
若对任意的，存在，使得成立.所以对任意的恒成立.
设，即对任意的恒成立.函数是关于的一次或常数函数.
所以，即解得，即
所以实数的取值范围是故答案为：.



Ø 五、累积法
累加法是指递推公式满足：

1.f（n）是指数型。如例题1
2.f（n）是分数型，这是累积法的标配型。如例题2。
3.反解型型，如例题3。
4.隐藏在sn与an关系中的累积法，如例题4

【典型例题】
【例1】若数列满足则数列的通项公式____________.
【答案】
【分析】
利用累乘法求出数列的通项公式；
【详解】
解：，


故答案为：
【例2】已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．
【详解】
解：数列满足，，
整理得，，，，
所有的项相乘得：，
整理得：，
故选：．
【例3】已知数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
依题意可得，再利用累乘法计算可得；
【详解】
解：由，得，
即，则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：D．
【例4】已知数列的前项和为，，，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题可得当时，，然后利用累乘法可求得数列的通项公式.
【详解】
当时，；
当时，，
整理得，即，由累乘法，
得，
又，解得，满足上式，
综上，．
故选：A


【对点实战】
1.已知数列的首项是，且，则数列的通项公式为______．
【答案】
【分析】
利用累乘法求数列的通项公式；
【详解】
解：由题意得：，所以，
所以，
因为，
所以．
故答案为：
2.已知数列满足，则__________．
【答案】
【解析】
，得，
则。
3、已知数列的前项和为，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【详解】
由，可得当时，，
则，即，故，
所以.
当满足.
故数列的通项公式为.
故答案为：

Ø 六、周期数列
周期数列一般是递推公式比较复杂，且不在教学和考试范围之内的。
1. 最常见的是二阶分式型递推，如例题1和2题，两种分式周期
2. 三阶递推，无常数，一般情况下可能是周期数列，如例题3
3. 分段数列，也可能会有周期性，如例题4
【典型例题】
【例1】已知数列满足，，则等于（ ）．
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】
由递推公式计算数列的前几项得数列是周期数列，周期为3，由此易得．
【详解】
由，，
得，，，
由此可知数列是周期变化的，且三个值一循环，
所以可得，，
故．
故选：B．
【例2】数列满足，，其前项积为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
依次代入可得是以为周期的周期数列，由可推导得到结果.
【详解】
当时，；当时，；当时，；当时，；…，数列是以为周期的周期数列，
，
.
故选：D.
【例3】已知数列满足，，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】
由题可求数列的前七项，可得数列是周期为6的数列，即求.
【详解】
，，，
可得，，
，，
，，
可得数列是周期为6的数列，
则．
故选：D．
【例4】在数列中，若则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据递推关系，列举前面的部分项，即可归纳总结出周期性的规律，进而求得.
【详解】

可以看出四个循环一次故
故选：B.

【对点实战】
1.设数列满足：，，记数列的前项之积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由的值确定数列周期为，利用周期的性质得出.
【详解】
因为，，
所以，
，
，
，
，
，
可知数列是以为周期的周期数列，
所以
，
故选：B.

2.已知数列{an}满足a1＝x，a2＝y，且an＋1＝an－an－1(n≥2)，则a2 007＝（ ）
A．x B．y C．y－x D．－x
【答案】C
【分析】
由a1＝x，a2＝y，an＋1＝an－an－1(n≥2)，可得数列{an}的周期为6，从而可求得答案
【详解】
根据递推关系可得x，y，y－x，－x，－y，x－y，这6个数值依次重复出现，即可得数列{an}的周期为6，
所以，
故选：C.

Ø 七、数列单调性和最值
数列单调性的判断：
1. 定义法：为增，为减数列
2. 可以用“差比法”或者“商比法”进行判断，如例题1
3. 也可以用将来学的数学归纳法进行判断
4. 数列最值，大多数可以归结为函数型来求解。但是要注意它是离散函数。如例题2
5. 因为数列是离散型函数，所以对于分段数列，要注意两段连接处的关系，如例题3
6. 当数列通项是各种对应的“函数”时。在离散的基础上寻找函数最值关系，如例题4和5题
7. 数列通项公式含参，又通过单调西和最值求参，依旧是在“离散”处设置了坑，解题时候要注意这些地方，如例题6
8.
【典型例题】
【例1】已知数列的通项公式为，则该数列为（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．摇摆数列 D．先增后减数列
【答案】D
【分析】
利用数列单调性的定义，利用作差法比较与的大小关系结合函数的性质即可判断.
【详解】
因为，
所以，
易知：，
所以当时，，时，，
故该数列为先增后减数列，
故选：D.
【例2】已知数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是
C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是
【答案】B
【分析】
令，则，，然后利用函数的知识可得答案.
【详解】
令，则，
当时，
当时，，由双勾函数的知识可得在上单调递增，在上单调递减
所以当即时，取得最大值，
所以此数列的最大项是，最小项为
故选：B．
【例3】设函数，，若数列是单调递减数列，则实数k的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由数列定义，必须分段函数的两段都是减函数，然后满足即可．
【详解】
因为数列是单调递减数列，
所以只需且，即且，
故实数k的取值范围为．
故选：C．
【例4】已知数列的前项和为，且满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用与的关系可求，可得，再利用函数的单调性即求.
【详解】
∵，
当时，，此时，
综上，数列的通项公式为.
∴，
记，则在与上都是增函数，
∴数列的最小项是第6项，值为.
故选：C

【例5】已知数列中，，则数列的最小项是（ ）
A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项
【答案】D
【分析】
根据题意，可知数列的通项公式，根据二次函数的性质可知，当或3时，取得最小值，从而得出答案.
【详解】
解：由题可知，，
由于，所以当或3时，取得最小值，
所以数列的最小项是第2项、第3项.
故选：D.
【例6】已知数列为递增数列，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由递增数列的性质结合，得，再求出，从而得出实数的取值范围.
【详解】
∵数列为递增数列，∴对任意的，，
即，
即恒成立，∴
故选：A.



【对点实战】
1.下列数列是递增数列的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据数列的通项公式求出特殊值即可判断ABD，根据做差法判断D.
【详解】
对于A，令，则，，不合题意；
对于B，令， 则，，不合题意；
对于C，令，则，符合题意.
对于D，令，则，，不合题意.
故选：C

2.已知数列的首项为，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用累加法可求得数列的通项公式，利用数列的单调性即可得解.
【详解】
因为，设，则，
所以
，
又符合上式，所以，
则，故的最小值为.
故选：B.
3.在数列中，，则此数列最大项的值是（ ）
A．107 B． C． D．108
【答案】D
【分析】
根据数列的通项公式，结合二次函数的最值，即可得出答案，要注意.
【详解】
解：，
因为，且，
所以此数列最大项为.
故选：D.
4.已知数列满足且数列是单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据递增数列可得关于的不等式组，从而可求其取值范围.
【详解】
由题意可得解得.
故选：A.
5.设a∈R，数列{(n－a)2}，(n∈N＋)是递增数列，则a的取值范围是（ ）
A．(－∞，0) B．(－∞，1)
C．(－∞，1] D．
【答案】D
【分析】
利用递增数列的定义可得.
【详解】
由题可得，
恒成立，
整理得恒成立，
∵，
∴.
故选：D.



Ø 八、高中联赛、竞赛与自主招生题选

【例1】数列中， ，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
化简得到，求得数列的单调性，结合函数的图象，即可求解.
【详解】
由，
所以当且时，单调递减；
当且时，单调递减，
结合函数的图象，如图所示
可得当时，取得最大值，即，
当时，取得最大值，即.
故选：C.



【例2】已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用最值的含义转化为不等式恒成立问题解决即可
【详解】
解：由题意可得，
整理得，
当时，不等式化简为恒成立，所以，
当时，不等式化简为恒成立，所以，
综上，，
所以实数的取值范围是，
故选：D