12.3 乘法公式 专训 2022-2023学年华东师大版八年级数学上册 (含答案) 试卷
展开专题5 第填十二章 整式的乘除 乘法公式专训
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
- 一个正方形的边长为，把这个正方形的边长增加后得到的正方形的面积是( )
A. B. C. D.
- 计算：的结果是( )
A. B. C. D.
- 若，且，则( )
A. B. C. D.
- 如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )
A. B.
C. D.
- 下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是( )
A. B. C. D.
- 观察下列等式：
那么第为正整数个等式为( )
A. B.
C. D.
- 已知是一个完全平方式，则的值为( )
A. B. 或 C. D.
- 为了应用平方差公式计算，下列变形正确的是( )
A. B.
C. D.
- 若满足，则( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
- 计算：______．
- 利用学过的公式计算：______．
- ______．
- 的个位数字是______．
- 现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片边长如图嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片块，再取乙纸片块，还需取丙纸片______块．
三、计算题（本大题共6小题，共36.0分）
- 已知，，求代数式的值；
已知，，求的值． - 若，满足，，求下列各式的值．
； ； ．
- 运用乘法公式计算：
； ；
； ．
- 试用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积：
方法一：______；
方法二：______；
从中你有什么发现，请用等式表示出来：______；
利用你发现的结论，解决下列问题：
如图，两个正方形的边长分别为，，且，求图中阴影部分的面积．
|
- 【初试锋芒】若，，求的值；
【再展风采】已知，，求的值；
【尽显才华】若，则的值是______．
- 根据几何图形的面积可以说明整式的乘法，例如就可以用图的面积关系来说明．
根据图可以写出的一个等式是______；
请你计算，并画出一个相应的几何图形加以说明．
四、解答题（本大题共2小题，共16.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 本小题分你能化简吗？
我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
先填空：______；______；______；
由此猜想：______
利用这个结论，请你解决下面的问题：
求的值；
若，则等于多少？
- 我们已学完全平方公式：，观察下列式子：
；
并完成下列问题
，则______；______；，则______；______；
解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为米的木栅栏围成一个长方形花圃，如图，为了设计一个面积尽可能大的花圃，设长方形垂直于墙的一边长度为米，完成下列任务：
列式：用含的式子表示花圃的面积：______；
请说明当取何值时，花圃的面积最大，最大面积是多少平方米？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D符合题意；
故选：．
利用合并同类项法则，完全平方公式，单项式乘单项式的法则，同底数幂的除法法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了合并同类项，完全平方公式，单项式乘单项式，同底数幂的除法，掌握合并同类项法则，完全平方公式，单项式乘单项式的法则，同底数幂的除法法则是解决问题的关键．
2.【答案】
【解析】解：一个正方形的边长为，把这个正方形的边长增加后得到的正方形的边长为，
面积，
故选：．
由题意得出边长增加后得到的正方形的边长为，即可得出结论．
本题考查了完全平方公式以及正方形的性质，求出边长增加后得到的正方形的边长是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：原式
．
故选：．
根据展开，中间的数全部约分，只剩下第一个数和最后一个数相乘，从而得出答案．
本题考查平方差公式，掌握是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，且，
，．
．
故选：．
根据平方差公式解决此题．
本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：左图的阴影部分的面积为，右图的阴影部分的面积为，
因此有为，
故选：．
用代数式表示出两个图形阴影部分的面积，即可得出等式．
本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是得出等式的前提．
6.【答案】
【解析】解：、，不能用平方公式计算，故A不符合题意．
B、，不能用平方公式计算，故B不符合题意．
C、，故C符合题意．
D、不能用平方差公式，故D不符合题意．
故选：．
两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．．
本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
第为正整数个等式为，
故选：．
先根据已知算式得出规律，再根据求出的规律得出选项即可．
本题考查了数字的变化类，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式和平方差公式等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：是一个完全平方式，
，
解得：或，
故选：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】解：
，
故选：．
根据完全平方公式计算即可．
本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
用平方差公式计算即可．
本题考查平方差公式的应用，解题的关键是掌握平方差公式的特征．
12.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握这些公式是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：
．
，，，，，，，
又，
的个位数字是，
的个位数字是，
即的个位数字是，
故答案为：．
原式乘以，再根据平方差公式进行计算得出原式，分别求出，，，，，，求出的个位数字是，再得出答案即可．
本题考查了尾数特征和平方差公式，能灵活运用平方差公式进行计算是解此题的关键，注意：．
15.【答案】
【解析】解：，
还需取丙纸片块，
故答案为：．
根据完全平方式进行配方可得此题结果．
此题考查了解决完全平方式几何背景问题的能力，关键是能结合图形构造完全平方式．
16.【答案】解：
；
代数式的值是；
．
的值是．
【解析】利用完全平方公式整理代数式，再整体代入求值即可．
利用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则代入代数式求值即可．
本题考查了完全平方公式、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算，做题关键要掌握这些运算法则．
17.【答案】解：，，
；
，，
；
，，
，
．
【解析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
先求出的值，再根据完全平方公式求出即可．
本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的内容是解此题的关键，注意：，．
18.【答案】解：
或者：
．
．
．
．
【解析】见答案
19.【答案】
【解析】解：由题意可得：
方法：，
方法：，
故答案为：，；
，
故答案为：；
阴影部分的面积
，
阴影部分的面积
方法：两个正方形面积和，方法：大正方形面积两个小长方形面积；
由题意可直接得到；
由阴影部分面积正方形边长为的面积正方形为的面积一个三角形的面积，可求阴影部分的面积．
本题考查了完全平方公式的几何背景，解题关键是用代数式表示图形的面积．
20.【答案】
【解析】解：，，
；
，，
，
；
设，，
则，
，
所以
．
通过完全平方公式的变形以及代入即可得出答案；
通过完全平方公式的变形以及代入即可得出答案；
通过完全平方公式的变形以及代入即可得出答案．
本题考查了完全平方公式，关键在于能够正确看出完全平方公式的变形，并进行化简运算．
21. 【答案】
【解析】解：根据题意可得，
．
故答案为：．
，
图形如下：
应用多项式乘法乘多项式的法则进行计算即可得出答案；
应用多项式乘法乘多项式的法则进行计算即可得出答案．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景及多项式乘法，熟练掌握完全平方公式的几何背景及多项式乘法的乘法法则进行求解是解决本题的关键．
22. 【答案】
【解析】解：：；；；
由此猜想：；
故答案为：；；；；
，
；
，即，
，
当时，不成立，
．
原式利用多项式乘多项式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，写出即可；
各项变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
23.【答案】
【解析】解：
，
，
故答案为：，，，；
由题意得：，
故答案为：；
设花圃的面积的面积为，
则
，
当时，花圃的面积最大，最大面积是平方米．
仿照题中例子，把代数式配方求解；
利用矩形的面积公式求解；
把中的代数式进行配方，再求其最值．
本题考查了配方法的应用，熟记完全平方公式是解题的关键．
