数学八年级上册1 互逆命题与互逆定理课时练习

13.5.1互逆命题与互逆定理（附解析）

一、单选题(共10个小题)

1．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②等角的余角相等；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．下列命题是“等角的补角相等”的逆命题的是（        ）

A．如果两个角互补，那么这两个角相等

B．如果两个角的补角相等，那么这两个角相等

C．如果两个角相等，那么这两个角的补角相等

D．如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等

3．下列命题的逆命题成立的是（       ）

A．等边三角形是锐角三角形 B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等

C．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 D．同旁内角互补，两直线平行

4．下列命题中，逆命题是假命题是（　   　）

A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1

C．平行四边形的对角线互相平分 D．如果 x＞y，那么 mx＞my

5．下列命题的逆命题正确的是(         )

A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余

C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等

6．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（     　）

A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1

C．全等三角形的对应角相等 D．如果x＞y，那么mx＞my

7．下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角.

其中原命题与其逆命题都是真命题的有（        ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

8．下列选项中，有逆定理的是（        ）

A．等腰三角形是轴对称图形 B．同角的补角相等

C．三边对应相等的两个三角形全等 D．对顶角相等

9．下列定理中，逆定理不存在的是（        ）

A．等边三角形的三个内角都等于

B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角相等

C．同位角相等，两直线平行

D．全等三角形的面积相等

10．下列定理中，没有逆定理的是（         ）

A．两直线平行，同旁内角互补； B．两个全等三角形的对应角相等

C．直角三角形的两个锐角互余； D．两内角相等的三角形是等腰三角形

二、填空题(共10个小题)

11．命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是__________________，它是_________（填“真命题”或“假命题”）．

12．命题“若，则”的逆命题是________．

13．命题：“如果m是有理数，那么它是实数”，则它的逆命题为：_____________________．

14．命题“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是_________________________．这个逆命题是_________命题．（填真或假）

15．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是________________________它是________（填“真”或“假”）命题．

16．命题“实数、，若，则”的逆命题是_________________________，请你举出一个反例_________________________________，说明逆命题是假命题．

17．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题．

18．命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为_____．

19．命题：“菱形的对角线互相平分”的逆命题是：_______，该命题是_____命题（填“真”或“假”）

20．下列命题，①对顶角相等；②两直线平行，同位角相等；③平行四边形的对角相等．其中逆命题是真命题的命题共有__个．

三、解答题(共3个小题)

21．写出下列命题的逆命题，并指出原命题与逆命题的真假性．

（1）如果，那么；

（2）如果，那么．

（3）如果两个角的两边互相平行，那么这两个角一定相等．

22．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？

（1）同旁内角互补，两直线平行；

（2）如果两个角是直角，那么它们相等；

（3）全等三角形的对应边相等；

（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等．

23．写出命题：“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题；并根据如图，写出已知，求证；并证明其逆命题是真命题．

13.5.1互逆命题与互逆定理解析

1．

【答案】C

【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，符合题意；

②等角的余角相等的逆命题为余角相等的两个角相等，正确，是真命题，符合题意；

③直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，错误，为假命题，不符合题意；

④相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，正确，为真命题，符合题意；

综上分析可知，真命题有3个，故C正确．

故选：C．

2．

【答案】B

【详解】解：命题“等角的补角相等”的逆命题是如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，

故选B．

3．

【答案】D

【详解】解：A、逆命题为锐角三角形是等边三角形，不成立，不符合题意；

B、逆命题为如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等，不成立，不符合题意；

C、逆命题为如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数，不成立，不符合题意；

D、逆命题为两直线平行，同旁内角互补，成立，符合题意．

故选D．

4．

【答案】D

【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，是真命题，它的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；

B、如果|a|＝1，那么a＝1，是假命题，它的逆命题是如果a＝1，那么|a|＝1，是真命题；

C、平行四边形的对角线互相平分，是真命题，它的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；

D、如果x＞y，那么mx＞my，是假命题，它的逆命题是如果mx＞my，那么x＞y，是假命题；

故选：D．

5．

【答案】B

【详解】解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题；

B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题；

C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题；

D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题；

故选：B．

6．

【答案】C

【详解】解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；

B、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a＝1，那么|a|＝1，正确，是真命题，不符合题意；

C、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；

D、当m＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，

故选：C．

7．

【答案】A

【详解】①：原命题“如果a＞b，那么a+c＞b+c”是真命题；逆命题“如果a+c＞b+c，那么a＞b”是真命题.

②：原命题“如果a≥0，b＜0，那么ab≤0”是真命题；逆命题“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是假命题，可能还存在a＞0，b≤0，或a＜0，b≥0，或a≤0，b＞0的情况.

③：原命题“直角三角形有两个锐角”是真命题；逆命题“如果一个三角形有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形”是假命题，如钝角三角形.

故只有①的原命题与其逆命题都是真命题.

故选A.

8．

【答案】C

【详解】解：A、等腰三角形是轴对称图形的逆命题为：轴对称图形是等腰三角形，此逆命题为假命题，所以A选项没有逆定理，不符合题意；

B、同角的补角相等的逆命题为：如果两个角的补角相等，那么这两个角是同一个角，此逆命题为假命题，所以B选项没有逆定理，不符合题意；

C、三边对应相等的两个三角形全等的逆命题为：全等的两个三角形的三边对应相等，此逆命题为真命题，所以C选项有逆定理；

D、对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，此命题为假命题，所以D选项没有逆定理；

故选：C．

9．

【答案】D

【详解】A. 等边三角形的三个内角都等于，逆定理为：三个内角都等于的三角形是等边三角形，此定理存在，不符合题意，

B. 在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角相等，逆定理为：在一个三角形中，如果两角相等，那么它们所对的边相等，此定理存在，不符合题意，

C. 同位角相等，两直线平行，逆定理为：两直线平行，同位角相等，此定理存在，不符合题意，

D. 全等三角形的面积相等，逆定理为：面积相等的三角形是全等三角形，此定理不存在，符合题意，

故选D

10．

【答案】B

【详解】A．其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆定理；

B．其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理；

C．其逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理；

D．其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理．

故选B．

11．

【答案】     如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等；     假命题

【详解】“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的条件是两个实数相等，结论是它们的绝对值相等，因此该命题的逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等”；

比如，但，所以是假命题

故答案为：如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等；假命题

12．

【答案】若a<b，则-3a>-3b

【详解】解：若，则的逆命题是若a<b，则-3a>-3b，

故答案为：若a<b，则-3a>-3b．

13．

【答案】如果m是实数，那么它是有理数

【详解】解：命题：“如果m是有理数，那么它是实致”，它的逆命题是“如果m是实数，那么它是有理数”，

故答案为：如果m是实数，那么它是有理数．

14．

【答案】     三个角都相等的三角形是等边三角形     真

【详解】解：“等边三角形的三个角都相等．”这个命题的逆命题是三个角都相等的三角形是等边三角形．这个逆命题是真命题．

故答案为：三个角都相等的三角形是等边三角形；真．

15．

【答案】     面积相等的三角形是全等三角形，     假

【详解】解：“全等三角形的面积相等”的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，它是假命题．

故答案为：面积相等的三角形是全等三角形，假

16．

【答案】     若a2＝b2，则a＝b     当a＝2，b＝﹣2，则a2＝b2，而a≠b（答案不唯一）

【详解】解：命题“实数a、b，若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是：若a2＝b2，则a＝b，

逆命题是假命题，

举反例：如，当a＝2，b＝﹣2，则a2＝b2，而a≠b，

故答案为：若a2＝b2，则a＝b；当a＝2，b＝﹣2，则a2＝b2，而a≠b，（答案不唯一）

17．

【答案】互逆

【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题，

故答案为：互逆

18．

【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形

【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．

故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．

19．

【答案】     对角线互相平分的四边形是菱形     假

【详解】“菱形的对角线互相平分”的逆命题是：对角线互相平分的四边形是菱形，是假命题，

故答案为：对角线互相平分的四边形是菱形，假．

20．

【答案】

【详解】解：对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题；

两直线平行，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行，此逆命题为真命题；

平行四边形的对角相等的逆命题为对角相等的四边形是平行四边形，此逆命题为假命题．

故答案为：1．

21．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【详解】要写出一个命题的逆命题，关键是找出已知命题的条件和结论，然后把已知命题的条件和结论互换过来得到新命题即可．如（1）的条件是：，结论是：，则它的逆命题的条件是：；结论是：，即逆命题是：如果，那么．

答案解：（1）逆命题：如果，那么；原命题是假命题，逆命题是真命题；

（2）逆命题：如果，那么；原命题是真命题，逆命题是假命题；

（3）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角的两边互相平行；原命题和逆命题都是假命题．

易错：解：（1）逆命题：如果，那么；原命题和逆命题均为假命题．

错因：误认为假命题的逆命题也是假命题．

22．

【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补．成立；（2）如果两个角相等，那么这两个角是直角．不成立；（3）三条边对应相等的三角形全等．成立；（4）如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等．不成立

【详解】（1）两直线平行，同旁内角互补，成立；

（2）如果两个角相等，那么它们是直角；不成立；

（3）如果两个三角形的三条对应边相等，则它们全等；成立；

（4）如果两个实数的平方相等，那么它们相等；不成立．

23．

【答案】逆命题是：一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形，证明见解析

【详解】解：逆命题是：一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形；

已知：△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且，

求证：△ABC是等腰三角形．

证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

即△ABC是等腰三角形．