2022威海乳山高三上学期期中数学试题含答案

试卷类型：A

高三数学

2021.11

本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．我们称可同时存在于一个指数函数与一个对数函数的图象上的点为“和谐点”，则四个点，，，中“和谐点”的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

4．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

5．为庆祝中国共产党成立100周年，某学校组织“红心向党”歌咏比赛，前三名被甲、乙、丙获得．下面三个结论：“甲为第一名，乙不是第一名，丙不是第三名”中只有一个正确，由此可推得获得第一、二、三名的依次是（    ）

A．甲、乙、丙 B．乙、丙、甲 C．丙、甲、乙 D．乙、甲、丙

6．若函数在上无极值，则实数的取值范围是（    ）

A．  B．

C．  D．

7．已知，，，则的最小值为（    ）

A． B．12 C． D．16

8．“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上．此模型的体积为（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9．某位同学10次考试的物理成绩与数学成绩如下表所示：

参考数据：．

已知与线性相关，且关于的回归直线方程为，则下列说法正确的是（    ）

A．  B．与正相关

C．与的相关系数为负数 D．若数学成绩每提高5分，则物理成绩估计能提高5.5分

10．下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（    ）

A． B． C． D．

11．已知正方体的棱长为1，下列结论正确的有（    ）

A．异面直线与所成角的大小为

B．若是直线上的动点，则平面

C．与此正方体的每个面都有公共点的截面的面积最小值是

D．若此正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截正方体所得截面面积的最大值是

12．下列结论正确的有（    ）

A．若，，时，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，，均为正整数，，，，则

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，且，则的方差为________．

14．为迎接2022年北京冬奥会，将4名志愿者分配到花样滑冰、速度滑冰2个项目进行培训，每名志愿者分配到1个项目，每个项目至少分配到1名志愿者，则不同的分配方案共有________种．（用数字作答）

15．若函数，则________．

16．学生小雨欲制作一个有盖的圆柱形容器，满足以下三个条件：①可将八个半径为的乒乓球分两层放置在里面；②每个乒乓球都和其相邻的四个球相切；③每个乒乓球与该容器的底面（或上盖）及侧面都相切，则该容器的高为________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知函数（为常数，）是上的奇函数．

（1）求实数的值；

（2）若函数在区间上的值域为，求的值．

18．（12分）已知命题：“，关于的方程有两个不相等的负实根”是假命题．

（1）求实数的取值集合；

（2）在（1）的条件下，设不等式的解集为，其中．若是的充分条件，求实数的取值范围．

19．（12分）在①；②的面积；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决该问题．

问题：在中，它的内角，，所对的边分别为，，，为锐角，，________．

（1）求的最小值；

（2）若为上一点，且满足，判断的形状．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

20．（12分）如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，是的中点，且满足．

（1）求证：平面；

（2）已知，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小．

21．（12分）2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；

（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；

（3）转化为百分制后，规定成绩在的为等级，成绩在的为等级，其它为等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得等级的人数设为，记等级的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？

22．（12分）已知，函数，．

（1）讨论的单调性；

（2）过原点分别作曲线和的切线和，求证：存在，使得切线和的斜率互为倒数；

（3）若函数的图象与轴交于两点，，且．设，其中常数、满足条件，，试判断函数在点处的切线斜率的正负，并说明理由．

高三数学参考答案及评分标准

2021.11

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1-4  CABA 5-8  BDCC

二、多项选择题（每小题5分，共20分）

9．ABD 10．BD 11．BC 12．ACD

三、填空题（每小题5分，共20分）

13．18 14．14 15． 16．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．解：（1）因为函数是上的奇函数，所以，

即对恒成立，

整理得对恒成立，

即，解得．

（2）由，可知是上的增函数，

所以，

，解得，

故．

18．解：（1）方程有两个不相等的负实根时，则，

解得，因为是假命题，所以集合．

（2）因为是的充分条件，所以，

①当时，集合，因为，所以．所以．

②当时，集合，此时恒成立．

所以时符合题意．

综上，的取值范围是．

19．解：选①：由正弦定理得，

因为，所以，因为为锐角，所以．

选②：，所以，

因为为锐角，所以．

选③：由余弦定理得，

因为为锐角，所以．

（1）在中，由余弦定理得，

因为，当且仅当时取得等号，

所以，即，解得，所以的最小值为3．

（2）由题意，设，，因为，所以，

在中，，，

由正弦定理得，因为，

所以，即，

所以，即，

又，所以，即，所以，，

所以为直角三角形．

20．证明：（1）因为点在底面内的射影恰好是点，

所以底面，又因为底面，所以．

在中，因为是的中点且，

所以是直角三角形，即，

因为，所以平面．

（2）因为底面，且直线与底面所成角的大小为，所以，所以．

过点作平面的垂线，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，，

所以，．

设平面的法向量，则

令，解得，，此时．

显然是平面的一个法向量，．

因为．

由图可知二面角是锐角，

因此二面角的大小为．

21．解：（1）由，解得，

因为前两组的频率之和为，

前三组的频率之和为，

设中位数为，则，所以，解得（分）．

（2）因为50人中成绩在共有人，成绩在共有人，成绩在共有人，所以抽取了7人，抽取了3人，抽取了1人，

的所有可能取值为0，1，2，3，

，，

，，

所以的分布列为：

数学期望．

另解：因为，所以．

（3）的频率为，由题意知，

所以（，）．

法一：作商法

，解得．

法二：作差法

，

解得，

所以，当时，即，

当时，即，

所以，即当时，最大．

22．解：（1），

若，则，函数在上单调递增，无单调递减区间；

若，则当时，；当时，．

此时函数在上单调递增，在上单调递减．

（2）证明：设切线的方程为，切点为，，

故，所以，．

则结合题意知切线的斜率，切线的方程为，

设切线与曲线的切点为，．所以．①

又因为，即，②

由①②消去得：，

令，则．

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增．

又因为，，

故存在使得，

将代入①式解得，

故存在，使得切线和的斜率互为倒数．

（3），，

由题意知，两式相减得：，

所以．

又因为，，所以，．

所以

，

易知其中，

所以只需研究：的正负，可先判断的正负．

令，，．

设，，

．

因为，，所以，，所以在上恒成立．

在上单调递增，，即．

因为，所以，结合，

可知，即在点处的切线斜率为正．