2021学年7.3* 复数的三角表示课时训练

7.3  复数的三角表示式及运算

本节课知识点目录：

1、复数的代数式化三角表示式；

2、复数的三角表示式化代数形式。

3、复数乘法的三角形式运算

4、复数除法的三角形式

5、复数的辐角

6、复数的辐角主值

7、探究与发现：地墨菲定理

8、复数三角形式的综合应用

9、联考与联赛题选

一、复数的代数式化三角表示式

复数的三角式：z=r（cosθ+isinθ）

特征：

(1).r≥0；

(2).相同角θ，θ为辐角但不一定是辐角主值；

(3).cosθ与isinθ之间用“＋”号连接．

【典型例题】

【例1】将下列复数化为三角形式：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【例2】把下列复数化为三角形式：-3，．

【例3】把下列复数表示成三角形式，并画出与它们对应的向量．

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)2

(6)

(7)2i

(8)

【例4】利用，，把复数表示成三角形式．

【例5】下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【例6】下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.

（1）；

（2）.

【例7】复数的三角形式为（       ）

A． B．

C． D．

【对点实战】

1.把下列复数表示成三角形式；

(1)

(2)

(3)

(4)13

2.把下列复数表示成三角形式：

（1）﹣2(cosπ+isin)；

（2）sinicos；

（3）(sin5)•(cosisin).

3.将下列复数代数式化为三角式：

（1）；       

（2）.

4.复数的三角形式为（       ）

A． B．

C． D．

二、复数的三角形式化代数形式

【典型例题】

【例1】分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．

（1）4；

（2）2

【例2】把下列复数的三角形式化成代数形式.

（1）；

（2）.

【例3】将复数化成代数形式，正确的是（       ）

A．4 B．-4 C． D．

【例4】．复数的代数形式是_____________.

【例5】将复数化为代数形式为___________

【例6】将复数z=3化成代数形式为_____;|z|=_____.

三、复数乘法的三角形式

复数乘法运算三角表示的几何意义:

复数z1，z2对应的向量为，，把向量绕点O按逆时针方向旋转θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.

【典型例题】

【例1】______________.

【例2】如图，向量与复数对应，把按逆时针方向旋转120°，得到．求向量对应的复数（用代数形式表示）．

【例3】将复数对应的向量按顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．

【例4】求证：

(1)

(2)

【对点实战】

1.在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）．

2.计算：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

3.已知z1=，z2=6cos+isin，计算z1z2，并说明其几何意义.

四、复数除法的三角形式

复数除法运算三角表示的几何意义:

复数z1，z2对应的向量为，，把向量绕点O按顺时针方向旋转θ2，再把它的模变为原来的，得到向量，表示的复数就是商.

【典型例题】

【例1】______.

【例2】_______________.

【例3】_______________.

【例4】复数z的辐角，则对应的点位于第______象限．

【例5】若，且为负实数，则复数__________．

【对点实战】

1.化简：

(1)

(2)

2.计算：

(1)

(2)

(3)

(4)

3.求证:.

五、复数的辐角

辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线(射线OZ)为终边的角，显然辐角有无数个．而辐角主值是指在0≤θ<2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个．θ＝2kπ＋arg z，k∈Z.

【典型例题】

【例1】求复数的模与辐角．

【例2】复数的一个幅角为（       ）

A． B． C． D．

【例3】“复数的模与辐角分别相等”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【例4】若复数的辐角为，的辐角为，则______．

【例5】把复数3－i对应向量按顺时针方向旋转π，所得向量对应复数为（       ）

A．2 B．－2i

C．－3－i D．3－i

【例6】设复数在复平面上对应的向量为，将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，若，则自然数的最小数值为___________

【例7】已知复数的辐角为，的辐角为，则复数等于（       ）

A． B． C． D．

六、辐角的主值

规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，即0≤arg z<2π.

【典型例题】

【例1】任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（       ）

A． B． C． D．

【例2】已知复数则（       ）

A． B． C． D．

【例3】．求下列复数的模与辐角主值：

(1)

(2)

(3)

(4)

【例4】已知

（1）当为何值时，取得最大值，并求此最大值；

（2）若，求（用表示）.注：是辐角主值.

【例5】求复数的模与辐角主值.

【例6】已知复数和的辐角主值分别为、，则等于（       ）

A． B． C． D．1

【例7】设复数z的辐角是，实部是－2，则z＝________．

【例8】设z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i则argz1＋argz2＋argz3＝（       ）

A． B．

C． D．

【对点实战】

1.画出下列复数所对应的向量，并用三角形式表示(辐角取主值)：

（1）4；

（2）﹣2i；

（3）﹣2+2i；

（4）.

2.已知复数，求复数的辐角主值.

3.复数的辐角主值为

A． B． C． D．

4.当实数m＝________时，复数(m2－m－2)＋(2m2－3m－2)i的辐角主值是π．

5.已知复数满足，且，则的三角形式为__________．

6.复数的辐角主值为__________．

7.如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的（       ）

A．辐角唯一 B．辐角主值唯一

C．辐角主值为 D．辐角主值为

七、探究与发现：棣莫弗定理

棣莫佛定理：复数的n(n∈N*)次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍．即[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)

【典型例题】

【例1】棣莫弗定理：若两个复数，，则，已知，，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【例2】已知：棣莫弗公式（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【例3】已知复数满足且，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【例4】，则__________.

【例5】已知复数，若（，且），则的最小值为__________．

【例6】复数是方程的一个根，那么的值等于________.

【例7】设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（       ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【对点实战】

1. ÷()=_____.

2.复数经过次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，求的值．

3.   在复数范围内，验证，，1，2，…，为方程的n个根，并给出几何解释．

八、复数三角形式的综合应用

【典型例题】

【例1】利用复数证明余弦定理．

【例2】在复平面内，设为坐标原点，点所对应的复数分别为，且的辐角主值分别为，模长均为1.若的重心对应的复数为，求.

【例3】已知复数满足，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【例4】已知复数满足，则的最大值是__________.

【例5】设复数，满足，，则__________．

【例6】已知，，其中，且，，求的值．

【例7】已知，且，若．

（1）求复数的三角形式，并且复数的辐角主值；

（2）求．

【例8】如图，若与分别表示复数Z1=1+2i，Z2=7+i，求，并判断的形状.

【例9】已知是实数，是非零复数，且满足，.

（1）求；

（2）设，若，求的值.

九、联赛、联考与自主招生题选

【例1】对任意三个模长小于1的复数，，，均有恒成立，则实数的最小可能值是______．

上海市高三数学竞赛试题

【例2】已知复数列，，…，，…满足，，，，n=1,2,...则在圆的内部所含有的的个数是______________．

全国高中数学联赛广西赛区初赛试题

【例3】复数，满足，，则______.

2021年浙江省数学夏令营测试题