高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直同步训练题，文件包含86空间直线平面的垂直典例精讲-2022-2023学年高一下学期数学同步精讲+检测人教A版2019必修第二册解析版docx、86空间直线平面的垂直典例精讲-2022-2023学年高一下学期数学同步精讲+检测人教A版2019必修第二册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共67页， 欢迎下载使用。

8.6空间直线、平面的垂直
-----典例精讲

本节课知识点目录：
1、 异面直线所成的角；
2、 直线与直线垂直。
3、 直线和平面垂直的判定定理
4、 直线和平面垂直的性质定理
5、 线面垂直的计算：线面角与距离
6、 二面角及二面角的平面角求法
7、 平面与平面垂直的判定定理。
8、 平面与平面垂直的性质定理
9、 联考、模考题选

一、异面直线所成的角
1.定义：平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°.
2范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.
3.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
4.两条异面直线所成角α的取值范围：0°<α≤90°.

【典型例题】
【例1】已知两异面直线a，b所成的角为17°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为9°，那么这样的直线l有_______条．


【例2】如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝（       ）

A．3 B．4
C．5 D．6


【例3】如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（       ）

A．90° B．45° C．60° D．30°


【例4】如图，在矩形中，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，若为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（       ）

A． B．2 C． D．4

【例5】在正方体各个表面的对角线中，与所成角为的有
A．4条 B．6条 C．8条 D．10条

【例6】如图所示，空间四边形中，两条对边，分别是另外两条对边上的点，且，则异面直线和所成角的大小为___________.



【例7】如图所示，在正三角形中，分别为各边的中点，分别为的中点.将沿折成三棱锥以后，与所成角的度数为

A． B． C． D．
【对点实战】
1.若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是（       ）
A． B．
C．，既不垂直也不平行 D．，的位置关系不确定

2.已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．

3.如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于

A．30° B．45° C．60° D．90°

4.如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为(　　)

A． B． C． D．


5.设P是直线外一定点，过点P且与成30°角的异面直线(　　)
A．有无数条 B．有两条 C．至多有两条 D．有一条

二、直线与直线垂直
【典型例题】
【例1】在正方体中，与垂直的直线是（       ）
A．AB B．CD C． D．



【例2】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（       ）

A．2条 B．4条
C．6条 D．8条

【例3】平行四边形中，，将三角形沿着翻折至三角形，则下列直线中有可能与直线垂直的是（       ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线


【例4】如图所示，在正方体中，下列直线与垂直的是（       ）

A． B． C． D．

【例5】如图，正方体中，
①与平行；
②与垂直；
③与垂直．

以上三个命题中，正确命题的序号是（       ）
A．①② B．②③ C．③ D．①②③


【例6】如图所示，在正方形中，点，分别为边，的中点，将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，
①点与点在某一位置可能重合；②点与点的最大距离为；
③直线与直线可能垂直；     ④直线与直线可能垂直.
以上说法正确的个数为

A．0 B．1 C．2 D．3


【例7】空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是　(　　)
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形


【例8】如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是

A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直


【对点实战】
1.在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（　　）条．
A．2 B．4
C．6 D．8

2.如图，在长方体中，，M、N分别是、的中点.则直线与是（       ）

A．相互垂直的相交直线
B．相互垂直的异面直线
C．相互不垂直的异面直线
D．夹角为60°的异面直线

3.．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是（       ）

A．AB⊥EF
B．AB与CM所成的角为60°
C．EF与MN是异面直线
D．MNCD

4.设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（       ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
第11课时 课后 直线与直线垂直

5.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有______．


三、直线和平面垂直判定定理
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示

画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

文字语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
图形语言

【典型例题】
【例1】在长方体的各条棱所在直线中与直线垂直的直线有（       ）条．
A．2 B．4条 C．6条 D．8条

【例2】．已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是（       ）
A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α

【例3】如图，在矩形中，，，为边的中点，沿将折起，在折起的过程中，下列结论能成立的是（       ）

A．平面 B．平面
C．平面 D．平面


【例4】．已知平面、和直线m、l，要使“若，，，则”正确，则须添加条件（       ）
A． B．
C．l与相交但不垂直 D．l与m为异面直线

【例5】一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.
其中能保证该直线与平面垂直的是
A．①③ B．② C．②④ D．①②③


【对点实战】
1.以下哪个条件能判断直线l与平面垂直（       ）
A．直线l与平面内无数条直线垂直
B．直线l与平面内两条平行直线垂直
C．直线l与平面内两条直线垂直
D．直线1与平面内两条相交直线垂直

2.如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（        ）

A．平面 B．平面
C．平面 D．平面

3.已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列条件中能得出直线平面的是
A．，其中 B．
C． D．


四、直线和平面垂直性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
⇒a∥b
图形语言


【典型例题】
【例1】已知正方体中，点分别是线段上的动点，观察直线与，与，得出下列结论：
①对于任意给定的点，存在点，使得；
②对于任意给定的点，存在点，使得；
③对于任意给定的点，存在点，使得；
④对于任意给定的点，存在点，使得；
其中正确的结论是（       ）

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

【例2】在空间中，下列命题正确的是（       ）
A．垂直于同一平面的两个平面平行
B．垂直于同一平面的两条直线平行
C．平行于同一直线的两个平面平行
D．平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行
广西玉林市育才中学2020-2021学年高二3月月考数学（文）试题

【例3】在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（       ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心


【例4】直三棱柱中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，交于点E．要使，则线段的长为（       ）
A． B．1 C． D．2


【例5】知平面，直线m，n满足，，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【例6】如图，在直三棱柱中，，，是的中一点，点在上，记，若平面，则实数的值为（       ）

A． B． C． D．1

【例7】正方体棱长为3，点E在边BC上，且满足BE＝2EC，动点M在正方体表面上运动，并且总保持，则动点M的轨迹的周长为__.



【对点实战】
1.若直线平面，直线平面，则直线a与直线b的位置关系为（       ）
A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或异面

2.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则（       ）
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直
D．B1B与l相交但不垂直

3.如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（       ）

A． B． C． D．

4.已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列一定能得到的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，，，


5.如图，是的斜边，平面，连接，，作于D，连接，则图中共有直角三角形（       ）

A．6个 B．7个 C．8个 D．9个

6.已知是空间中的三条直线，其中直线在平面上，则“且”是“平面”的(       )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件


五、线面垂直计算：线面角与距离
有关概念
对应图形
斜线
一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA

斜足
斜线和平面的交点，如图中点A
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°
取值范围
设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°
求直线与平面所成角的关键是寻找过直线上一点与平面垂直的垂线、垂足与斜足的连线即为直线在平面内的射影，直线与直线在平面内射影所成的角即为线面角．
【典型例题】
【例1】如图，已知正方形和正方形所在平面成60°的二面角，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）．

A． B． C． D．


【例2】在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，点E为PA的中点，，，，则点B到平面PCD的距离为（       ）
A． B． C． D．


【例3】已知是球的球面上的四点，为球的直径，球的表面积为，且，，则直线与平面所成角的正弦值是___________.


【例4】如图，四面体中，，，两两垂直， ，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为

A． B． C． D．

【例5】如图，在正方体中，，点P在平面内，，则点P到距离的最小值为（       ）

A． B． C． D．3


【例6】在四棱锥中，AD＝2，，，且，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（       ）
A． B． C． D．


【例7】已知三棱锥的所有顶点都在表面积为64π的球面上，且SA⊥平面ABC，，，，M是边BC上一动点，则直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为（       ）
A．3 B． C． D．



【对点实战】
1.三棱柱，侧棱底面，底面是边长为2的等边三角形，点E是的中点，则E到平面的距离为（       ）
A． B．1 C． D．

2.在正方体中，与平面所成角的正弦值是（       ）
A． B． C． D．

3.已知长方体的一条对角线与平面和平面所成的角都是，则直线与平面ABCD所成的角是__________．


4.已知正方体的棱长为1，E为线段上的点，过点E作垂直于的平面截正方体，则截面图形的周长为______.

5.在长方体中，，，，点到平面的距离为_______．

6.PA、PB、PC是从点P出发的三条射线，其中，，则PC与平面PAB所成角的余弦值为____________．

六、二面角及二面角的平面角求法
1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
2．相关概念：
(1)这条直线叫做二面角的棱；
(2)两个半平面叫做二面角的面．
3．画法：
　　　　
4．记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.
5．二面角的平面角：
(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.

(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．
求二面角的平面角的大小的步骤

【典型例题】
【例1】．如图.是圆的直径，，，是圆上一点(不同于，)，且，则二面角的平面角为（       ）

A． B． C． D．

【例2】如图，在直三棱柱中，底面三角形是等边三角形，且，，则二面角的大小为（       ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【例3】如图，已知梯形，．，沿着对角线折叠使得点B，点C的距离为，此时二面角的平面角为（       ）

A． B． C． D．


【例4】已知四面体的每个顶点都在球O（О为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（       ）
A． B． C． D．

【例5】如图，在正四棱台中，记直线与CD所成角为，直线与平面ABCD所成角为，二面角所成角为，则下列关系正确的是（       ）

A．， B．，
C．， D．，


【例6】如图所示，已知△，是的中点，沿直线将△翻折成△，所成二面角的平面角为，则（       ）

A． B． C． D．



【例7】正方体中，点，分别为棱，上的点（不包含端点），设二面角的平面角为，若，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．


【对点实战】
1.已知三棱锥D­-ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D-BC-A的余弦值为（       ）

A． B． C．0 D．－

2.如图，锐二面角α-l-β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝BD＝6，CD＝8，则锐二面角α-l-β的平面角的余弦值是（       ）

A． B． C． D．

3.已知三棱锥的体积为3，且满足，，两两垂直，二面角为，则面积的最小值为（       ）
A．6 B． C．9 D．


4.已知四面体ABCD中，△ABD和△BDC是等边三角形，二面角A﹣BD﹣C为直二面角.若AB＝，则四面体ABCD外接球的表面积为 __________________.

5.在60°二面角的一个面内有一个点，若它到二面角的棱的距离是10，则该点到另一个面的距离是______.
上海市宝山中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题

七、平面与平面垂直的判定定理
1．平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)画法：

(3)记作：α⊥β.


2．平面与平面垂直的判定定理
文字语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
符号语言
l⊥α，l⊂β⇒α⊥β
图形语言

【典型例题】
【例1】设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（       ）
A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，m∥n，则n∥α
C．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β

【例2】．如图，在正方体的六个面中，与底面垂直的面有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【例3】已知三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有
A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ADC⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面ADB

【例4】经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（       ）
A．0个 B．1个 C．无数个 D．1个或无数个

【例5】如图所示，在四棱锥中，底面，且底面为菱形，是上的一个动点，若要使得平面平面，则应补充的一个条件可以是

A． B． C． D．是棱的中点

【例6】一个三棱锥的四个面中最多有______对面面垂直.

【例7】已知是边长为的正方形，点在平面外，侧棱，，则该几何体的5个面中，互相垂直的面有______对


【对点实战】
1.若平面平面，平面平面，则（       ）
A． B． C．与相交但不垂直 D．以上都有可能

2.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面(　　)
A．有1个 B．有2个
C．有无数个 D．不存在

3.如图，是一个四棱锥，平面BCDE，且四边形BCDE为矩形，则图中互相垂直的平面共有（       ）

A．4组 B．5组 C．6组 D．7组

4.如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的有___________(写出全部正确命题的序号).

①平面平面；
②平面平面；
③平面平面，且平面平面；
④平面平面，且平面平面.

5.在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足___________时，平面MBD⊥平面PCD.


八、平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β
图形语言


【典型例题】
【例1】已知，，是三个不同的平面，是一条直线，则下列说法正确的是（       ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则


【例2】如图所示，在斜三棱柱中，，且，过作平面，垂足为，则点在（       ）

A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部

【例3】设，，为三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法错误的是（       ）．
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，，则

【例4】已知梯形，，，为中点，将沿折起，使点移至点，若平面平面，则（       ）
A． B． C． D．

【例5】在中，是斜边的高线，现将沿折起，使平面平面，则折叠后的长度为（       ）
A．2 B． C． D．3

【例6】在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．


【例7】如图，棱长为2的正方体，是四边形内异于，的动点，平面平面.则点的轨迹的长度为______.


【对点实战】
1.已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则

2.如图，在斜三棱柱中中，，，点为上的一个动点，则点在底面ABC上的射影必在（       ）

A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部

3.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中错误的是（       ）

A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAD⊥平面PDC
C．AB⊥PD
D．平面PAD⊥平面PBC

4.三棱锥中，为边长为3的等边三角形，，，且面面，则三棱锥的外接球的体积为___________.


5.如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=3，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为___________．


九、联赛、联考与自主招生题选
【例1】如图，将矩形纸片折起一角落得到，记二面角的大小为，直线，与平面所成角分别为，，则（       ）．

A． B．
C． D．


【例2】如图，等腰直角中，，点为平面外一动点，满足，，给出下列四个结论：

①存在点，使得平面平面；
②存在点，使得平面平面；
③设的面积为，则的取值范围是；
④设二面角的大小为，则的取值范围是.
其中正确结论是（       ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④


【例3】已知正三棱柱的各棱长都是4，点是棱的中点，动点在侧棱上，且不与点重合，设二面角的大小为，则的最小值为_________.