高中人教A版 (2019)9.2 用样本估计总体精练

这是一份高中人教A版 (2019)9.2 用样本估计总体精练，文件包含92用样本估计总体典例精讲-2022-2023学年高一下学期数学同步精讲+检测人教A版2019必修第二册解析版docx、92用样本估计总体典例精讲-2022-2023学年高一下学期数学同步精讲+检测人教A版2019必修第二册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共103页， 欢迎下载使用。
9.2-用样本估计总体-
-----典例精讲

本节课知识点目录：
1、 制作频率分布直方图
2、 频率分布直方图的应用。
3、 折线图、条形图、扇形图及其应用。
4、 百分位数的计算
5、 众数、中位数、平均数的计算
6、 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
7、 方差、标准差的计算与应用
8、 统计图表与方差、标准差的综合应用

、制作频率分布直方图
作频率分布直方图的步骤
(1)求极差：极差为一组数据中最大值与最小值的差．
(2)决定组距与组数
将数据分组时，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．
(3)将数据分组
(4)列频率分布表
各小组的频率＝.
(5)画频率分布直方图
纵轴表示，实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，小长方形的面积＝组距×＝频率．
【典型例题】
【例1】为考查某校高二男生的体重，随机抽取44名高二男生，实测体重数据(单位：kg)如下：
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48
将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图．


【例2】从某校高一年级的1002名新生中用简单随机抽样的方法抽取一个容量为100的身高样本，数据(单位：cm)如下表所示：
168
165
171
167
170
165
170
152
175
174
165
170
168
169
171
166
164
155
164
158
170
155
166
158
155
160
160
164
156
162
160
170
168
164
174
171
165
179
163
172
180
174
173
159
163
172
167
160
164
169
151
168
158
168
176
155
165
165
169
162
177
158
175
165
169
151
163
166
163
167
178
165
158
170
169
159
155
163
153
155
167
163
164
158
168
167
161
162
167
168
161
165
174
156
167
166
162
161
164
166

试作出该样本的频率直方图.


【例3】，9；，11；，10；，5；，4.


【例4】通过抽样，我们获得了100位居民某年的月平均用水量（单位：t），如下表：
3.1
2.5
2.0
2.0
1.5
1.0
1.6
1.8
1.9
1.6
3.4
2.6
2.2
2.2
1.5
1.2
0.2
0.4
0.3
0.4
3.2
2.7
2.3
2.1
1.6
1.2
3.7
1.5
0.5
3.8
3.3
2.8
2.3
2.2
1.7
1.3
3.6
1.7
0.6
4.1
3.2
2.9
2.4
2.3
1.8
1.4
3.5
1.9
0.8
4.3
3.0
2.9
2.4
2.4
1.9
1.3
1.4
1.8
0.7
2.0
2.5
2.8
2.3
2.3
1.8
1.3
1.3
1.6
0.9
2.3
2.6
2.7
2.4
2.1
1.7
1.4
1.2
1.5
0.5
2.4
2.5
2.6
2.3
2.1
1.6
1.0
1.0
1.7
0.8
2.4
2.8
2.5
2.2
2.0
1.5
1.0
1.2
1.8
0.6
2.2

试用频率直方图分析该地居民月平均用水量的分布情况.


【对点实战】
1.某校从参加某次知识竞赛测试的学生中随机抽出名学生，将其成绩(百分制)(均为整数)分成六段，…后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图.

2.某校从全体教师中抽取了50位教师参加教育部门组织的知识竞赛，根据这50位教师的竞赛成绩（满分100分）制作了如图所示的频数分布表与部分频率分布直方图．

成绩/分
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
2
9
a
b
6

（1） 求a，b，
（2） 补全频率分布直方图；

3.生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤细的一种量)，共有100个数据，将数据分组如下表：
分组
频数
频率

4


25


30


29


10


2

合计
100


（1） 完成频率分布表，
（2） 画出频率分布直方图；



二、频率分布直方图的应用
频率分布直方图的性质
①因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
③＝样本容量．
【典型例题】
【例1】为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．

(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
(3)样本中不达标的学生人数是多少？
(4)第三组的频数是多少？

【例2】从某校500名12岁男孩中用简单随机抽样的方法抽取一个容量为120的身高(单位：cm)样本，具体数据如下表所示：
分组
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
人数
5
8
10
22
33
分组
[142,146)
[146,150)
[150,154)


人数
20
11
6
5


(1)列出频率分布表；(2)画出频率直方图；(3)画出频率折线图；
(4)估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比.


【例3】根据中国银行的外汇牌价，第一季度的个工作日中，欧元的现汇买入价（欧元的外汇可兑换人民币）的分组和各组的频数如下：
，；，；，；，；，；，；，.
(1)列出欧元的现汇买入价的频率分布表；
(2)估计欧元的现汇买入价在内的频率；
(3)若欧元的现汇买入价不超过的频率的为，求.


【例4】某工厂对200个电子元件的使用寿命进行检查，按照使用寿命（单位：h），可以把这批电子元件分成第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组.由于工作中不慎将部分数据丢失，现有以下部分图表：

使用
寿命






频数

30


20

频率


0.2
0.4



(1)求图2中A的值；
(2)补全图2频率分布直方图，并求图2中阴影部分的面积；
(3)为了某次展销会，用分层抽样的方法在寿命位于内的产品中抽取5个作为样本，那么在内应抽取多少个？

【例5】某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在的学生人数为6.

（1）求直方图中的值；
（2）求的值；
（3）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70”的概率.




【对点实战】
1.某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，…，，整理得到如下频率分布直方图；

（1）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；
（2）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；

2.为了了解某地高中学生的体能状况，抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图．为提高本地学生的身体素质，教育主管部门要求，每分钟跳绳不超过120次的学生，需要增加平时体育锻炼的时间．

（1）求x值；
（2）若该地区有6000名高中学生，估计其中需要增加平时体育锻炼时间的人数．

3.某校从高一年级学生中随机抽取名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，…，后得到如图的频率分布直方图．

（1）求图中实数的值；
（2）若该校高一年级共有学生人，试估计该校高一年级在考试中成绩不低于分的人数；
（3）样本中数学成绩在与两个分数段内的学生人数分别为多少？

4.一研究所为帮助某地脱贫致富，引进一种新的水果进行种植.该研究所随机抽取了高度在(单位：)的50棵水果进行研究，得到其高度的频率分布直方图(如图所示).

（1）求的值；.
（2）经研究，水果高度在的经济效益最好，若已知该地种植该水果约为10万棵，试根据直方图信息估计高度在的植物数量.



三、折线图、条形图、扇形图及应用
1.条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率．
2.扇形图是用整个圆面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数．
3.在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义．

【典型例题】
【例1】郫都是中国农家乐旅游发源地、最美中国生态旅游目的地，是四川省乡村旅游的先行者，快工作慢生活，构成了安逸郫都最靓丽的风景线.郫都大部分农民都有自己的苗圃，也不断改进种植花卉苗木的技术．改进后，某种苗木在单位面积上的出苗数量增加了50%，且在同一生长周期内的高度（cm）变化的饼图如图所示，则下列说法正确的是（       ）

A．80cm以上优质苗木所占比例增加10%
B．改进后，80cm以上优质苗木产量实现了增加80%的目标
C．70cm-80cm的苗木产量没有变化
D．70cm以下次品苗木产量减少了

【例2】某食品公司为了调查消费者对某款新食品的认可情况，随机抽取了100位消费者进行食品认可度（共设，，，四个等级）的调查，每位被调查的消费者均对该食品认可度等级进行了评定，调查的结果如下图（表）：

男性消费者
认可度等级
频数
频率
级
18
0.3
级
24
0.4
级


级



(1)求，，的值，并求被调查者中，认可度等级为级的女性消费者人数；
(2)公司计划按性别采用分层抽样的方法从认可度等级为级或级的消费者中选取11人派送礼品，分别求被选中的男性消费者人数和女性消费者人数．

【例3】．如图所示是根据某市月日至月日的最低气温（单位：）的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市月日到日最低气温（单位：）的扇形统计图和条形统计图.





【例4】小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图．

根据图中的信息，回答以下问题：
(1)护士每隔几小时给小明测量一次体温？
(2)近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？
(3)从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？
(4)如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，那么小明最快什么出院？


【例5】为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．

请根据统计图提供的信息回答以下问题：
(1)求抽取的学生数；
(2)若该校有3 000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；
(3)估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比．

【例6】根据以往的成绩记录，甲射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示．

(1)求图中a的值；
(2)求甲命中环数大于7的频率．


【例7】某手机店根据手机销售的相关数据绘制了两幅统计图．来自该店财务部的数据报告表明，该手机店 月的手机销售总额一共是万元.请根据图①、图②解答下列问题：
       
（1）该手机店三月份的销售额为多少万元？
（2）该店一月份音乐手机的销售额为多少万元?
（3）小刚观察图②后，认为四月份音乐手机的销售额比三月份减少了，你同意他的看法吗?请说明理由．



【对点实战】
1.200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组．其中参加文学类的有33人，参加理化类的有30人，参加数学类的有62人，参加社会科学类的有47人，参加信息类的有28人．
(1)列出学生参加各类课题组的频率分布表并作出相应的扇形统计图；
(2)画出条形统计图．


2.有140位选手参加高尔夫球赛，他们的成绩统计如下：
杆数
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
选手数
1
2
5
3
8
17
20
31
22
21
10

(1)列出频率分布表；
(2)画出条形统计图．


3.下面是从某镇抽取的50户家庭一年中12个月的用电量的统计图表，试根据图表说明：

(1)一年中这50户家庭月用电高峰是哪几个月？用电低谷是哪几个月？并解释可能的原因.
(2)有几个月用电总量为7000度？

4.高一年级期末考试成绩各分数段：，，，，的频率分布如下图．

（1）计算高一年级所有同学成绩的中位数；
（2）若高一年级有1000人，把成绩从低到高编号，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，其中一个个体的编号为63，请写出抽样在之间的个体的编号．





四、百分位数的计算
1．第p百分位数的定义：
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
2．计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤如下：
第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
3．四分位数
25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数．

【典型例题】
【例1】数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的70％分位数为（       ）
A．6 B．7 C．6.5 D．6或7

【例2】已知一组数据：125，121，123，125，127，129，125，128，130，129，126，124，125，127，126.则这组数据的第25百分位数和第80百分位数分别是（       ）
A．125　128 B．124　128 C．125　129 D．125　128.5

【例3】某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示.估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是（　　）

A．28 mm B．28.5 mm
C．29 mm D．29.5 mm

【例4】下列关于分位数的说法正确的是 （       ）
A．分位数不是中位数
B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是
C．它是四分位数
D．它只适用于总体是离散型的数据

【例5】下表为12名毕业生的起始月薪：
毕业生
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
起始月薪
2850
2950
3050
2880
2755
2710
2890
3130
2940
3325
2920
2880

根据表中所给的数据计算75%分位数为（       ）
A．2950 B．3050 C．3130 D．3000

【例6】从800件产品中抽取6件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将800件产品按001，002，…，800进行编号．如果从随机数表第8行第8列的数8开始往右读数（随机数表第7行至第9行的数如下），则抽取的6件产品的编号的75%分位数是（       ）
……
8442175331   5724550688   77047447672176335025   8392120676
6301637859   1695566711   69105671751286735807   4439523879
3321123429   7864560782   52420744381551001342   9966027954
A．105 B．556 C．671 D．169


【对点实战】
1.某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息如下：
分位数
50%分位数
70%分位数
80%分位数
90%分位数
用电量
160
176
215
230

如果要求约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，可确定第二阶梯电价的用电量范围为（       ）A． B． C． D．

2.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（       ）
A．86 B．87 C．88 D．89
辽宁省大连市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

3.某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量20%分位数和75%分位数为（       ）
A．51，58 B．51，61 C．52，58 D．52，61

4.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据频率分布直方图，估计这200名学生每周的自习时间数据的第30百分位数为（       ）

A．22 B．21.25 C．22.5 D．25

5.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图.由图可知，这一批电子元件中寿命的分位数为（       ）

A． B． C．350 D．



五、众数、中位数、平均数的计算
1．众数：一组数据中出现次数最多的数．
2．中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．
3．平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．

【典型例题】
【例1】甲、乙两组数的数据如下所示，则这两组的平均数、极差及中位数相同的是（     ）
甲组：5，12，16，21，25，37；
乙组：1，6，14，18，38，39.
A．极差 B．中位数
C．平均数 D．都不相同

【例2】．位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛.如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛.则其他位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是（     ）
A．平均数 B．极差
C．中位数 D．以上都不对

【例3】某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开区间），画出频率分布直方图（如图），下列说法不正确的是（       ）


A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有10人
B．这100名学生成绩的众数为85
C．估计全校学生成绩的平均分数为75
D．这100名学生成绩的中位数为

【例4】如图所示的表格记录了高三（1）班第一组和第二组各五名学生在一次英语听力测试训练中的成绩（单位：分），若这两组数据的中位数均为15，平均值相等，则（       ）

学生成绩
第一组
8
12
15

26
第二组
9
14

18
26

A．36 B．6 C．26 D．16

【例5】有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下：
数据%
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤99
个数
800
1300
900
平均数
78.1
85
91.9

请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为（       ）A．92.16 B．85.23 C．84.73 D．77.97

【例6】已知样本，，，，的平均数为，样本，，，的平均数为（），若样本，，，，，，，的平均数，其中，则n，m的大小关系为（       ）
A． B． C． D．不能确定

【例7】为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是（       ）
甲：中位数为8，众数为7
乙：中位数为8，平均数为8.4
丙：平均数为8，方差小于2
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定


【对点实战】
1.已知数据：①18，32，，14，8，12；②21，4，7，14，，11；③5，4，6，5，4，3，1，4；④，3，1，0，0，．其中平均数与中位数相等的是数据（       ）
A．① B．② C．③ D．①②③④

2.郑州地铁1号线的开通运营，极大方便了市民的出行．某时刻从二七广场站驶往博学路站的过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，60，50，40，40，30，30，10．这组数据的平均数，众数，90%分位数的和为（       ）
A．125 B．135 C．165 D．170

3.．已知一组数据10，30，50，50，60，70，80，其平均数、中位数和众数的大小关系是（       ）
A．平均数>中位数>众数 B．平均数