2022-2023学年师大梅溪湖九年级（上）暑假自主学习情况调研数学试卷

这是一份2022-2023学年师大梅溪湖九年级（上）暑假自主学习情况调研数学试卷，共20页。试卷主要包含了下列方程中，是一元二次方程的是，已知，下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年师大梅溪湖九年级（上）暑假自主学习情况调研数学试卷
时量：120分钟 总分：120分
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．4（x+2）＝25 B．2x2+3x﹣1＝0 C．2x+y＝22 D．
2．已知一组数据2，3，x，5，7的众数是3，则这组数据的中位数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．若k＞0，b＞0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知：抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+1，则抛物线的对称轴是直线（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣2
5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE＝BE＝2，EO＝3，则▱ABCD的周长为（　　）

A．5 B．10 C．15 D．20
6．一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
7．下列说法中正确的是（　　）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D．有三个角是直角的四边形是矩形
8．将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为（　　）
A．y＝2（x+5）2﹣3 B．y＝2（x+5）2+3
C．y＝2（x﹣5）2﹣3 D．y＝2（x﹣5）2+3
9．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是2，则输出y的值是1，若输入x的值是7，则输出y的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）；⑤当x＞1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共6小题）
11．某校有甲、乙两支女子排球队，每支球队队员平均身高均为1.75米，方差分别为S甲2＝0.28，S乙2＝1.26，则身高较整齐的队是 　 　队．
12．已知点A（2，3）在函数y＝ax2﹣x+1的图象上，则a等于 　 　．
13．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝　 　度．

14．若一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为a，b，则a﹣ab+b的值为 　 　．
15．点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x﹣c的图象上，若﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4，则y1与y2的大小关系是y1　 　y2（用“＞”、“＜”或“＝”填空）．
16．如图，函数y＝kα+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为 　 　．

三．解答题（共9小题）
17．解方程：x2+2x+1＝﹣2x+9．
18．先化简再求值：，其中x满足x2＝8﹣x．
19．某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：
环数
6
7
8
9
人数
1
5
2
2
（1）填空：10名学生的射击成绩的众数是 　 　环，中位数是 　 　环．
（2）求这10名学生的平均成绩．
（3）若9环（含9环）以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有多少是优秀射手？
20．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）说明：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）试求出方程的根（用k表示）．
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若CE＝3，∠ADC＝120°，求四边形ABCD的面积．

22．已知直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．第一象限的点P（m，n）在直线y＝﹣x+4上，过点P作PC⊥x轴于点C，过点P作PD⊥y轴于点D，设长方形OCPD的面积为S．
（1）A（ 　 　，　 　），B（ 　 　，　 　）；
（2）求S关于m的函数解析式，写出m的取值范围；
（3）当S＝2时，求点P的坐标．

23．丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
24．已知：抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若顶点坐标为（1，1），求b和c的值（用含a的代数式表示）；
（2）当c＜0时，求函数y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值；
（3）若不论m为任何实数，直线与抛物线C1有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，求k的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+4与x轴交于点A（﹣4，0），B（x2，0），与y轴交于点C．经过点B的直线y＝kx+b与y轴交于点D（0，2），与抛物线交于点E．

（1）求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；
（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标；
（3）若点M是直线BE上的动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


2022-2023学年师大梅溪湖九年级（上）暑假自主学习情况调研数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．4（x+2）＝25 B．2x2+3x﹣1＝0 C．2x+y＝22 D．
【解答】解：A．根据一元二次方程额定义，4（x+2）＝25不符合定义，故A不符合题意．
B．根据一元二次方程的定义，2x2+3x﹣1＝0是一元二次方程，故B符合题意．
C．根据一元二次方程的定义，2x+y＝22有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故C不符合题意．
D．根据一元二次方程的定义，不符合题意，故D不符合题意．
故选：B．
2．已知一组数据2，3，x，5，7的众数是3，则这组数据的中位数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵数据2，3，x，5，7的众数是3，
∴x＝3，
把这组数据从小到大排列为：2，3，3，5，7，
则中位数为3．
故选：A．
3．若k＞0，b＞0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由一次函数图象与系数的关系可得，
当k＞0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过一二三象限．
故选：A．
4．已知：抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+1，则抛物线的对称轴是直线（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝2．
故选：C．
5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE＝BE＝2，EO＝3，则▱ABCD的周长为（　　）

A．5 B．10 C．15 D．20
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，AD＝BC，AB＝CD，
∵AE＝BE＝2，
∴CD＝AB＝4，OE是△ABC的中位线，
∴BC＝2OE＝6，
∴▱ABCD的周长＝2×（AB+BC）＝2×（4+6）＝20．
故选：D．
6．一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，其中a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝28＞0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
7．下列说法中正确的是（　　）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D．有三个角是直角的四边形是矩形
【解答】解：A、有一个直角的平行四边形是矩形，故选项A不符合题意；
B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
C、两条对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故选项C不符合题意；
D、有三个角是直角的四边形是矩形，故选项D符合题意，
故选：D．
8．将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为（　　）
A．y＝2（x+5）2﹣3 B．y＝2（x+5）2+3
C．y＝2（x﹣5）2﹣3 D．y＝2（x﹣5）2+3
【解答】解：将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为y＝2（x+5）2+3，
故选：B．
9．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是2，则输出y的值是1，若输入x的值是7，则输出y的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【解答】解：若输入x的值是2，则输出y的值是1，
∴1＝﹣2×2+b，
解得b＝5，
∴当x＝7时，y＝＝﹣1，
故选：B．
10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为任意实数）；⑤当x＞1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：①∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与y轴交于负半轴，
∴a＞0，﹣＝1，c＜0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，结论①不正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，结论②正确；
③∵当x＝0时，y＜0，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝2时，y＜0，
即4a+2b+c＜0，结论③不正确；
④∵抛物线开口向上，抛物线的顶点坐标为（﹣，），b＝﹣2a，
∴y≥c﹣a，
即ax2+bx+c≥c﹣a，
∴ax2+bx≥﹣a＝a+b，
∴a+b≤m（am+b）（m为任意实数），结论④正确；
⑤∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，结论⑤正确．
综上所述，正确的结论有②④⑤．
故选：B．

二．填空题（共6小题）
11．某校有甲、乙两支女子排球队，每支球队队员平均身高均为1.75米，方差分别为S甲2＝0.28，S乙2＝1.26，则身高较整齐的队是 　甲　队．
【解答】解：∵S甲2＝0.28，S乙2＝1.26，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲队队员的身高较为整齐．
故答案为：甲．
12．已知点A（2，3）在函数y＝ax2﹣x+1的图象上，则a等于 　1　．
【解答】解：∵点A（2，3）在函数y＝ax2﹣x+1的图象上，
∴4a﹣2+1＝3，
解得a＝1，
故答案为：1．
13．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝　44　度．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OB＝OC，
∴∠ACB＝∠OBC＝23°，
∵∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝46°，且BE⊥AC，
∴∠DBE＝44°．
故答案为：44．
14．若一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为a，b，则a﹣ab+b的值为 　5　．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为a，b，
∴a+b＝3，ab＝﹣2，
则原式＝（a+b）﹣ab＝3﹣（﹣2）＝3+2＝5．
故答案为：5．
15．点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x﹣c的图象上，若﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4，则y1与y2的大小关系是y1　＞　y2（用“＞”、“＜”或“＝”填空）．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x﹣c，
∴图象开口向上，且对称轴为x＝﹣＝2，
∵﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4，
∴A点横坐标离对称轴的距离大于B点横坐标离对称轴的距离，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
16．如图，函数y＝kα+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为 　1＜x＜2　．

【解答】解：设A点坐标为（x，2），
把A（x，2）代入y＝2x，
得2x＝2，解得x＝1，
则A点坐标为（1，2），
所以当x＞1时，2x＞kx+b，
∵函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（2，0），
∴x＜2时，kx+b＞0，
∴不等式0＜kx+b＜2x的解集为1＜x＜2．
故答案为：1＜x＜2．
三．解答题（共9小题）
17．解方程：x2+2x+1＝﹣2x+9．
【解答】解：方程整理得：x2+4x﹣8＝0，
这里a＝1，b＝4，c＝﹣8，
∵Δ＝16+32＝48＞0，
∴x＝＝﹣2±2，
解得：x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2．
18．先化简再求值：，其中x满足x2＝8﹣x．
【解答】解：
＝
＝
＝x（x+1）
＝x2+x，
当x2＝8﹣x时，原式＝8﹣x+x＝8．
19．某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：
环数
6
7
8
9
人数
1
5
2
2
（1）填空：10名学生的射击成绩的众数是 　7　环，中位数是 　7　环．
（2）求这10名学生的平均成绩．
（3）若9环（含9环）以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有多少是优秀射手？
【解答】解：（1）射击成绩出现次数最多的是7环，共出现5次，因此众数是7环，射击成绩从小到大排列后处在第5、6位的数都是7环，因此中位数是7环，
故答案为：7，7；

（2）＝7.5（环），
答：这10名学生的平均成绩为7.5环；
（3）500×＝100（人），
答：估计全年级500名学生中有100名是优秀射手．
20．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）说明：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，求出方程的根．
【解答】解：（1）Δ＝（k+2）2﹣4•2k
＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；

（2）根据题意得Δ＝（k﹣2）2，
所以x1＝k ，x2＝2．
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若CE＝3，∠ADC＝120°，求四边形ABCD的面积．

【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠DAB＝60°，∠CAB＝∠DAB＝30°，
∴AC＝2CE＝6，AB＝2BO，
∴AO＝CO＝3，
∵AB2＝AO2+BO2，
∴4BO2﹣BO2＝27，
∴BO＝3（负值舍去），
∴BD＝6，
∴菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝18．
22．已知直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．第一象限的点P（m，n）在直线y＝﹣x+4上，过点P作PC⊥x轴于点C，过点P作PD⊥y轴于点D，设长方形OCPD的面积为S．
（1）A（ 　4　，　0　），B（ 　0　，　4　）；
（2）求S关于m的函数解析式，写出m的取值范围；
（3）当S＝2时，求点P的坐标．

【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则﹣x+4＝0，解得x＝4，
∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4），
故答案为：4，0；0，4；
（2）∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，点P的坐标为（m，n），
∴PC＝n，PD＝m，
∵点P（m，n）在直线y＝﹣x+4上，
∴n＝﹣m+4，
∴S＝PD⋅PC＝mn＝m（﹣m+4）＝﹣m2+4m；
（3）∵S＝﹣m2+4m＝2，
∴m2﹣4m+2＝0，
解得或，
∴点P的坐标为（，）或（，）．
23．丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
24．已知：抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若顶点坐标为（1，1），求b和c的值（用含a的代数式表示）；
（2）当c＜0时，求函数y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值；
（3）若不论m为任何实数，直线与抛物线C1有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，求k的值．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，1），
∴y＝a（x﹣1）2+1＝ax2﹣2ax+a+1，
∴b＝﹣2a，c＝a+1；
（2）∵y＝ax2+bx+c，a＞0，c＜0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴有两个交点，
∴|ax2+bx+c|≥0，
∴﹣2022|ax2+bx+c|≤0，
∴﹣2022|ax2+bx+c|﹣1≤﹣1，
∴函数y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值为﹣1；
（3）∵直线与抛物线C1有且只有一个公共点，
∴方程组只有一组解，
∴ax2+（b﹣m）x++m+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴（b﹣m）2﹣4a（+m+c）＝0，
整理得：（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣4ac＝0，
∵不论m为任何实数，（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣4ac＝0恒成立，
∴，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝1．
此时，抛物线解析式为y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，
∵当k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，
∴分三种情况：k＜0或0≤k≤1或k＞1，
①当k＜0时，k+1＜1，当k≤x≤k+1时，y随着x的增大而减小，则当x＝k+1时，y的最小值为k，
∴（k+1﹣1）2＝k，
解得：k＝0或1，均不符合题意，舍去；
②当0≤k≤1时，当x＝1时，抛物线的最小值为0，
∴k＝0；
③当k＞1时，y随着x的增大而增大，则当x＝k时，y的最小值为k，
∴（k﹣1）2＝k，
解得：k＝或，
∵k＞1，
∴k＝，
综上所述，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，k的值为0或．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+4与x轴交于点A（﹣4，0），B（x2，0），与y轴交于点C．经过点B的直线y＝kx+b与y轴交于点D（0，2），与抛物线交于点E．

（1）求抛物线的表达式及B，C两点的坐标；
（2）若点P为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP的周长最小时，求点P的坐标；
（3）若点M是直线BE上的动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵点A（﹣4，0）在抛物线y＝ax2+2ax+4上，
∴0＝16a﹣8a+4，
∴a＝，
∴y＝．
令y＝0，得＝0
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
令x＝0，则y＝4，
∴点C的坐标为（0，4）；

（2）如图，

由y＝，
可得对称轴为：，
∵△AEP的边AE是定长，
∴当PE+PA的值最小时，△AEP的周长最小．
点A关于x＝﹣1的对称点为点B，
∴当点P是BE与直线x＝﹣1的交点时，PE+PA的值最小．
∵直线BE经过点B（2，0），D（0，2），
∴，解得，
∴直线BE：y＝﹣x+2，
令x＝﹣1，得y＝3，
∴当△AEP的周长最小时，点P的坐标为（﹣1，3）；

（3）存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
∵MN∥CD，
∴要使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则MN＝CD即可，
∵CD＝4﹣2＝2，
∴MN＝CD＝2，
∵点M在直线y＝﹣x+2上，
∴可设点M的坐标为（m，﹣m+2），则点N的坐标为（m，），

∴，
即，
当时，
解得，
此时点M的坐标为：（，）或（，），
当时，
解得m＝0（舍去），
综上所述，存在点M使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为：（，）或（，）．
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