2022年广西贵港市平南县中考数学二模试卷（Word解析版）

2022年广西贵港市平南县中考数学二模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”是一座富含创新与节能理念的场馆，可容纳约名观众，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 一组数据，，，，的众数是，则这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 将点向左平移个单位长度后得到点，点关于轴对称的点是，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 一元二次方程的两个实数根为，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 一个不透明的袋子里装有个白球，个红球，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同．随机从中抽出一个球，抽到红球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列命题是真命题的是(    )

A. 菱形的对角线相等
B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 相似图形必定位似
D. 正五边形的外角和等于

9. 如图，，，是上的三点，，的圆心的两侧，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，已知，且将分成面积相等的三部分，若，则的长度是(    )

A.  
B.
C.  
D.

11. 如图，在等边中，，点为中点，是上的一个动点，则的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

12. 若直线为常数与函数的图象恒有三个不同的交点，则常数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
14. 分解因式：______．
15. 如图，，平分，若，则______．

16. 如图，将面积为的矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接交于点若，则的长为______．

17. 如图，以半上的点为圆心，为半径作扇形线段交弧的中点于，若，则阴影部分面积______结果保留．

18. 我们知道，一元二次方程没有实数根．即不存在一个是实数的平方等于，如果我们规定一个新数“”，使它满足，即有一个根为，并且进一步规定：一切实数可以与新数“”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：，，，，从而对任意正整数，由于，，，，那么，______．

三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：．
    解不等式组并求出其非负整数解．
20. 本小题分
    在平面直角坐标系中，的位置如图所示每个小方格都是边长为个单位长度的正方形．
    将沿轴方向向左平移个单位，画出平移后得到的；
    将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的，并直接写出点、的坐标．

21. 本小题分
    如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，已知点的坐标为，的面积为．
    求的值与点的坐标；
    动点在轴上运动，当线段与之差最大时，求点的坐标．

22. 本小题分
    某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：类--非常了解；类--比较了解；类--一般了解；类--不了解．现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
    
    本次共调查了______名学生；
    补全条形统计图；
    类所对应扇形的圆心角的大小为______；
    若该校九年级学生共有名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的约有______名．
23. 本小题分
    某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高，用元购进的甲种书柜的数量比用元购进乙种书柜的数量少个．
    每个甲种书柜的进价是多少元？
    若该校拟购进这两种规格的书柜共个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？
24. 本小题分
    如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点、的分别交、于点，．
    求证：是的切线；
    若，求线段的长．

25. 本小题分
    如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且，对称轴为直线．
    求该抛物线的表达式；
    直线过点与抛物线交于点，当时，求点的坐标；
    在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26. 本小题分
    如图，直线与线段所在直线交于点，点是线段的中点，将直线沿着直线的水平方向平移，分别过点和点作直线的垂线，垂足为点和点．
    
    如图，当点和点重合时，猜想和的数量关系是______；
    如图，当点是线段上除点外的任意一点时，探究和的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
    如图，当点是线段延长线上的点，且，，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是：，
故选：．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意；
故选：．
A、不能合并同类项；
B、根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘计算；
C、根据完全平方公式计算；
D、根据积的乘方计算．
本题考查合并同类项、单项式与单项式相乘、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：数据，，，，的众数是，
，
把这些数从小到大排列为：，，，，，
所以这组数据的中位数是．
故选：．
根据众数的定义求出的值，再根据中位数的定义即可得出答案．
本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

5.【答案】 

【解析】解：点沿向左平移个单位长度得到点，
，
点关于轴对称的点的坐标是：．
故选：．
直接利用平移规律结合关于轴对称点的性质得出对应点坐标即可．
此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两个实数根为，，
，，，




．
故选：．
利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，，，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出，，是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：一个袋子中装有个球，其中有个白球，个红球，
随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是．
故选：．
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
符合条件的情况数目；
全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

8.【答案】 

【解析】解：、菱形的对角线互相垂直，原命题是假命题；
B、对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题；
C、相似图形不一定位似，原命题是假命题；
D、正五边形的外角和等于，是真命题；
故选：．
对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题．
此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．
 

9.【答案】 

【解析】解：过作的直径，交于．

在中，，
则，
同理可得：，
故．
故选：．
过、作的直径，分别在等腰、等腰中，根据三角形外角的性质求出．
本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出及的度数．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，
；
故选：．
由平行线得出∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得出答案．
本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，则，

是等边三角形，，
，，
，
点是的中点，
，
在中，，
，
的最小值为：．
故答案为：．
如图，过点作于点，过点作于点，则，先解直角三角形可求出，再由直角三角形的性质得，进而可得，从而可得的最小值．
本题主要考查解直角三角形，等边三角形的性质、垂线段最短等知识，解题关键是将转化成．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据图象可知，当时，直线为常数与函数的图象恒有三个不同的交点，
故选：．
结合函数图象即可确定的取值范围．
本题考查了反比例函数和二次函数的图象和性质，数形结合是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
【解答】
解：由题意得，，
解得．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为．
先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
 

15.【答案】 

【解析】解：平分，，
，
，
．
故答案为：．
先根据角平分线的性质得到，再根据平行线的性质得到．
本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练应用平行线的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，，则，
由图形的翻折知，，
，
，
，
∽，
，
即，
，
，，
即，
故答案为：．
设，，则，证∽，根据比例关系得出和的值即可．
本题主要考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，
线段交以为直径的半圆弧的中点，，
，，，
阴影部分的面积是：，
故答案为：．
连接，根据题意，可知，，再根据图形可知阴影部分的面积是扇形的面积减去空白部分的面积再加扇形的面积减的面积，然后代入数据计算即可．
本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式，利用分割法解决问题．
 

18.【答案】 

【解析】解：，，



，
故答案为：．
根据阅读材料已知的规律，将变形成，即可得到答案．
本题考查新定义运算，解题的关键是仔细阅读已知材料，找到关于运算的规律．
 

19.【答案】解：原式

；
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组解集为：，
则其非负整数解为：，，，． 

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出非负整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及实数的运算，熟练掌握运算法则及不等式组的解法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求，点，．
 

【解析】利用点平移的规律写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点即可得到；
利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、，从而得到，再写出点、的坐标．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
 

21.【答案】解：把代入得，
设，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，的面积为，
，
解得：，不符合题意，舍去，
；
由，
设直线表达式为，代入，两点得，
解得，
直线表达式为，
当，，三点共线时，的差最大，
令时，，
． 

【解析】将点坐标代入反比例函数解析式，即可求出的值，过点作轴于点，过点作轴于点，设，根据的面积为，得到，解出可得的坐标；
根据“三角形两边之差小于第三边”可知：当点为直线与轴的交点时，有最大值是，可解答．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，三角形的面积，难度适中，利用数形结合是解题的关键．
 

22.【答案】解：；
类学生人数为：名，
条形图如下：


；
． 

【解析】解：本次共调查的学生数为：名．
故答案为：；
类学生人数为：名，
条形图如下：


类所对应扇形的圆心角为：．
故答案为：；
该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的人数为：名．
故答案为：．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
根据条形图和扇形图得出类人数为名，占，即可得出总数；
根据总人数减去，，的人数即可得出的人数，然后补全图形即可；
用乘以类部分所占百分比即可得出圆心角的度数；
用乘以非常了解的部分所占百分比即可得出答案．
 

23.【答案】解：设每个乙种书柜的进价为元，
每个甲种书柜的进价为元，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
；
答：每个甲种书柜的进价为元．
设甲书柜的数量为个，
乙书柜的数量为个，
由题意可知：，
，
设购进书柜所需费用为元，

，
，随的增大而增大，
当时，
有最小值，最小值为元，
答：甲、乙书柜进货数量分别为和时，所需费用最少． 

【解析】设每个乙种书柜的进价为元，根据题意列出方程即可求出答案．
设甲书柜的数量为个，根据题意列出求出的范围，再设购进书柜所需费用为元，求出与的数量关系即可求出答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确求出甲与乙的单件进货价，以及列出书柜总费用与甲书柜数量之间的函数关系，本题属于中等题型．
 

24.【答案】证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：由可知：，
在中，，
设，则，
解得：，
，
，
根据勾股定理得，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即，
，
在中，由勾股定理得，． 

【解析】先判断出，得出，即可得出结论；
由可知：，设，解方程得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

25.【答案】解：设，把代入得：
，
解得：，
，
答：抛物线的解析式为；
过点作轴于点，如图：

设，则，
，


，
，
即或，
当时，解得：，不合题意，舍去，
当，解得，不合题意，舍去，
的坐标是或；
在抛物线的对称轴上存在一点，使得是直角三角形，理由如下：
在中，令得，令得或，
，，
由抛物线的对称轴为直线，设，
，，，
当为斜边时，，
，
解得或，
此时坐标为或；
当为斜边时，，
，
解得，
此时坐标为；
当为斜边时，，
，
解得，
此时坐标为；
综上所述，的坐标为或或或． 

【解析】设，用待定系数法可得抛物线的解析式为；
过点作轴于点，设，根据知，即，解得的值，即可得的坐标是或；
由求出，，设，有，，，分三种情况：当为斜边时，，当为斜边时，，当为斜边时，，分别解得的值，即可求出相应的坐标．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形，勾股逆定理的应用等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
 

26.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌，
，
故答案为：；
数量关系依然成立，理由如下：
如图，延长交于点，

，，
，
．
点为的中点，
．
，
≌，
，即点为中点．
是斜边上的中线，
；
过点作于点，

在中，，
设为，则，，
，，
，
在中，，

，，
，
在中，，
，
，，
，
在中，根据勾股定理得，
，
．
证明≌，得；
延长交于点，证明≌，得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得；
过点作于点，设为，则，，通过解直角三角形和勾股定理用表示与，便可求得最后结果．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，关键是综合应用这些性质与定理解题．