2022-2023学年河南省信阳市浉河中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省信阳市浉河中学九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列方程为一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 一元二次方程的根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根

4. 已知关于的一元二次方程有解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

5. 将二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位后，所得图象的函数表达式是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，将绕着点逆时针旋转，得到，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 函数与的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 年月教育部出台“双减”政策后，安溪县基层教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为小时，到第三周时，平均工作时长为小时，设这两周工作时长的平均增长率为，则下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 对称轴为直线的抛物线、、为常数，且如图所示，某同学得出了以下结论：；；；当时，随的增大而增大，其中结论正确的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一个由等边三角形和以为直径的半圆组成的“冰淇淋”形图案，且点、在轴上，点在轴上，，过点作交半圆于点，将该“冰淇淋”形图案绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 关于原点对称点的坐标是______ ．
12. 抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是______．
13. 抛物线与坐标轴交点的个数为______．
14. 是关于的二次函数，当的取值范围是时，只在时取得最大值，则实数的取值范围是______．
15. 如图所示，在矩形中，，，是边上的一个动点，将沿折叠得分别连接、，若为等腰三角形，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
17. 本小题分
    先化简，再求值：其中为的根．
18. 本小题分
    为增强学生的防疫意识，某校进行了防疫知识宣传教育活动，为了了解活动效果，组织了测试．现从该校七、八年级学生中分别任意抽取了名学生的测试成绩测试满分为分，七、八年级的学生总人数分别为人和人如下：
    七年级：，，，，，，，，，．
    八年级：，，，，，，，，，．
    经分析、整理获得如下不完整的数据分析表：

填空：______，______；
若成绩分含以上为良好，请估计该校七、八年级成绩为良好的学生人数；
根据以上信息，判断哪个年级的成绩较好，并说明理由．仅需要从一个角度说明判断的合理性

19. 本小题分
    如图，图中的小方格都是边长为的正方形，的顶点坐标分别为，，．
    请在图中画出关于原点的中心对称图形；
    请直接写出以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．

20. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    求证：方程总有两个实数根；
    若该方程有一实数根大于，求的取值范围．
21. 本小题分
    某商店购进了一种消毒用品，进价为每件元，在销售过程中发现，每天的销售量件与每件售价元之间存在一次函数关系其中，且为整数当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件；当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件．
    求与之间的函数关系式；
    设该商店销售这种消毒用品每天获利元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴，垂足为，交抛物线于点．
    求抛物线的解析式及点的坐标；
    当点位于直线上方且面积最大时，求的坐标；
    将点向右平移个单位长度得到点，当线段与抛物线只有一个交点时，请直接写出点横坐标的取值范围______．
     

23. 本小题分
    已知是的角平分线，．
    观察猜想
    如图，当时，过点作交于点，连接，则的度数是______，线段与的数量关系是______．
    探究证明
    如图，若，点是上任一点不与点，重合，过点作交于点，过点作交于点，连接，请写出的度数及线段与的数量关系，并就图的情形说明理由．
    解决问题
    在的条件下，将绕点顺时针旋转得到，当点，，在同一直线上，时，请直接写出线段的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：既是轴对称图形又是中心对称图形，故A选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：是一元一次方程，故本选项不合题意；
B.含有两个未知数，故本选项不合题意；
C.是一元二次方程，故本选项符合题意；
D.是分式方程，故本选项不合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
 

3.【答案】 

【解析】解：，其中，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

5.【答案】 

【解析】解：将二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位后，所得图象的函数表达式是，
故选：．
根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转得，

，，
，
，
，
．
故选：．
由旋转的性质可得，，由三角形内角和定理可得的度数，再由平行线的性质得，最后由角的和即可求解．
本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理和平行线的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由函数与抛物线可知两函数图象交轴上同一点，抛物线的对称轴为直线，在轴的左侧，
A、抛物线的对称轴在轴的右侧，故选项不合题意；
B、抛物线的对称轴在轴的右侧，故选项不合题意；
C、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象知道，且交于轴上同一点，故选项符合题意；
D、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象知道，故选项不合题意；
故选：．
根据图象与系数的关系，看两个函数的系数符号是否一致，即可判断．
本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，熟练掌握一次函数和二次函数的性质是本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设这几周工作时间的增长率为，
依题意得：，
故选：．
设这几周工作时间的增长率为，利用第三周教师周工作时间第一周教师周工作时间增长率，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，错误．
抛物线与轴有个交点，
，即，
正确．
时，，抛物线对称轴为直线，
时，，错误．
抛物线开口向上，对称轴为直线，
时，随增大而增大，正确．
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断，由抛物线与轴交点个数可判断，由时及抛物线的对称性可判断，由抛物线开口方向、对称轴、变化趋势可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
每旋转次一个循环，
，
第次旋转结束时点的位置与第二次点的位置相同，
如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的位置即为次旋转结束时点的位置．

分别过点，作轴于点，轴于点，则≌，
．
连接，过点作于点．
，，，
，
，
，，
，
，，，
，
故选：．
第次旋转结束时点的位置与第二次点的位置相同，如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的位置即为次旋转结束时点的位置．利用全等三角形的性质以及解直角三角形的知识，求出，，可得结论．
本题考查利用旋转变换设计图案，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称，
点关于原点对称的点的坐标为．
故答案为．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
本题考查关于原点对称的点的坐标特征，这一类题目是需要识记的基础题，记忆时要结合平面直角坐标系．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
，
，
故答案为：．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，再由三点与对称轴距离的大小关系求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，
抛物线与轴交点的个数为，
抛物线与轴交点的个数为，
抛物线与坐标轴交点的个数为；
故答案为：．
根据，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴没有交点，来解决此题．
本题考查了抛物线与轴交点、二次函数图象上点的坐标特征，掌握抛物线与轴有交点的三种情况是解体关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：时，在时取得最大值，
，
解得．
故答案为：．
根据二次函数的增减性利用对称轴列出不等式求解即可．
本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性和对称轴公式是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：，
可知的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当时，则在的垂直平分线上，

，
，
，
，
；
当时，，四边形为正方形，
；

的最小值为，
不能等于；
故答案为：或．
根据，可知的轨迹是以为圆心，为半径的圆，分三种情况讨论即可．
本题考查了折叠的性质的应用、轨迹的应用、等腰三角形的性质等，关键是分类讨论的应用．
 

16.【答案】解：，
，
或，
所以，；

，
，
或，
所以，． 

【解析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
先移项利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，
，，
分母，

当时，
原式． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后求出的解，将使得原分式有意义的值代入原式即可求出答案．
本题考查了分式的化简求值及解一元二次方程，解题的关键是掌握分式运算法则及解一元二次方程的步骤．
 

18.【答案】   

【解析】解：由七年级的测试成绩可得，众数分，
把八年级的测试成绩排序为：，，，，，，，，，，
则八年级的中位数分，
故答案为：，；
人，
答：估计该校七、八年级成绩为良好的学生有人；
八年级的成绩较好，理由如下：
八年级的方差较小，成绩稳定．
由众数的定义求出的值，由中位数的定义求出即可；
由该校七、八年级共有人数乘以成绩良好的学生所占的比例即可；
由方差进行判断即可．
此题考查了用样本估计总体以及众数、中位数的定义，方差的意义，众数是数据中出现次数最多的数．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
 

19.【答案】解：如图，即为所求；
如图，满足条件的点的坐标为或或．
 

【解析】利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用平行四边形的定义画出图形，可得结论．
本题考查作图旋转变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

20.【答案】证明：

，
此方程总有两个实数根；
解：，
，
，，
方程有一实数根大于，
，
解得，
即的取值范围为． 

【解析】先计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
利用公式法解方程得到，，根据题意得，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

21.【答案】解：设每天的销售量件与每件售价元函数关系式为：，
由题意可知：，
解得：，
与之间的函数关系式为：；



，
，且为整数，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，最大值为．
答：每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据给定的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式；
利用销售该消毒用品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系列出函数关系式．
 

22.【答案】或 

【解析】解：将代入，
，
解得，
，
令，则，
，
将，代入，
，
解得，
，
令，则，
解得或，
；
设，则，
，
，
当时，面积最大，
此时；
，
抛物线的顶点，
点横坐标，
，则，
如图，当经过抛物线的顶点时，
，
解得，
此时线段与抛物线有一个交点；
如图，当点与点重合时，，
解得，
当点与点重合时，，
时，此时线段与抛物线有一个交点；
综上所述：或时，此时线段与抛物线有一个交点，
故答案为：或．
求出、点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
设，则，则，当时，面积最大，此时；
求出，则，当经过抛物线的顶点时，，此时线段与抛物线有一个交点；当点与点重合时，，当点与点重合时，，所以时，此时线段与抛物线有一个交点．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析，数形结合解题是关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
是的角平分线，是等边三角形，
，，
，
，
，
又是等边三角形，
，，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：，；
，，理由如下：
如图，延长交于点，

，，
，
平分，
，
，
，
，
点、、、共圆，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，，，
，是等边三角形，
，
；
如图，当点在线段上时，

，，
，
由可知，，
，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
当点在线段上时，

同理可求：，
综上所述，的长为或．
根据等边三角形的性质可得，，再利用平行线的性质可得的度数，再利用含角的直角三角形的性质可得与的关系；
首先利用角平分线的定义和平行线的性质得，得点、、、共圆，可知，则是等边三角形，转化为同理可得答案；
分点在线段上或点在线段上两种情形，分别画出图形，根据，可得，从而得出的长，即可解决问题．
本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，中证明点、、、共圆是解题的关键．