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山东省济南市莱芜区实验中学片区教研共同体（五四制）2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)
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这是一份山东省济南市莱芜区实验中学片区教研共同体（五四制）2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)，共26页。试卷主要包含了選擇題，三象限D．第二，解答題等内容，欢迎下载使用。
2021-2022學年山東省濟南市萊蕪實驗中學片區教研共同體九年級第一學期期中數學試卷（五四學制）
一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1．若函數y＝（k≠0）的圖像過點（1，），則此函數圖像位於（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
2．已知反比例函數y＝﹣，下列結論不正確的是（ ）
A．圖像必經過點（﹣1，2） B．若x＞1，則y＞﹣2
C．圖像在第二、四象限內 D．y隨x的增大而增大
3．對於二次函數y＝（x+1）2+2的圖像，下列說法正確的是（ ）
A．開口向下 B．對稱軸是直線x＝﹣1
C．頂點座標是（1，2） D．與x軸有兩個交點
4．如圖所示，△ABC的頂點是正方形網格的格點，則sinA的值為（ ）
A． B． C． D．
5．若抛物線是關於x的二次函數，那麼m的值是（ ）
A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3
6．在Rt△ACB中，∠C＝90°，，則sinB的值為（ ）
A． B． C． D．
7．若代數式有意義，則實數x的取值範圍是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3
8．已知點A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物線y＝2x2﹣4x+c上，則y1、y2、y3的大小關係是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y3＞y1
9．如果二次函數y＝ax2+bx+c的圖像如圖所示，那麼一次函數y＝bx+c和反比例函數y＝在同一坐標系中的圖像大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．如圖，O是座標原點，▱OABC的頂點A的座標為（﹣3，4），頂點C在x軸的負半軸上，函數（x＜0）的圖像經過頂點B，則S▱OABC的值為（ ）
A．27 B．15 C．12 D．無法確定
11．已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖所示，直線x＝1是它的對稱軸，有下列5個結論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a﹣b＝0；⑤方程ax2+bx+c﹣3＝0有兩個相等的實數根．其中正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
12．如圖，點A、C在反比例函數y＝的圖像上，點B、D在反比例函數y＝的圖像上，a＞b＞0，AB∥CD∥x軸，AB、CD在x軸的兩側，AB＝，CD＝，AB、CD的距離為6，則a﹣b的值為（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．無法確定
二、填空題
13．如圖抛物線y＝ax2與反比例函數交於點C（1，2），則不等式的解集是 ．
14．△ABC中，∠A、∠B都是銳角，若sinA＝，cosB＝，則∠C＝ ．
15．若函數y＝（1﹣m）+2是關於x的二次函數，且抛物線的開口向上，則m的值為 ．
16．如圖，正方形ABCD的頂點A、D分別在x軸、y軸上，∠ADO＝30°，OA＝2，反比例函數y＝經過CD的中點M，那麼k＝ ．
17．如圖所示，點A是反比側函數圖像上一點．過點A作AB⊥x軸於點B．若OA＝5，則△AOB的周長為 ．
18．如圖，直角三角形的直角頂點在座標原點，∠OAB＝30°，若點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖像上，則經過點B的反比例函數解析式為 ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
19．計算：
（1）；
（2）2﹣2﹣+6sin45°﹣．
20．如圖，小亮在大樓AD的觀光電梯中的E點測得大樓BC樓底C點的俯角為60°，此時他距地面的高度AE為21米，電梯再上升9米到達D點，此時測得大樓BC樓頂B點的仰角為45°，求大樓BC的高度．（結果保留根號）
21．如圖，山區某教學樓後面緊鄰著一個土坡，坡面BC平行於地面AD，斜坡AB的坡比為i＝1：，且AB＝26米，為了防止山體滑坡，保障安全，學校決定對該土坡進行改造，經地質人員勘測，當坡角不超過53°時，可確保山體不滑坡；
（1）求改造前坡頂與地面的距離BE的長；
（2）為了消除安全隱患，學校計畫將斜坡AB改造成AF（如圖所示），那麼BF至少是多少米？（結果精確到1米）
【參考資料：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75】
22．在直角坐標平面內，二次函數圖像的頂點為A（1，﹣4），且過點B（3，0）．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）將該二次函數圖像向右平移幾個單位，可使平移後所得圖像經過座標原點？並直接寫出平移後所得圖像與x軸的另一個交點的座標．
23．“佳佳商場”在銷售某種進貨價為20元/件的商品時，以30元/件售出，每天能售出100件．調查表明：這種商品的售價每上漲1元/件，其銷售量就將減少2件．
（1）為了實現每天1600元的銷售利潤，“佳佳商場”應將這種商品的售價定為多少？
（2）物價局規定該商品的售價不能超過40元/件，“佳佳商場”為了獲得最大的利潤，應將該商品售價定為多少？最大利潤是多少？
24．如圖，一次函數y1＝ax+b與反比例函數y2＝的圖像相交於A（2，8），B（8，2）兩點，連接AO，BO，延長AO交反比例函數圖像於點C．
（1）求一次函數y1的運算式與反比例函數y2的運算式；
（2）當y1＜y2，時，直接寫出引數x的取值範圍為 ；
（3）點P是x軸上一點，當S△PAC＝S△AOB時，請直接寫出點P的座標為 ．
25．如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖像交x軸於A、B兩點，交y軸於點D，點B的座標為（3，0），頂點C的座標為（1，4）．
（1）求二次函數的解析式和直線BD的解析式；
（2）點P是直線BD上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交抛物線於點M，當點P在第一象限時，求線段PM長度的最大值；
（3）在抛物線上是否存在異於B、D的點Q，使△BDQ中BD邊上的高為2？若存在求出點Q的座標；若不存在請說明理由．
參考答案
一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1．若函數y＝（k≠0）的圖像過點（1，），則此函數圖像位於（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【分析】先由已知點求出k的值，然後得到函數圖像所在的象限．
解：∵函數y＝（k≠0）的圖像過點（1，），
∴k＝1×＝＞0，
∴函數圖像位於第一、三象限．
故選：B．
2．已知反比例函數y＝﹣，下列結論不正確的是（ ）
A．圖像必經過點（﹣1，2） B．若x＞1，則y＞﹣2
C．圖像在第二、四象限內 D．y隨x的增大而增大
【分析】根據反比例函數的性質：當k＜0，雙曲線的兩支分別位於第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而增大進行分析即可．
解：A、圖像必經過點（﹣1，2），說法正確，不合題意；
B、若x＞1，則﹣2＜y＜0，說法錯誤，符合題意；
C、k＝﹣2＜0，圖像在第二、四象限內，說法正確，不合題意；
D、k＝﹣2＜0，每個象限內，y隨x的增大而增大，說法正確，不合題意；
故選：B．
3．對於二次函數y＝（x+1）2+2的圖像，下列說法正確的是（ ）
A．開口向下 B．對稱軸是直線x＝﹣1
C．頂點座標是（1，2） D．與x軸有兩個交點
【分析】根據a的正負判斷開口方向，通過抛物線的y＝a（x﹣h）2+k解析式判定對稱軸、頂點座標，根據頂點座標和開口方向即可判斷抛物線與x軸交點個數．
解：∵抛物線a＞0，所以開口向上，A選項錯誤；頂點座標為（﹣1，2），所以C選項錯誤；
根據頂點座標以及開口向上可判定與x軸沒有交點，
∴D選項錯誤；
對稱軸為直線x＝﹣1，B選項正確．
故選：B．
4．如圖所示，△ABC的頂點是正方形網格的格點，則sinA的值為（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接連接DC，得出CD⊥AB，再結合畢氏定理以及銳角三角函數關係得出答案
解：連接DC，
由網格可得：CD⊥AB，
則DC＝，AC＝，
故sinA＝．
故選：D．
5．若抛物線是關於x的二次函數，那麼m的值是（ ）
A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3
【分析】根據二次函數的最高指數是2，二次項係數不等於0列出方程求解即可．
解：由題意得，m2﹣5m+8＝2且m﹣3≠0，
解得m1＝2，m2＝3，且m≠3，
所以，m＝2．
故選：C．
6．在Rt△ACB中，∠C＝90°，，則sinB的值為（ ）
A． B． C． D．
【分析】根據銳角三角函數的定義進行計算即可．
解：設Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，
由於tanA＝＝2，
可設a＝2k，b＝k，由畢氏定理得，
c＝＝5k，
∴sinB＝＝，
故選：A．
7．若代數式有意義，則實數x的取值範圍是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3
【分析】根據被開方數大於等於0，分母不等於0列式計算即可得解．
解：由題意得，x+1≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥﹣1且x≠3．
故選：B．
8．已知點A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物線y＝2x2﹣4x+c上，則y1、y2、y3的大小關係是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y3＞y1
【分析】先配方得到抛物線的對稱軸為直線x＝1，根據二次函數的性質，通過三點與對稱軸距離的遠近來比較函數值的大小．
解：y＝2x2﹣4x+c＝2（x﹣1）2+c﹣2，
則抛物線的對稱軸為直線x＝1，
∵抛物線開口向上，點A（﹣3，y1）到對稱軸的距離最遠，點B（2，y2）到對稱軸的距離最近，
∴y1＞y3＞y2．
故選：B．
9．如果二次函數y＝ax2+bx+c的圖像如圖所示，那麼一次函數y＝bx+c和反比例函數y＝在同一坐標系中的圖像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根據二次函數的圖像的性質先確定出a、b、c的取值範圍，然後根據一次函數和反比例函數的性質即可做出判斷．
解：∵抛物線開口向下，
∴a＜0，
∵抛物線的對稱軸由於y軸的左側；
∴a與b同號，
∴b＜0，
∵抛物線經過原點，所以c＝0．
∵b＜0，c＝0，
∴直線y＝bx+c經過二、四象限和座標原點．
∵b＜0，
∴反比例函數的圖像，位於二、四象限．
故選：A．
10．如圖，O是座標原點，▱OABC的頂點A的座標為（﹣3，4），頂點C在x軸的負半軸上，函數（x＜0）的圖像經過頂點B，則S▱OABC的值為（ ）
A．27 B．15 C．12 D．無法確定
【分析】過點A作AD⊥y軸於點D，過點B作BE⊥x軸於點E，根據反比例函數係數k的幾何意義得S矩形BDOE＝27，進而求得BD，進一步得到AB，根據矩形面積公式即可求得答案．
解：過點A作AD⊥y軸於點D，過點B作BE⊥x軸於點E，
∵函數（x＜0）的圖像經過頂點B，
∴S矩形BDOE＝27，
∵▱OABC的頂點A的座標為（﹣3，4），
∴AD＝3，DO＝4，
∴BD•OA＝27，即BD×4＝27，
∴BD＝，
∴OC＝AB＝﹣3＝，
∴S▱OABC＝OC•OD＝15，
故選：B．
11．已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖所示，直線x＝1是它的對稱軸，有下列5個結論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a﹣b＝0；⑤方程ax2+bx+c﹣3＝0有兩個相等的實數根．其中正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】根據二次函數的圖像與性質即可求出答案．
解：①由圖像可知：a＜0，c＞0，
＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①錯誤；
②抛物線的對稱軸為x＝1，
∴（﹣1，y）關於直線x＝1的對稱點為（3，y），
（0，c）關於直線x＝1的對稱點為（2，c）
∴x＝2，y＝4a+2b+c＞0，故②正確；
③抛物線與x軸有兩個交點，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故③正確；
④由對稱軸可知：＝1，
∴2a+b＝0，故④錯誤；
⑤由圖像可知：y＝3時，
此時ax2+bx+c＝3只有一解x＝1，
∴方程ax2+bx+c﹣3＝0有兩個相同的根，故⑤正確；
故選：C．
12．如圖，點A、C在反比例函數y＝的圖像上，點B、D在反比例函數y＝的圖像上，a＞b＞0，AB∥CD∥x軸，AB、CD在x軸的兩側，AB＝，CD＝，AB、CD的距離為6，則a﹣b的值為（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．無法確定
【分析】設點A、B的縱坐標為y1，點C、D的縱坐標為y2，分別表示出來A、B、C、D四點的座標，根據線段AB、CD的長度結合AB與CD間的距離，即可得出y1、y2的值，再由點A、B的橫坐標結合AB＝即可求出a﹣b的值．
解：設點A、B的縱坐標為y1（y1＞0），點C、D的縱坐標為y2（y2＜0），則點A（，y1），點B（，y1），
∵AB＝，CD＝，
∴2×||＝||，
∴|y1|＝2|y2|．
∵|y1|+|y2|＝6，
∴y1＝4，y2＝﹣2．
∴AB＝﹣＝＝，
∴a﹣b＝3．
故選：A．
二、填空題
13．如圖抛物線y＝ax2與反比例函數交於點C（1，2），則不等式的解集是 x＜0或x＞1 ．
【分析】結合函數圖像即可得出解集．
解：由圖可知，當x＜0或x＞1時抛物線y＝ax2在反比例函數圖像的上方，
當0＜x＜1時，抛物線y＝ax2在反比例函數圖像的下方，
∴不等式的解集是x＜0或x＞1．
故答案為：x＜0或x＞1．
14．△ABC中，∠A、∠B都是銳角，若sinA＝，cosB＝，則∠C＝ 60° ．
【分析】先根據特殊角的三角函數值求出∠A、∠B的度數，再根據三角形內角和定理求出∠C即可作出判斷．
解：∵△ABC中，∠A、∠B都是銳角sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝∠B＝60°．
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故答案為：60°．
15．若函數y＝（1﹣m）+2是關於x的二次函數，且抛物線的開口向上，則m的值為 ﹣2 ．
【分析】先依據二次函數的定義知，係數1﹣m一定不為0，1﹣m＞0，再得出m2﹣2＝2，求出m的值即可．
解：由題意得：1﹣m≠0，
解得：m≠1，
∵抛物線的開口向上，
∴1﹣m＞0，
解得：m＜1，
∵m2﹣2＝2，
∴解得：m＝±2，
∴m＝﹣2．
故答案為：﹣2．
16．如圖，正方形ABCD的頂點A、D分別在x軸、y軸上，∠ADO＝30°，OA＝2，反比例函數y＝經過CD的中點M，那麼k＝ +6 ．
【分析】作CE⊥y軸於點E，先證明△CDE≌△DAO，得到DE＝AO＝2，DO＝2＝CE，再根據M是CD的中點，即可得到M（，1+2），最後根據反比例函數y＝經過CD的中點M，即可得到k的值．
解：如圖，作CE⊥y軸於點E．
∵正方形ABCD的頂點A、D分別在x軸、y軸上，
∴∠CED＝∠DOA＝90°，∠DCE＝∠ADO，CD＝DA，
∴△CDE≌△DAO（AAS），
∴DE＝AO＝2，
又∵∠ODA＝30°，
∴Rt△AOD中，AD＝2AO＝4，DO＝2＝CE，
∴EO＝2+2，
∴C（2，2+2），D（0，2），
∵M是CD的中點，
∴M（，1+2），
∵反比例函數y＝經過CD的中點M，
∴k＝（1+2）＝+6，
故答案為：+6．
17．如圖所示，點A是反比側函數圖像上一點．過點A作AB⊥x軸於點B．若OA＝5，則△AOB的周長為 12 ．
【分析】設A的座標是（a，﹣b），則ab＝12，在直角△AOB中利用畢氏定理即可求得a2+b2的值，利用完全平方式即可求得a+b的值，即直角三角形的兩直角邊的長，則周長即可求得．
解：設A的座標是（a，﹣b），則ab＝12，
∵OA＝5，
∴a2+b2＝25，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49，
∵a+b＞0，
∴a+b＝7，
故△AOB的周長是：7+5＝12．
故答案是：12．
18．如圖，直角三角形的直角頂點在座標原點，∠OAB＝30°，若點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖像上，則經過點B的反比例函數解析式為 y＝﹣ ．
【分析】過點B作BC⊥x軸於點C，過點A作AD⊥x軸於點D，證明△BCO∽△ODA，利用相似三角形的判定與性質得出＝，根據反比例函數圖像上點的座標特徵得出S△AOD＝3，那麼S△BCO＝1，進而得出答案．
解：過點B作BC⊥x軸於點C，過點A作AD⊥x軸於點D，如圖．
∵∠BOA＝90°，
∴∠BOC+∠AOD＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
又∵∠BCO＝∠ADO＝90°，
∴△BCO∽△ODA，
∴＝tan30°＝，
∴＝，
∵×AD×DO＝xy＝3，
∴S△BCO＝×BC×CO＝S△AOD＝1，
∵經過點B的反比例函數圖像在第二象限，
故反比例函數解析式為：y＝﹣．
故答案為y＝﹣．
三、解答題（本大題共7小題，共66分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
19．計算：
（1）；
（2）2﹣2﹣+6sin45°﹣．
【分析】（1）先分母有理化、代入三角函數、計算二次根式的乘法，再計算加減即可；
（2）先計算負整數指數冪、代入三角函數值、利用二次根式的性質化簡，再計算乘法，最後計算加減即可．
解：（1）原式＝﹣+
＝﹣+2
＝﹣+2
＝；
（2）原式＝﹣2+6×﹣3
＝﹣2+3﹣3
＝﹣．
20．如圖，小亮在大樓AD的觀光電梯中的E點測得大樓BC樓底C點的俯角為60°，此時他距地面的高度AE為21米，電梯再上升9米到達D點，此時測得大樓BC樓頂B點的仰角為45°，求大樓BC的高度．（結果保留根號）
【分析】過D作DH⊥BC於H，過E作EG⊥BC於G．求出EG和DH的長，在Rt△BDH中，求出BH，則可得出答案
解：過D作DH⊥BC於H，過E作EG⊥BC於G．
由已知得，∠BDH＝45°，∠CEG＝60°，AE＝21米，DE＝9米．
在Rt△CEG中，CG＝AE＝21米，tan∠CEG＝，
∴EG＝＝＝7（米）．
∴DH＝EG＝7米．
在Rt△BDH中，∵∠BDH＝45°，
∴BH＝DH＝7米．
∴BC＝CG+HG+BH＝CG+DE+BH＝21+9+7＝（30+7）米．
答：大樓BC的高度是（30+7）米．
21．如圖，山區某教學樓後面緊鄰著一個土坡，坡面BC平行於地面AD，斜坡AB的坡比為i＝1：，且AB＝26米，為了防止山體滑坡，保障安全，學校決定對該土坡進行改造，經地質人員勘測，當坡角不超過53°時，可確保山體不滑坡；
（1）求改造前坡頂與地面的距離BE的長；
（2）為了消除安全隱患，學校計畫將斜坡AB改造成AF（如圖所示），那麼BF至少是多少米？（結果精確到1米）
【參考資料：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75】
【分析】（1）根據i的值，設出BE與AE，由AB的長求出k的值，即可確定出AE與BE；
（2）過點F作FG⊥AD於點G，由題意，利用銳角三角函數定義求出AG的長，由AG﹣AE求出BF的長即可．
解：（1）在Rt△ABE中，AB＝26，i＝＝，
設BE＝12k，AE＝5k，則AB＝13k＝26，k＝2，
∴AE＝10（米），BE＝24（米）；
（2）過點F作FG⊥AD於點G，
由題意可知：FG＝BE＝24，∠FAD＝53°，
在Rt△AFG中，cot53°＝＝0.75，
∴AG＝18（米），
∴BF＝GE＝AG﹣AE＝8（米），
答：改造前坡頂與地面的距離BE為24米；BF至少是8米．
22．在直角坐標平面內，二次函數圖像的頂點為A（1，﹣4），且過點B（3，0）．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）將該二次函數圖像向右平移幾個單位，可使平移後所得圖像經過座標原點？並直接寫出平移後所得圖像與x軸的另一個交點的座標．
【分析】（1）有頂點就用頂點式來求二次函數的解析式；
（2）由於是向右平移，可讓二次函數的y的值為0，得到相應的兩個x值，算出負值相對於原點的距離，而後讓較大的值也加上距離即可．
解：（1）∵二次函數圖像的頂點為A（1，﹣4），
∴設二次函數解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，
把點B（3，0）代入二次函數解析式，得：
0＝4a﹣4，解得a＝1，
∴二次函數解析式為y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解方程，得x1＝3，x2＝﹣1．
∴二次函數圖像與x軸的兩個交點座標分別為（3，0）和（﹣1，0），
∴二次函數圖像上的點（﹣1，0）向右平移1個單位後經過座標原點或向右平移﹣3個單位，
故平移後所得圖像與x軸的另一個交點座標為（4，0）或（﹣4，0）．
23．“佳佳商場”在銷售某種進貨價為20元/件的商品時，以30元/件售出，每天能售出100件．調查表明：這種商品的售價每上漲1元/件，其銷售量就將減少2件．
（1）為了實現每天1600元的銷售利潤，“佳佳商場”應將這種商品的售價定為多少？
（2）物價局規定該商品的售價不能超過40元/件，“佳佳商場”為了獲得最大的利潤，應將該商品售價定為多少？最大利潤是多少？
【分析】（1）設商品的定價為x元，由這種商品的售價每上漲1元，其銷售量就減少2件，列出等式求得x的值即可；
（2）設利潤為y元，列出二次函數關係式，在售價不超過40元/件的範圍內求得利潤的最大值．
解：（1）設商品的定價為x元，由題意，得
（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]＝1600，
解得：x＝40或x＝60；
答：售價應定為40元或60元．
（2）設利潤為y元，得：
y＝（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]（x≤40），
即：y＝﹣2x2+200x﹣3200；
∵a＝﹣2＜0，
∴當x＝﹣＝﹣＝50時，y取得最大值；
又x≤40，則在x＝40時可取得最大值，
即y最大＝1600．
答：售價為40元/件時，此時利潤最大，最大為1600元．
24．如圖，一次函數y1＝ax+b與反比例函數y2＝的圖像相交於A（2，8），B（8，2）兩點，連接AO，BO，延長AO交反比例函數圖像於點C．
（1）求一次函數y1的運算式與反比例函數y2的運算式；
（2）當y1＜y2，時，直接寫出引數x的取值範圍為 x＞8或0＜x＜2 ；
（3）點P是x軸上一點，當S△PAC＝S△AOB時，請直接寫出點P的座標為 P（3，0）或P（﹣3，0） ．
【分析】（1）由待定係數法即可得到結論；
（2）根據圖像中的資訊即可得到結論；
（3）先求得D的座標，然後根據S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD求得△AOB的面積，即可求得S△PAC＝S△AOB＝24，根據中心對稱的性質得出OA＝OC，即可得到S△APC＝2S△AOP，從而得到2×OP×8＝24，求得OP，即可求得P的座標．
解：（1）將A（2，8），B（8，2）代入y＝ax+b得，
解得，
∴一次函數為y＝﹣x+10，
將A（2，8）代入y2＝得8＝，解得k＝16，
∴反比例函數的解析式為y＝；
（2）由圖像可知，當y1＜y2時，引數x的取值範圍為：x＞8或0＜x＜2，
故答案為x＞8或0＜x＜2；
（3）由題意可知OA＝OC，
∴S△APC＝2S△AOP，
把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10，
∴D（10，0），
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝﹣＝30，
∵S△PAC＝S△AOB＝×30＝24，
∴2S△AOP＝24，
∴2××yA＝24，即2×OP×8＝24，
∴OP＝3，
∴P（3，0）或P（﹣3，0），
故答案為P（3，0）或P（﹣3，0）．
25．如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖像交x軸於A、B兩點，交y軸於點D，點B的座標為（3，0），頂點C的座標為（1，4）．
（1）求二次函數的解析式和直線BD的解析式；
（2）點P是直線BD上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交抛物線於點M，當點P在第一象限時，求線段PM長度的最大值；
（3）在抛物線上是否存在異於B、D的點Q，使△BDQ中BD邊上的高為2？若存在求出點Q的座標；若不存在請說明理由．
【分析】（1）可設抛物線解析式為頂點式，由B點座標可求得抛物線的解析式，則可求得D點座標，利用待定係數法可求得直線BD解析式；
（2）設出P點座標，從而可表示出PM的長度，利用二次函數的性質可求得其最大值；
（3）過Q作QG∥y軸，交BD於點G，過Q和QH⊥BD於H，可設出Q點座標，表示出QG的長度，由條件可證得△DHG為等腰直角三角形，則可得到關於Q點座標的方程，可求得Q點座標．
解：
（1）∵抛物線的頂點C的座標為（1，4），
∴可設抛物線解析式為y＝a（x﹣1）2+4，
∵點B（3，0）在該抛物線的圖像上，
∴0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1，
∴抛物線解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，
∵點D在y軸上，令x＝0可得y＝3，
∴D點座標為（0，3），
∴可設直線BD解析式為y＝kx+3，
把B點座標代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直線BD解析式為y＝﹣x+3；
（2）設P點橫坐標為m（m＞0），則P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），
∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∴當m＝時，PM有最大值；
（3）如圖，過Q作QG∥y軸交BD於點G，交x軸於點E，作QH⊥BD於H，
設Q（x，﹣x2+2x+3），則G（x，﹣x+3），
∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO＝45°，
∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，
當△BDQ中BD邊上的高為2時，即QH＝HG＝2，
∴QG＝×2＝4，
∴|﹣x2+3x|＝4，
當﹣x2+3x＝4時，△＝9﹣16＜0，方程無實數根，
當﹣x2+3x＝﹣4時，解得x＝﹣1或x＝4，
∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），
綜上可知存在滿足條件的點Q，其座標為（﹣1，0）或（4，﹣5）．
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2021-2022學年山東省濟南市萊蕪實驗中學片區教研共同體九年級第一學期期中數學試卷（五四學制）
一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1．若函數y＝（k≠0）的圖像過點（1，），則此函數圖像位於（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
2．已知反比例函數y＝﹣，下列結論不正確的是（ ）
A．圖像必經過點（﹣1，2） B．若x＞1，則y＞﹣2
C．圖像在第二、四象限內 D．y隨x的增大而增大
3．對於二次函數y＝（x+1）2+2的圖像，下列說法正確的是（ ）
A．開口向下 B．對稱軸是直線x＝﹣1
C．頂點座標是（1，2） D．與x軸有兩個交點
4．如圖所示，△ABC的頂點是正方形網格的格點，則sinA的值為（ ）
A． B． C． D．
5．若抛物線是關於x的二次函數，那麼m的值是（ ）
A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3
6．在Rt△ACB中，∠C＝90°，，則sinB的值為（ ）
A． B． C． D．
7．若代數式有意義，則實數x的取值範圍是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3
8．已知點A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物線y＝2x2﹣4x+c上，則y1、y2、y3的大小關係是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y3＞y1
9．如果二次函數y＝ax2+bx+c的圖像如圖所示，那麼一次函數y＝bx+c和反比例函數y＝在同一坐標系中的圖像大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．如圖，O是座標原點，▱OABC的頂點A的座標為（﹣3，4），頂點C在x軸的負半軸上，函數（x＜0）的圖像經過頂點B，則S▱OABC的值為（ ）
A．27 B．15 C．12 D．無法確定
11．已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖所示，直線x＝1是它的對稱軸，有下列5個結論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a﹣b＝0；⑤方程ax2+bx+c﹣3＝0有兩個相等的實數根．其中正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
12．如圖，點A、C在反比例函數y＝的圖像上，點B、D在反比例函數y＝的圖像上，a＞b＞0，AB∥CD∥x軸，AB、CD在x軸的兩側，AB＝，CD＝，AB、CD的距離為6，則a﹣b的值為（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．無法確定
二、填空題
13．如圖抛物線y＝ax2與反比例函數交於點C（1，2），則不等式的解集是 ．
14．△ABC中，∠A、∠B都是銳角，若sinA＝，cosB＝，則∠C＝ ．
15．若函數y＝（1﹣m）+2是關於x的二次函數，且抛物線的開口向上，則m的值為 ．
16．如圖，正方形ABCD的頂點A、D分別在x軸、y軸上，∠ADO＝30°，OA＝2，反比例函數y＝經過CD的中點M，那麼k＝ ．
17．如圖所示，點A是反比側函數圖像上一點．過點A作AB⊥x軸於點B．若OA＝5，則△AOB的周長為 ．
18．如圖，直角三角形的直角頂點在座標原點，∠OAB＝30°，若點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖像上，則經過點B的反比例函數解析式為 ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
19．計算：
（1）；
（2）2﹣2﹣+6sin45°﹣．
20．如圖，小亮在大樓AD的觀光電梯中的E點測得大樓BC樓底C點的俯角為60°，此時他距地面的高度AE為21米，電梯再上升9米到達D點，此時測得大樓BC樓頂B點的仰角為45°，求大樓BC的高度．（結果保留根號）
21．如圖，山區某教學樓後面緊鄰著一個土坡，坡面BC平行於地面AD，斜坡AB的坡比為i＝1：，且AB＝26米，為了防止山體滑坡，保障安全，學校決定對該土坡進行改造，經地質人員勘測，當坡角不超過53°時，可確保山體不滑坡；
（1）求改造前坡頂與地面的距離BE的長；
（2）為了消除安全隱患，學校計畫將斜坡AB改造成AF（如圖所示），那麼BF至少是多少米？（結果精確到1米）
【參考資料：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75】
22．在直角坐標平面內，二次函數圖像的頂點為A（1，﹣4），且過點B（3，0）．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）將該二次函數圖像向右平移幾個單位，可使平移後所得圖像經過座標原點？並直接寫出平移後所得圖像與x軸的另一個交點的座標．
23．“佳佳商場”在銷售某種進貨價為20元/件的商品時，以30元/件售出，每天能售出100件．調查表明：這種商品的售價每上漲1元/件，其銷售量就將減少2件．
（1）為了實現每天1600元的銷售利潤，“佳佳商場”應將這種商品的售價定為多少？
（2）物價局規定該商品的售價不能超過40元/件，“佳佳商場”為了獲得最大的利潤，應將該商品售價定為多少？最大利潤是多少？
24．如圖，一次函數y1＝ax+b與反比例函數y2＝的圖像相交於A（2，8），B（8，2）兩點，連接AO，BO，延長AO交反比例函數圖像於點C．
（1）求一次函數y1的運算式與反比例函數y2的運算式；
（2）當y1＜y2，時，直接寫出引數x的取值範圍為 ；
（3）點P是x軸上一點，當S△PAC＝S△AOB時，請直接寫出點P的座標為 ．
25．如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖像交x軸於A、B兩點，交y軸於點D，點B的座標為（3，0），頂點C的座標為（1，4）．
（1）求二次函數的解析式和直線BD的解析式；
（2）點P是直線BD上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交抛物線於點M，當點P在第一象限時，求線段PM長度的最大值；
（3）在抛物線上是否存在異於B、D的點Q，使△BDQ中BD邊上的高為2？若存在求出點Q的座標；若不存在請說明理由．
參考答案
一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1．若函數y＝（k≠0）的圖像過點（1，），則此函數圖像位於（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【分析】先由已知點求出k的值，然後得到函數圖像所在的象限．
解：∵函數y＝（k≠0）的圖像過點（1，），
∴k＝1×＝＞0，
∴函數圖像位於第一、三象限．
故選：B．
2．已知反比例函數y＝﹣，下列結論不正確的是（ ）
A．圖像必經過點（﹣1，2） B．若x＞1，則y＞﹣2
C．圖像在第二、四象限內 D．y隨x的增大而增大
【分析】根據反比例函數的性質：當k＜0，雙曲線的兩支分別位於第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而增大進行分析即可．
解：A、圖像必經過點（﹣1，2），說法正確，不合題意；
B、若x＞1，則﹣2＜y＜0，說法錯誤，符合題意；
C、k＝﹣2＜0，圖像在第二、四象限內，說法正確，不合題意；
D、k＝﹣2＜0，每個象限內，y隨x的增大而增大，說法正確，不合題意；
故選：B．
3．對於二次函數y＝（x+1）2+2的圖像，下列說法正確的是（ ）
A．開口向下 B．對稱軸是直線x＝﹣1
C．頂點座標是（1，2） D．與x軸有兩個交點
【分析】根據a的正負判斷開口方向，通過抛物線的y＝a（x﹣h）2+k解析式判定對稱軸、頂點座標，根據頂點座標和開口方向即可判斷抛物線與x軸交點個數．
解：∵抛物線a＞0，所以開口向上，A選項錯誤；頂點座標為（﹣1，2），所以C選項錯誤；
根據頂點座標以及開口向上可判定與x軸沒有交點，
∴D選項錯誤；
對稱軸為直線x＝﹣1，B選項正確．
故選：B．
4．如圖所示，△ABC的頂點是正方形網格的格點，則sinA的值為（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接連接DC，得出CD⊥AB，再結合畢氏定理以及銳角三角函數關係得出答案
解：連接DC，
由網格可得：CD⊥AB，
則DC＝，AC＝，
故sinA＝．
故選：D．
5．若抛物線是關於x的二次函數，那麼m的值是（ ）
A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3
【分析】根據二次函數的最高指數是2，二次項係數不等於0列出方程求解即可．
解：由題意得，m2﹣5m+8＝2且m﹣3≠0，
解得m1＝2，m2＝3，且m≠3，
所以，m＝2．
故選：C．
6．在Rt△ACB中，∠C＝90°，，則sinB的值為（ ）
A． B． C． D．
【分析】根據銳角三角函數的定義進行計算即可．
解：設Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，
由於tanA＝＝2，
可設a＝2k，b＝k，由畢氏定理得，
c＝＝5k，
∴sinB＝＝，
故選：A．
7．若代數式有意義，則實數x的取值範圍是（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3
【分析】根據被開方數大於等於0，分母不等於0列式計算即可得解．
解：由題意得，x+1≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥﹣1且x≠3．
故選：B．
8．已知點A（﹣3，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物線y＝2x2﹣4x+c上，則y1、y2、y3的大小關係是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y3＞y1
【分析】先配方得到抛物線的對稱軸為直線x＝1，根據二次函數的性質，通過三點與對稱軸距離的遠近來比較函數值的大小．
解：y＝2x2﹣4x+c＝2（x﹣1）2+c﹣2，
則抛物線的對稱軸為直線x＝1，
∵抛物線開口向上，點A（﹣3，y1）到對稱軸的距離最遠，點B（2，y2）到對稱軸的距離最近，
∴y1＞y3＞y2．
故選：B．
9．如果二次函數y＝ax2+bx+c的圖像如圖所示，那麼一次函數y＝bx+c和反比例函數y＝在同一坐標系中的圖像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根據二次函數的圖像的性質先確定出a、b、c的取值範圍，然後根據一次函數和反比例函數的性質即可做出判斷．
解：∵抛物線開口向下，
∴a＜0，
∵抛物線的對稱軸由於y軸的左側；
∴a與b同號，
∴b＜0，
∵抛物線經過原點，所以c＝0．
∵b＜0，c＝0，
∴直線y＝bx+c經過二、四象限和座標原點．
∵b＜0，
∴反比例函數的圖像，位於二、四象限．
故選：A．
10．如圖，O是座標原點，▱OABC的頂點A的座標為（﹣3，4），頂點C在x軸的負半軸上，函數（x＜0）的圖像經過頂點B，則S▱OABC的值為（ ）
A．27 B．15 C．12 D．無法確定
【分析】過點A作AD⊥y軸於點D，過點B作BE⊥x軸於點E，根據反比例函數係數k的幾何意義得S矩形BDOE＝27，進而求得BD，進一步得到AB，根據矩形面積公式即可求得答案．
解：過點A作AD⊥y軸於點D，過點B作BE⊥x軸於點E，
∵函數（x＜0）的圖像經過頂點B，
∴S矩形BDOE＝27，
∵▱OABC的頂點A的座標為（﹣3，4），
∴AD＝3，DO＝4，
∴BD•OA＝27，即BD×4＝27，
∴BD＝，
∴OC＝AB＝﹣3＝，
∴S▱OABC＝OC•OD＝15，
故選：B．
11．已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖所示，直線x＝1是它的對稱軸，有下列5個結論：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a﹣b＝0；⑤方程ax2+bx+c﹣3＝0有兩個相等的實數根．其中正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】根據二次函數的圖像與性質即可求出答案．
解：①由圖像可知：a＜0，c＞0，
＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①錯誤；
②抛物線的對稱軸為x＝1，
∴（﹣1，y）關於直線x＝1的對稱點為（3，y），
（0，c）關於直線x＝1的對稱點為（2，c）
∴x＝2，y＝4a+2b+c＞0，故②正確；
③抛物線與x軸有兩個交點，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故③正確；
④由對稱軸可知：＝1，
∴2a+b＝0，故④錯誤；
⑤由圖像可知：y＝3時，
此時ax2+bx+c＝3只有一解x＝1，
∴方程ax2+bx+c﹣3＝0有兩個相同的根，故⑤正確；
故選：C．
12．如圖，點A、C在反比例函數y＝的圖像上，點B、D在反比例函數y＝的圖像上，a＞b＞0，AB∥CD∥x軸，AB、CD在x軸的兩側，AB＝，CD＝，AB、CD的距離為6，則a﹣b的值為（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．無法確定
【分析】設點A、B的縱坐標為y1，點C、D的縱坐標為y2，分別表示出來A、B、C、D四點的座標，根據線段AB、CD的長度結合AB與CD間的距離，即可得出y1、y2的值，再由點A、B的橫坐標結合AB＝即可求出a﹣b的值．
解：設點A、B的縱坐標為y1（y1＞0），點C、D的縱坐標為y2（y2＜0），則點A（，y1），點B（，y1），
∵AB＝，CD＝，
∴2×||＝||，
∴|y1|＝2|y2|．
∵|y1|+|y2|＝6，
∴y1＝4，y2＝﹣2．
∴AB＝﹣＝＝，
∴a﹣b＝3．
故選：A．
二、填空題
13．如圖抛物線y＝ax2與反比例函數交於點C（1，2），則不等式的解集是 x＜0或x＞1 ．
【分析】結合函數圖像即可得出解集．
解：由圖可知，當x＜0或x＞1時抛物線y＝ax2在反比例函數圖像的上方，
當0＜x＜1時，抛物線y＝ax2在反比例函數圖像的下方，
∴不等式的解集是x＜0或x＞1．
故答案為：x＜0或x＞1．
14．△ABC中，∠A、∠B都是銳角，若sinA＝，cosB＝，則∠C＝ 60° ．
【分析】先根據特殊角的三角函數值求出∠A、∠B的度數，再根據三角形內角和定理求出∠C即可作出判斷．
解：∵△ABC中，∠A、∠B都是銳角sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝∠B＝60°．
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故答案為：60°．
15．若函數y＝（1﹣m）+2是關於x的二次函數，且抛物線的開口向上，則m的值為 ﹣2 ．
【分析】先依據二次函數的定義知，係數1﹣m一定不為0，1﹣m＞0，再得出m2﹣2＝2，求出m的值即可．
解：由題意得：1﹣m≠0，
解得：m≠1，
∵抛物線的開口向上，
∴1﹣m＞0，
解得：m＜1，
∵m2﹣2＝2，
∴解得：m＝±2，
∴m＝﹣2．
故答案為：﹣2．
16．如圖，正方形ABCD的頂點A、D分別在x軸、y軸上，∠ADO＝30°，OA＝2，反比例函數y＝經過CD的中點M，那麼k＝ +6 ．
【分析】作CE⊥y軸於點E，先證明△CDE≌△DAO，得到DE＝AO＝2，DO＝2＝CE，再根據M是CD的中點，即可得到M（，1+2），最後根據反比例函數y＝經過CD的中點M，即可得到k的值．
解：如圖，作CE⊥y軸於點E．
∵正方形ABCD的頂點A、D分別在x軸、y軸上，
∴∠CED＝∠DOA＝90°，∠DCE＝∠ADO，CD＝DA，
∴△CDE≌△DAO（AAS），
∴DE＝AO＝2，
又∵∠ODA＝30°，
∴Rt△AOD中，AD＝2AO＝4，DO＝2＝CE，
∴EO＝2+2，
∴C（2，2+2），D（0，2），
∵M是CD的中點，
∴M（，1+2），
∵反比例函數y＝經過CD的中點M，
∴k＝（1+2）＝+6，
故答案為：+6．
17．如圖所示，點A是反比側函數圖像上一點．過點A作AB⊥x軸於點B．若OA＝5，則△AOB的周長為 12 ．
【分析】設A的座標是（a，﹣b），則ab＝12，在直角△AOB中利用畢氏定理即可求得a2+b2的值，利用完全平方式即可求得a+b的值，即直角三角形的兩直角邊的長，則周長即可求得．
解：設A的座標是（a，﹣b），則ab＝12，
∵OA＝5，
∴a2+b2＝25，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49，
∵a+b＞0，
∴a+b＝7，
故△AOB的周長是：7+5＝12．
故答案是：12．
18．如圖，直角三角形的直角頂點在座標原點，∠OAB＝30°，若點A在反比例函數y＝（x＞0）的圖像上，則經過點B的反比例函數解析式為 y＝﹣ ．
【分析】過點B作BC⊥x軸於點C，過點A作AD⊥x軸於點D，證明△BCO∽△ODA，利用相似三角形的判定與性質得出＝，根據反比例函數圖像上點的座標特徵得出S△AOD＝3，那麼S△BCO＝1，進而得出答案．
解：過點B作BC⊥x軸於點C，過點A作AD⊥x軸於點D，如圖．
∵∠BOA＝90°，
∴∠BOC+∠AOD＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
又∵∠BCO＝∠ADO＝90°，
∴△BCO∽△ODA，
∴＝tan30°＝，
∴＝，
∵×AD×DO＝xy＝3，
∴S△BCO＝×BC×CO＝S△AOD＝1，
∵經過點B的反比例函數圖像在第二象限，
故反比例函數解析式為：y＝﹣．
故答案為y＝﹣．
三、解答題（本大題共7小題，共66分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
19．計算：
（1）；
（2）2﹣2﹣+6sin45°﹣．
【分析】（1）先分母有理化、代入三角函數、計算二次根式的乘法，再計算加減即可；
（2）先計算負整數指數冪、代入三角函數值、利用二次根式的性質化簡，再計算乘法，最後計算加減即可．
解：（1）原式＝﹣+
＝﹣+2
＝﹣+2
＝；
（2）原式＝﹣2+6×﹣3
＝﹣2+3﹣3
＝﹣．
20．如圖，小亮在大樓AD的觀光電梯中的E點測得大樓BC樓底C點的俯角為60°，此時他距地面的高度AE為21米，電梯再上升9米到達D點，此時測得大樓BC樓頂B點的仰角為45°，求大樓BC的高度．（結果保留根號）
【分析】過D作DH⊥BC於H，過E作EG⊥BC於G．求出EG和DH的長，在Rt△BDH中，求出BH，則可得出答案
解：過D作DH⊥BC於H，過E作EG⊥BC於G．
由已知得，∠BDH＝45°，∠CEG＝60°，AE＝21米，DE＝9米．
在Rt△CEG中，CG＝AE＝21米，tan∠CEG＝，
∴EG＝＝＝7（米）．
∴DH＝EG＝7米．
在Rt△BDH中，∵∠BDH＝45°，
∴BH＝DH＝7米．
∴BC＝CG+HG+BH＝CG+DE+BH＝21+9+7＝（30+7）米．
答：大樓BC的高度是（30+7）米．
21．如圖，山區某教學樓後面緊鄰著一個土坡，坡面BC平行於地面AD，斜坡AB的坡比為i＝1：，且AB＝26米，為了防止山體滑坡，保障安全，學校決定對該土坡進行改造，經地質人員勘測，當坡角不超過53°時，可確保山體不滑坡；
（1）求改造前坡頂與地面的距離BE的長；
（2）為了消除安全隱患，學校計畫將斜坡AB改造成AF（如圖所示），那麼BF至少是多少米？（結果精確到1米）
【參考資料：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75】
【分析】（1）根據i的值，設出BE與AE，由AB的長求出k的值，即可確定出AE與BE；
（2）過點F作FG⊥AD於點G，由題意，利用銳角三角函數定義求出AG的長，由AG﹣AE求出BF的長即可．
解：（1）在Rt△ABE中，AB＝26，i＝＝，
設BE＝12k，AE＝5k，則AB＝13k＝26，k＝2，
∴AE＝10（米），BE＝24（米）；
（2）過點F作FG⊥AD於點G，
由題意可知：FG＝BE＝24，∠FAD＝53°，
在Rt△AFG中，cot53°＝＝0.75，
∴AG＝18（米），
∴BF＝GE＝AG﹣AE＝8（米），
答：改造前坡頂與地面的距離BE為24米；BF至少是8米．
22．在直角坐標平面內，二次函數圖像的頂點為A（1，﹣4），且過點B（3，0）．
（1）求該二次函數的解析式；
（2）將該二次函數圖像向右平移幾個單位，可使平移後所得圖像經過座標原點？並直接寫出平移後所得圖像與x軸的另一個交點的座標．
【分析】（1）有頂點就用頂點式來求二次函數的解析式；
（2）由於是向右平移，可讓二次函數的y的值為0，得到相應的兩個x值，算出負值相對於原點的距離，而後讓較大的值也加上距離即可．
解：（1）∵二次函數圖像的頂點為A（1，﹣4），
∴設二次函數解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，
把點B（3，0）代入二次函數解析式，得：
0＝4a﹣4，解得a＝1，
∴二次函數解析式為y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解方程，得x1＝3，x2＝﹣1．
∴二次函數圖像與x軸的兩個交點座標分別為（3，0）和（﹣1，0），
∴二次函數圖像上的點（﹣1，0）向右平移1個單位後經過座標原點或向右平移﹣3個單位，
故平移後所得圖像與x軸的另一個交點座標為（4，0）或（﹣4，0）．
23．“佳佳商場”在銷售某種進貨價為20元/件的商品時，以30元/件售出，每天能售出100件．調查表明：這種商品的售價每上漲1元/件，其銷售量就將減少2件．
（1）為了實現每天1600元的銷售利潤，“佳佳商場”應將這種商品的售價定為多少？
（2）物價局規定該商品的售價不能超過40元/件，“佳佳商場”為了獲得最大的利潤，應將該商品售價定為多少？最大利潤是多少？
【分析】（1）設商品的定價為x元，由這種商品的售價每上漲1元，其銷售量就減少2件，列出等式求得x的值即可；
（2）設利潤為y元，列出二次函數關係式，在售價不超過40元/件的範圍內求得利潤的最大值．
解：（1）設商品的定價為x元，由題意，得
（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]＝1600，
解得：x＝40或x＝60；
答：售價應定為40元或60元．
（2）設利潤為y元，得：
y＝（x﹣20）[100﹣2（x﹣30）]（x≤40），
即：y＝﹣2x2+200x﹣3200；
∵a＝﹣2＜0，
∴當x＝﹣＝﹣＝50時，y取得最大值；
又x≤40，則在x＝40時可取得最大值，
即y最大＝1600．
答：售價為40元/件時，此時利潤最大，最大為1600元．
24．如圖，一次函數y1＝ax+b與反比例函數y2＝的圖像相交於A（2，8），B（8，2）兩點，連接AO，BO，延長AO交反比例函數圖像於點C．
（1）求一次函數y1的運算式與反比例函數y2的運算式；
（2）當y1＜y2，時，直接寫出引數x的取值範圍為 x＞8或0＜x＜2 ；
（3）點P是x軸上一點，當S△PAC＝S△AOB時，請直接寫出點P的座標為 P（3，0）或P（﹣3，0） ．
【分析】（1）由待定係數法即可得到結論；
（2）根據圖像中的資訊即可得到結論；
（3）先求得D的座標，然後根據S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD求得△AOB的面積，即可求得S△PAC＝S△AOB＝24，根據中心對稱的性質得出OA＝OC，即可得到S△APC＝2S△AOP，從而得到2×OP×8＝24，求得OP，即可求得P的座標．
解：（1）將A（2，8），B（8，2）代入y＝ax+b得，
解得，
∴一次函數為y＝﹣x+10，
將A（2，8）代入y2＝得8＝，解得k＝16，
∴反比例函數的解析式為y＝；
（2）由圖像可知，當y1＜y2時，引數x的取值範圍為：x＞8或0＜x＜2，
故答案為x＞8或0＜x＜2；
（3）由題意可知OA＝OC，
∴S△APC＝2S△AOP，
把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10，
∴D（10，0），
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝﹣＝30，
∵S△PAC＝S△AOB＝×30＝24，
∴2S△AOP＝24，
∴2××yA＝24，即2×OP×8＝24，
∴OP＝3，
∴P（3，0）或P（﹣3，0），
故答案為P（3，0）或P（﹣3，0）．
25．如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖像交x軸於A、B兩點，交y軸於點D，點B的座標為（3，0），頂點C的座標為（1，4）．
（1）求二次函數的解析式和直線BD的解析式；
（2）點P是直線BD上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交抛物線於點M，當點P在第一象限時，求線段PM長度的最大值；
（3）在抛物線上是否存在異於B、D的點Q，使△BDQ中BD邊上的高為2？若存在求出點Q的座標；若不存在請說明理由．
【分析】（1）可設抛物線解析式為頂點式，由B點座標可求得抛物線的解析式，則可求得D點座標，利用待定係數法可求得直線BD解析式；
（2）設出P點座標，從而可表示出PM的長度，利用二次函數的性質可求得其最大值；
（3）過Q作QG∥y軸，交BD於點G，過Q和QH⊥BD於H，可設出Q點座標，表示出QG的長度，由條件可證得△DHG為等腰直角三角形，則可得到關於Q點座標的方程，可求得Q點座標．
解：
（1）∵抛物線的頂點C的座標為（1，4），
∴可設抛物線解析式為y＝a（x﹣1）2+4，
∵點B（3，0）在該抛物線的圖像上，
∴0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1，
∴抛物線解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，
∵點D在y軸上，令x＝0可得y＝3，
∴D點座標為（0，3），
∴可設直線BD解析式為y＝kx+3，
把B點座標代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直線BD解析式為y＝﹣x+3；
（2）設P點橫坐標為m（m＞0），則P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），
∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∴當m＝時，PM有最大值；
（3）如圖，過Q作QG∥y軸交BD於點G，交x軸於點E，作QH⊥BD於H，
設Q（x，﹣x2+2x+3），則G（x，﹣x+3），
∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO＝45°，
∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，
當△BDQ中BD邊上的高為2時，即QH＝HG＝2，
∴QG＝×2＝4，
∴|﹣x2+3x|＝4，
當﹣x2+3x＝4時，△＝9﹣16＜0，方程無實數根，
當﹣x2+3x＝﹣4時，解得x＝﹣1或x＝4，
∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），
綜上可知存在滿足條件的點Q，其座標為（﹣1，0）或（4，﹣5）．
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