高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示课堂检测

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空间向量及其运算的坐标表示 1 空间直角坐标系 (1) 空间直角坐标系在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.(2) 空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系中，对空间任一点存在唯一的有序实数组 ，使有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作叫横坐标叫纵坐标叫竖坐标.【例1】在空间直角坐标系中标出下列各点 解 略【例2】求点关于平面，平面，平面的对称点.解 ，，. 2 空间向量的直角坐标运算律① 若，则 , , ，② 若 ，则.③ 模长公式若，则，④ 夹角公式，，为钝角.⑤ 两点间的距离公式:若则或【例1】若，证明.证明 设为空间的一个单位正交基底，则，所以利用向量数量积的分配律以及得.【例2】 已知，且，则向量与的夹角为       . 解 ，且，，解得，，向量与的夹角为．【题型1】空间坐标系【典题1】 在长方体中，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，(1)写出四点的坐标；(2)写出向量的坐标. 解析 (1)点在轴上，且，所以，所以点的坐标是；点在轴、轴、轴上的射影分别为，它们在坐标轴上的坐标分别为，所以点的坐标是；(2) ；.  【巩固练习】1(多选)如图，在长方体中，，以直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则　　A．点的坐标为                B．点关于点对称的点为C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为答案 解析 由图形及其已知可得：点的坐标为，点关于点对称的点为，点关于直线对称的点为，点关于平面对称的点为．因此正确．故选：．2在空间直角坐标系中，(1)哪个坐标平面与轴垂直？哪个坐标平面与轴垂直？哪个坐标平面与轴垂直？(2)写出点在三个坐标平面内的射影的坐标；(3)写出点关于原点成中心对称的点的坐标.答案 (1)平面，平面，平面；(2)在平面上的射影坐标是，在平面上的射影坐标是，在平面上的射影坐标是；(3).  【题型2】空间向量坐标运算【典题1】已知：，，，，，求：(1)；(2)与所成角的余弦值．解析 (1)，，解得，故，又因为，所以，即，解得，故；(2)由(1)可得，设向量与所成的角为，则． 【巩固练习】1已知，则　　．答案  解析 ，，．2已知向量，若，则的值为     .  答案  解析 根据题意，，所以由，则有所以.3已知空间向量，且，则实数      .答案  解析 ，可设，，解得．4若，与的夹角为，则的值为　 　．答案 或解析 ，，又与的夹角为，，解得：或．5若向量，且与的夹角余弦为，则等于     . 答案 解析 向量，与的夹角余弦为，，解得． 【题型3】建立空间坐标系处理几何问题【典题1】 在棱长为的正方体中，为的中点，分别在棱上，，，(1)求的长；(2)求与所成角的余弦值.解析 如图建立空间直角坐标系，则，，所以，(2)由已知，得，所以，，，所以，所以，所以与所成角的余弦值是. 【巩固练习】1如图，正方体的棱长为，点分别在上，，求的长.答案  解析 建立如图的空间直角坐标系，则，，又由，所以，因为，，，所以,所以，即，即.2如图，在正方体中，是的中点，求与所成角的余弦值.答案  .解析 建立如图的空间直角坐标系，不妨设边长为1，则，，，,所以，，所以.所以与所成角的余弦值为.