人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式随堂练习题

2.3.3 点到直线的距离公式

2.3.4 两条平行直线间的距离

1 点到直线的距离公式

点到直线的距离.

证明 过点作交直线与，

设，由，以及直线的斜率为，可得的垂线的斜率为，

因此，垂线的方程为，即，

解方程组

得直线与的交点坐标，即垂足的坐标为，

于是

因此点到直线的距离.

当或时，上述公式仍然成立.

(也可以用向量的方法证明)

【例】点到直线的距离为      .

解 由点到直线的距离公式得.

2 两平行直线间的距离

两条平行线与间的距离.

证明 在直线上任取一点，点到直线的距离就是两平行线的距离，即，

因为点在直线上，所以，即，因此.

【例】两平行线与的距离为________．[

解 由两平行直线距离公式得.

【题型1】 点到直线的距离

【典题1】求过点且与点，等距离的直线的方程．

解析 方法一

由于点与到轴的距离不相等，所以直线的斜率存在，设为，又因为直线在轴上的截距为，则直线的方程为，即．

由点与到直线l的距离相等，

得，解得或．

直线的方程是或．

方法二

当直线过的中点时，直线与点，等距离，

的中点是，又直线过点，直线的方程是；

当直线时，直线与点，等距离，

直线的斜率为，直线的斜率为．故方程为．

综上所述，满足条件的直线的方程是或．

【典题2】求点到直线的距离的取值范围.

解析 记为点到直线的距离，

即：其中；

当变化时的最大值为的最小值为

【典题3】如图，在中， 边上的高所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为，若点的 坐标为，求：

(1)点和点的坐标；(2)求的面积．

解析 (1)由，得顶点．

又的斜率．

轴是的平分线，故的斜率为，所在直线的方程为①，

已知上的高所在直线的方程为，

故的斜率为，所在的直线方程为②，

解①，②得顶点的坐标为；

(2)，

又直线的方程是，到直线的距离．

的面积．

【巩固练习】

1.已知到直线的距离相等，则实数为 　 　．

答案 或

解析 因为点到直线的距离相等，

所以，解得或.

2..求过点且到原点的距离等于的直线方程．

答案 或

解析 显然直线到原点的距离为，所以所求直线的斜率是存在的．

设所求直线的方程为，化成一般式为．

由题意得，解得或．[来源:Zxxk.Com]

故适合题意的直线方程为或，

即或．

3.已知直线经过点，且原点到它的距离为求直线的方程．

答案

解析 当直线斜率不存在时直线方程为满足原点到它的距离为，

当斜率存在时，设直线为

变形为

所以直线方程为.

【题型2】两平行直线间的距离

【典题1】 求与直线平行且距离为的直线方程．

解析  所求直线与直线平行，

设所求直线方程为．

由两平行直线间的距离公式得，即．或．

所求直线方程为或．

【巩固练习】

1.已知直线：，：，且两直线间的距离为，则________．

答案 或

解析 由解得或.

2.直线过点，过点，如果且与的距离为，求直线与的方程．

答案 直线与的方程分别为．

解析 当，的斜率不存在时，即：，：时，满足条件．

当，的斜率存在时，

设：，即，：，即，

由两条平行直线间的距离公式得，解得．

此时：，：．

综上所述，，斜率不存在时，直线与的方程分别为，；

，斜率存在时，直线与的方程分别为．

【题型3】 最值问题

【典题1】 已知点则当点到直线的距离最大时　　)

A．1 B． C． D．

解析 因为直线恒过定点

故当与直线垂直时，点到直线的距离达到最大值，

此时过的直线的斜率为

所以直线的斜率为

故．

故选：．

【典题2】已知点在直线：上，则的最小值为　  　．

解析  的几何意义是点到点的距离，又点在直线上，

的最小值为点到直线的距离

又

故答案为：．

【巩固练习】

1.点在直线上，为原点，则的最小值为 　   　．．

答案

解析 当与直线垂直时，最小，

的最小值就是原点到直线的距离，

．

2.已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为 　   　．

答案

解析直线，即，

该直线经过 和的交点，

当点在直线上，点到直线的距离最小为；

当和直线垂直时，点到直线的距离最大为，

此时，直线的方程为：，不存在值，满足此条件，

故点到直线的距离最大取不到，

故点到直线的距离的取值范围为，

故答案为：．

3.分别过点和点的直线和互相平行且有最大距离，则的方程是　 　．

答案

解析 分别过点和点的直线和互相平行且有最大距离，

故此最大距离为1，故的斜率为

故l1的方程为即

故答案为：．

4.若点在直线上，则的最小值为(    )

A． B． C． D．

答案

解析 表示点与点的距离，

则的最小值为点到直线的距离，即，

故的最小值为．

故选：．