2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

二次函数与一元二次方程、不等式 一元二次不等式及其解法① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：(以下均以a>0为例)② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解；③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的.【例】填表 解析 【练1】二次不等式ax2+bx+c<0的解集是R的条件是(　　)A．a>0△>0 B．a>0△<0 C．a<0△>0 D．a<0△<0解析 由题意可知二次不等式ax2+bx+c<0，对应的二次函数y=ax2+bx+c开口向下，所以a<0二次不等式ax2+bx+c<0的解集是R，所以△<0．故选：D．【练2】解不等式(1) x2-x-6≤0 (2) x2-3x+4<0 (3) x2-4x+4>0解析 (1) -2≤x≤3 (2) ∅ (3)x≠23 一元二次不等式的应用(1) 分式不等式的解法解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.由于ab>0与ab>0均意味a,b同号，故ab>0与ab>0等价的；ab<0与ab<0均意味a,b异号，故ab<0与ab<0等价的；可得① fxg(x)>0⇒fxgx>0，fxg(x)≥0⇒fxgx≥0且gx≠0.比如x-1x-2>0⇒x-1x-2>0 ; x-1x-2≥0⇒x-1x-2≥0且x-2≠0.② fxg(x)<0⇒fxgx<0，fxg(x)≤0⇒fxgx≤0且gx≠0.比如x-1x-2<0⇒x-1x-2<0 ; x-1x-2≤0⇒x-1x-2≤0且x-2≠0.【例】解不等式x+1x-2<0的解集是 .解析 不等式x+1x-2<0，等价于(x+1)(x-2)≤0，解得-10；(3) x-2x+3≥2.解析 (1) 二次项系数化为1得：x2-7x+10>0，十字相乘得：x-2x-5>0，解得x>5或x<2.(2) 4x2+18x+814>0⇔2x+922>0，结合二次函数图像易得不等式解集是{x|x≠-94}.(3)不等式x-2x+3≥2⇔x-2x+3-2≥0⇔-x-8x+3≥0⇔x+8x+3≤0，等价于(x+8)(x+3)≤0x+3≠0，解得-8≤x<-3. 点拨 1.求解不等式ax2+bx+c>0(或<0)，其中a>0，有个口诀：大于取两边、小于取中间；这结合二次函数图像也很好理解；2.求解分式不等式时，等价过程中要注意严谨.【典题2】若不等式2kx2+kx-38≥0的解集为空集，则实数k的取值范围是( )A．(-3,0) B． (-∞,-3) C．(-3,0] D．(-∞,-3)∪(0,+∞)解析 由题意可知2kx2+kx-38<0恒成立，当k=0时成立，当k≠0时需满足&k<0&Δ<0，代入求得-30 B．-2x2+x+1>0 C．2x-x2>5 D．x2+x>2答案 C 2.若不等式kx2+2kx+2<0的解集为空集，则实数k的取值范围是(　　)A．02答案 C解析 当k=0时，满足题意；当k>0时，△=4k2-8k≤0，解得00的解集为 .答案 {x|x>32 或 x<-1}解析 2x2-x-3>0⇒(2x-3)(x+1)>0⇒x>32 或 x<-1.5.不等式x2x-1>1的解集为 .答案 {x|120，即x-(2x-1)2x-1>0，整理得x-12x-1<0，不等式等价于(2x-1)(x-1)<0，解得120的解集是{x|120的解集．(2)已知二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<13或x>12}，求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集．答案 (1) {x|-30的解集是{x|120可化为-2x2-5x+3>0，即2x2+5x-3<0，∴(2x-1)(x-3)<0，解得-30的解集为{x|-312}，∴13和12是一元二次方程-2x2+bx+c=0的两根，∴13+12=-b-2，13×12=-c2，解得b=53，c=-13，所以不等式cx2-bx+a>0可化为：-13x2-53x-2>0，即x2+5x+6<0，解得-30的解集为{x|-30 ,a=0 ,a<0;解不等式ax2+(a+2) x+1>0.解析(不确定不等式对应函数y=ax2+(a+2) x+1是否是二次函数，分a=0与a≠0讨论)(1) 当a=0时，不等式为2x+1>0，解集为{x | x>-12} ；(2) 当a≠0时，∵Δ=a+22-4a=a2+4>0 (二次函数y=ax2+(a+2) x+1与x轴必有两个交点)解得方程ax2+(a+2) x+1=0两根x1=-a-2-a2+42a , x2=-a-2+a2+42a ；(二次函数的开口方向与不等式的解集有关，分a>0与a<0讨论)(i)当a>0时，解集为{x | x>-a-2+a2+42a或x<-a-2-a2+42a}；(ii)当a<0时, 解集为{x | -a-2+a2+42a-12}；当a>0时，解集为{x | x>-a-2+a2+42a或x<-a-2-a2+42a}；当a<0时, 解集为{x | -a-2+a2+42a0.解析 ∵Δ=a2-16 (此时不确定二次函数y=x2+ax+4是否与x轴有两个交点，对判别式进行讨论)∴①当-44或a<-4，即Δ>0时，此时两根为x1=-a+a2-162 , x2=-a-a2-162 ，显然x1>x2，∴不等式的解集为{x | x>-a+a2-162 或x<-a-a2-162}. 综上，当-44或a<-4时，解集为{x | x>-a+a2-162 或x<-a-a2-162}. 角度3 按方程的根大小分类解不等式：x2-a+1ax+1<0 (a≠ 0).解析 原不等式可化为：x-ax-1a<0 , 令x-ax-1a=0，得x1=a ,x2=1a；(因式分解很关键，此时确定y=x-ax-1a与x轴有交点，x1 ,x2的大小影响不等式解集)∴(i)当x1=x2时，即a=1a⇒a=±1时，解集为ϕ；(ii)当x1x2时，即a>1a⇒-11时，解集为x 1a 1时， 解集为x 1a 0时，x2>x1，不等式的解集是x∣-a40．解析 方程x2+2x+a=0中△=4-4a=4(1-a)，①当1-a<0即a>1时，不等式的解集是R，②当1-a=0，即a=1时，不等式的解集是{x|x≠-1}，③当1-a>0即a<1时，由x2+2x+a=0解得：x1=-1-1-a,x2=-1+1-a，∴a<1时，不等式的解集是{x|x>-1+1-a或x<-1-1-a}，综上，a>1时，不等式的解集是R，a=1时，不等式的解集是{x|x≠-1}，a<1时，不等式的解集是{x|x>-1+1-a或x<-1-1-a}．3.若a∈R，解关于x的不等式ax2+(a+1)x+1>0．解析 当a=0时，x>-1． 当a≠0时，a(x+1a)(x+1)>0．当a<0时，(x+1a)(x+1)<0，解得-10时，(x+1a)(x+1)>0．当a=1时，x≠-1． 当0-1．当a>1时，x<-1，或x>-1a． ∴当a<0时，解集是(-1,-1a)；当a=0时，解集是(-1,+∞)；当01时，解集是(-∞,-1)∪(-1a,+∞)． 判别式∆=b2-4ac∆>0∆=0∆<0二次函数y=ax2+bx+c 的图象一元二次方程ax2+bx+c=0的根有两个相异实数根x1 , 2=-b±b2-4ac2a(x10的解集{x|xx2}{x|x≠-b2a}R一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集{x|x10x2-2x+3<0方程方程根的情况二次函数图像解不等式x2-2x-3=0x1=-1,x2=3x2-2x-3>0x>3或x<-1x2-2x-3<0-10x≠1x2-2x+1<0∅x2-2x+3=0无解x2-2x+3>0Rx2-2x+3<0∅