2021-2022学年江苏省无锡市梁溪区金桥双语实验学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2021-2022学年江苏省无锡市梁溪区金桥双语实验学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江苏省无锡市梁溪区金桥双语实验学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）


第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. -4的倒数是(    )
A. 14 B. -14 C. 4 D. -4
2. 函数y=x+1x-1的自变量x的取值范围是(    )
A. x≠1 B. x≠-1 C. x≠±1 D. x取任意实数
3. 下列计算正确的是(    )
A. x2⋅x4=x6 B. (x2)4=x6 C. (3x4)2=3x8 D. x6÷x2=x3
4. 若关于x的一元二次方程(k-2)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(    )
A. k>3 B. k<3 C. k>-3且k≠2 D. k<3且k≠2
5. 为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如表，则关于这若干户家庭的用水量，下列说法错误的是(    )
月用水量/吨
3
4
6
10
12
户数/户
2
4
3
2
1
A. 众数是4 B. 平均数是7
C. 调查了12户家庭的月用水量 D. 中位数是5
6. 如图所示，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为(    )
A. 105
B. 55
C. 2105
D. 255
7. 如图，所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作弧BC，弧AC，弧AB，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形，如果一个曲边三角形的周长为3π，则它的面积为(    )
A. 9π2-932 B. 3π2-934 C. 932-3π2 D. π2+32
8. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上.点D在x轴的负半轴上，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到矩形AB'C'D'，直线B'C'与CD相交于点M，则M的坐标为(    )

A. (2,833) B. (-2,833) C. (2,233) D. (-2,733)
9. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(c≠0)的图象与x轴交于点(-1,0)，其对称轴为直线x=1，若2
A. abc<0 B. 2a+c>0
C. -10
10. 如图，已知A(3,6)、B(0,n)(0 A. 3
B. 3817
C. 455
D. 655
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11. 把多项式2x3-8xy2分解因式的结果是______．
12. 2020年12月9日世卫组织公布，全球新冠肺炎确诊病例超6810万例，请用科学记数法表示6810万例为______ 例.
13. 设a、b是方程x2+x-2014=0的两个不等的根，则a2+2a+b的值为______ ．
14. 已知反比例函数y=k-1x的图象经过点(2,-4)，则k的值为______ ．
15. 已知直线y=x+b和y=ax-1交于点P(-2,1)，则关于x的方程x+b=ax-1的解为______．
16. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BOC=50°，AD//OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，那么∠ACD=______．


17. 小明做了一个圆心角∠AOB=120°，半径为2cm的扇形纸板，并在水平的桌面上作无滑动滚动，如图，当滚动一周，圆心O从桌面开始再次滚动到桌面O1处时，圆心O经过的轨迹的长为______cm(不求近似值)

18. 如图，已知∠MON=120°，点A、B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM'，旋转角为α(0°<α<120°且α≠60°)，作点A关于直线OM'的对称点C，画直线BC交OM'与点D，连接AC，AD，有下列结论：
①点C始终在以O为圆心，OB长为半径的圆上；
②∠ADB的大小随α的变化而变化；
③当α=30°时，四边形OADC为菱形；
④△ACD面积的最大值为3a2，
其中正确的结论是______.(把你认为正确结论的序号都填上)



三、解答题（本大题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)计算：20140+(12)-1+2sin30°+|-4|；
(2)化简：a+1a-1-aa2-2a+1÷1a．
20. (本小题8.0分)
(1)解方程：x2+x-6=0；
(2)解不等式组：3x+6≥5(x-2)x-52-4x-33<1．
21. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
(1)求证：△ADC≌△BDF；
(2)线段BF与AE有何数量关系？并说明理由．
(3)若CD=6，求AD的长．

22. (本小题10.0分)
本学期，我校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程，为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)本次抽样测试的学生人数是______名；
(2)扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是______，并把条形统计图补充完整；
(3)该校八年级共有学生1200名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为多少？


23. (本小题10.0分)
将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片.求下列事件发生的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
(1)取出的2张卡片数字相同；
(2)取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”．
24. (本小题10.0分)
如图，在⊙O中，C，D分别为半径OB，弦AB的中点，连接CD并延长，交过点A的
切线于点E．
(1)求证：AE⊥CE．
(2)若AE=2，sin∠ADE=13，求⊙O半径的长．

25. (本小题10.0分)
如图，四边形ABCD为矩形．
(1)如图1，E为CD上一定点，在AD上找一点F，使得矩形沿着EF折叠后，点D落在BC边上；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)如图2，在AD和CD边上分别找点M，N，使得矩形沿着MN折叠后BC的对应边B'C'恰好经过点D，且满足B'C'⊥BD；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(3)在(2)的条件下，若AB=2，BC=4，则CN=______．

26. (本小题10.0分)
如图，某种路灯灯柱BC垂直于地面，与灯杆AB相连．已知直线AB与直线BC的夹角是76°，在地面点D处测得点A的仰角是53°，点B仰角是45°，点A与点D之间的距离为3.5米．
求：(1)点A到地面的距离；
(2)AB的长度．(精确到0.1米)
(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24)

27. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=mx2-4mx+n(m>0)与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，连接CA、CB，已知tan∠CAO=3，sin∠CBO=22．
(1)求抛物线的对称轴与抛物线的解析式；
(2)设D为抛物线对称轴上一点，
①当△BCD的外接圆的圆心在△BCD的边上时，求点D的坐标；
②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D纵坐标的取值范围．

28. (本小题10.0分)
已知，如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D，直线PM交BC于点P，交AC于点M，直线PM从点C出发沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持PM⊥BC，过点P作PQ⊥AB，交AB于点Q，交AD于点N，连接QM，设运动时间是t(s)(0 (1)当t为何值时，QM//BC？
(2)设四边形ANPM的面积为y(cm2)，试求出y与t的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的13？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)是否存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
乘积是1的两数互为倒数，根据此可得．
【解答】
解：因为-4×-14=1，
所以-4的倒数是-14．
故选B．  
2.【答案】A 
【解析】解：根据题意得：x-1≠0，
∴x≠1，
故选：A．
根据分母不等于0即可得出答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解题的关键．

3.【答案】A 
【解析】解：A、原式=x6，故A符合题意．
B、原式=x8，故B不符合题意．
C、原式=9x8，故C不符合题意．
D、原式=x4，故D不符合题意．
故选：A．
根据整式的乘除运算法则、幂的乘方、积的乘方即可求出答案．
本题考查整式的乘除运算法则、幂的乘方、积的乘方，本题属于基础题型．

4.【答案】D 
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(k-2)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=4-4(k-2)>0，且k-2≠0，
解得：k<3且k≠2．
故选：D．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可求出k的范围．
此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：A、4出现了4次，出现的次数最多，则众数是4，故说法正确，本选项不符合题意；
B、这组数据的平均数是：(3×2+4×4+6×3+10×2+12×1)÷12=6，故说法错误，本选项符合题意；
C、调查的户数是2+4+3+2+1=12，故说法正确，本选项不符合题意；
D、这组数据从小到大排列，最中间的两个数的平均数是(4+6)÷2=5，故说法正确，本选项不符合题意；
故选：B．
根据众数的定义可以判定A，根据平均数的定义可判定B，根据表中用户数可判断C，根据中位数的定义可判定D．
此题考查了众数、中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．

6.【答案】B 
【解析】解：如图所示：延长AC交网格于点E，连接BE，
∵AE=25，BE=5，AB=5，
∴AE2+BE2=AB2，
∴△ABE是直角三角形，
∴sinA=BEAB=55，
故选：B．
利用图形构造直角三角形，进而利用sinA=BEAB求出即可．
此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理逆定理等知识，得出sinA=BEAB是解题关键．

7.【答案】A 
【解析】解：由题意可得，
AB=13×3π=π，∠BCA=60°，
∴π=60π×CB180，
解得CB=3，
∴一个曲边三角形的面积是：[60π×32360-12×3×(3×sin60°)]×3+12×3×(3×sin60°)=9π2-932，
故选：A．
根据题意和图形，可以计算出BC的长，然后根据扇形面积公式和三角形的面积，可以求得曲边三角形的面积．
本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质、弧长的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

8.【答案】B 
【解析】解：∵矩形AB'C'D'是将矩形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到，
直线B'C'与CD相交于点M，AB'和CD'相交于点N，

∴∠1=30°，AB'=AB=5，
∵ABCD是矩形，
∴AB//CD，AD=BC=2
∴∠2=∠1=30°，
在Rt△ADN中，
DN=ADtan30∘=233=23，
∴AN=AD2+DN2=22+(23)2=4，
∴B'N=AB'-AN=5-4=1，
在Rt△MNB'中，
∵∠MNB'=∠2=30°，
∴MN=B'Ncos30∘=132=233，
∴MD=MN+DN=233+23=833，
∴点M(-2,833)，
故选：B．
根据旋转的性质得到∠1=30°，AB'=AB=5，由矩形的性质得出∠2=∠1=30°，在Rt△ADN中，求出AN和DN，再在Rt△MNB'中，求出MN，从而求出DM，然后根据M在第二象限，写出M坐标．
本题考查矩形的性质、旋转的性质和解直角三角形，关键是求出DM的长度．

9.【答案】C 
【解析】解：A.抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab<0，而c>0，
故abc<0，正确，不符合题意；

B.函数的对称轴为直线x=-b2a=1，则b=-2a，
∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，
而a<0，故2a+c>0，故B正确，不符合题意；

C.∵-b2a=1，故b=-2a，
∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，
∴c=-3a，
∵2 ∴2<-3a<3，
∴-1
D.从图象看，当x=2时，y=4a+2b+c>0，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．

10.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E.则四边形CEHO是矩形，OH=CE=4，由△AHB∽△CEA，得出比例式，推出AE=2BH，设BH=x，则AE=2x，推出B(0,6-x)，C(3+2x,0)，由BM=CM，推出M(3+2x2,6-x2)，得出PN=ON-OP=x，在Rt△PMN中，由勾股定理得出PM2=PN2+MN2=x2+(6-x2)2=54x2-3x+9=54(x-65)2+365，根据二次函数的性质得出PM2最小值为365，即可得出结果．
【解答】
解：如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E，作MN⊥OC于N．
则四边形CEHO是矩形，OH=CE=4，
∵∠BAC=∠AHB=∠AEC=90°，
∴∠ABH+∠HAB=90°，∠HAB+∠EAC=90°，
∴∠ABH=∠EAC，
∴△AHB∽△CEA，
∴AHEC=BHAE，
∴36=BHAE，
∴AE=2BH，设BH=x，则AE=2x，
∴OC=HE=3+2x，OB=6-x，
∴B(0,6-x)，C(3+2x,0)
∵BM=CM，
∴M(3+2x2,6-x2)，
∵P(32,0)，
∴PN=ON-OP=3+2x2-32=x，
∴PM2=PN2+MN2=x2+(6-x2)2=54x2-3x+9=54(x-65)2+365，
∴x=65时，PM2有最小值，最小值为365，
∴PM的最小值为365=655．
故选：D．  
11.【答案】2x(x+2y)(x-2y) 
【解析】解：原式=2x(x2-4y2)
=2x(x+2y)(x-2y)．
故答案为：2x(x+2y)(x-2y)．
直接提取公因式2x，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．

12.【答案】6.81×107 
【解析】解：6810万=68100000=6.81×107．
故选：6.81×107．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

13.【答案】2013 
【解析】解：∵a、b是方程x2+x-2014=0的两个不等的根，
∴a2+a=2014，a+b=-1，
∴a2+2a+b=a2+a+a+b=2014-1=2013．
故答案是：2013．
由方程的解的定义求得a2+a=2014，由根与系数的关系求得a+b=-1，然后将其代入所求的代数式进行解题．
本题考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系．把方程的解代入原方程，等式的两边相等．

14.【答案】-7 
【解析】解：∵反比例函数y=k-1x的图象经过点(2,-4)，
∴k-1=2×(-4)=-8，
解得k=-7．
故答案为-7．
将已知点的坐标代入解析式，构造方程进而求解．
题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．

15.【答案】x=-2 
【解析】解：∵直线y=x+b和y=ax-1交于点P(-2,1)，
∴当x=-2时，x+b=ax-1=1，
即关于x的方程x+b=ax-1的解为x=-2．
故答案为x=-2．
利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解决问题．
本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．

16.【答案】40° 
【解析】解：连接OD，
∵AD//OC，
∴∠DAB=∠BOC=50°，
∵OA=OD
∴∠AOD=180°-2∠DAB=80°，
∴∠ACD=12∠AOD=40°
故答案为40°
先求出∠DAB=50°，进而得出∠AOD=80°，即可得出结论．
此题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，求出∠AOD是解本题的关键．

17.【答案】10π3 
【解析】解：∵扇形圆心角∠AOB=120°，半径为2cm
∴AB=120°×π×2180∘=43π(cm)，
∴圆心O经过的轨迹的长=4π3+2×90°×π×2180∘=10π3(cm)，
故答案为：10π3．
点O经过的轨迹的长分三段，由弧长公式可求解．
本题考查了轨迹，弧长公式，旋转的性质和圆的性质；理解点O经过的轨迹的长分三段，熟记弧长公式是解题的关键．

18.【答案】①③④ 
【解析】解：连接OC．
∵A，C关于直线OM'对称，
∴OM'垂直平分线段AC，
∴OA=OC，
∵OA=OB，
∴OC=OA=OB，
∴点C始终在以O为圆心，OB长为半径的圆上，故①正确，
∵OC=OA，DC=DA，OD=OD，
∴△ODC≌△ODA(SSS)，
∴∠OCD=∠OAD，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OCB+∠OCD=180°，
∴∠OBC+∠OAD=180°，
∴∠ADC+∠BOA=180°，
∵∠BOA=120°，
∴∠ADC=60°，故②错误，
当α=30°时，∠COA=∠CDA=60°，
∵OC=OB，DC=DA，
∴△AOC，△ADC都是等边三角形，
∴OA=OC=CD=AD=AC，
∴四边形OADC是菱形，故③正确，
∵AC是⊙O的弦，
∴当AC是⊙O的直径时，AC的值最大，此时△ADC的面积最大，
∵DA=DA，∠ADC=60°，
∴△ADC是等边三角形，AC=2a，
∴△ADC的面积的最大值=34×(2a)2=3a2，故④正确，
故答案为①③④．
①正确，只要证明OC=OA=OB即可判断．
②错误，只要证明∠ADC=60°即可判断．
③正确，只要证明△AOC，△ADC都是等边三角形即可判断．
④正确，当AC是⊙O直径时，△ADC的面积最大，由此即可判断．
本题考查轴对称变换，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

19.【答案】解：(1)原式=1+2+2×12+4
=1+2+1+4
=8．
(2)原式=a+1a-1-a(a-1)2⋅a
=(a+1)(a-1)-a2(a-1)2
=-1(a-1)2． 
【解析】(1)根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义、绝对值的性质以及特殊角的锐角三角函数即可求出答案．
(2)根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查分式的加减运算、分式的乘除运算法则、零指数幂的意义、负整数指数幂的意义、绝对值的性质以及特殊角的锐角三角函数，本题属于基础题型．

20.【答案】解：(1)x2+x-6=0，
(x+3)(x-2)=0，
∴x+3=0或x-2=0，
∴x1=-3，x2=2．
(2)3x+6≥5(x-2)①x-52-4x-33<1②，
由①得：x≤8，
由②得：x>-3，
∴不等式组的解集为-3 【解析】(1)利用十字相乘法分解因式，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解的能力．要熟练掌握因式分解的方法．

21.【答案】证明：(1)∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，
∠CAD=∠CBEAD=BD∠ADC=∠BDF=90°，
∴△ADC≌△BDF(ASA)；
(2)BF=2AE，
理由如下：∵△ADC≌△BDF，
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE；
(3)∵△ADC≌△BDF，
∴CD=DF=6，
又∵∠ADC=90°，
∴CF=2CD=23，
∵AE=EC，BE⊥AC，
∴AF=CF=23，
∴AD=AF+DF=23+6． 
【解析】(1)先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等；
(2)根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE，从而得证；
(3)由全等三角形的性质可求CD=DF=6，由等腰直角三角形的性质和线段垂直平分线的性质可求AF的长，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

22.【答案】40  54° 
【解析】解：(1)本次抽样测试的学生人数是：12÷30%=40(名)，
故答案为：40；

(2)扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是：360°×640=54°，
C级的人数为：40×35%=14，补充完整的条形统计图如图所示：

故答案为：54°；

(3)1200×640=180(人)，
答：估计优秀的人数为180人．
(1)根据B级的人数和所占的百分比，可以求得本次抽样测试的学生人数；
(2)根据条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数和C级的人数，即可将条形统计图补充完整；
(3)用总人数乘以优秀的人数所占的百分比即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是理解两个统计图中数量关系，利用数形结合的思想解答．

23.【答案】解：(1)画树状图如图：

共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，
∴取出的2张卡片数字相同的概率为416=14；
(2)由(1)可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的结果有7种，
∴取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的概率为716． 
【解析】(1)画树状图，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，再由概率公式求解即可；
(2)由(1)可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的结果有7种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．

24.【答案】(1)证明：连接OA，如图，
∵AE是⊙O的切线，
∴AE⊥AO，
∴∠OAE=90°，
∵C，D分别为半径OB，弦AB的中点，
∴CD为△AOB的中位线．
∴CD//OA．
∴∠E=90°．
∴AE⊥CE；
(2)解：连接OD，如图，
∵AD=CD，
∴OD⊥AB，
∴∠ODA=90°，
在Rt△AED中，sin∠ADE=AEAD=13，
∴AD=32，
∵CD//OA，
∴∠OAD=∠ADE．
在Rt△OAD中，sin∠OAD=13，
设OD=x，则OA=3x，
∴AD=(3x)2-x2=22x，
即22x=32，解得x=3，
∴OA=3x=92，
即⊙O的半径长为92． 
【解析】(1)连接OA，如图，利用切线的性质得∠OAE=90°，再证明CD为△AOB的中位线得到CD//OA.则可判断AE⊥CE；
(2)连接OD，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，再在Rt△AED中利用正弦定义计算出AD=32，接着证明∠OAD=∠ADE.从而在Rt△OAD中有sin∠OAD=13，设OD=x，则OA=3x，利用勾股定理可计算出AD=22x，从而得到22x=32，然后解方程求出x即可得到⊙O的半径长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了解直角三角形．

25.【答案】5-12 
【解析】解：(1)在AD上找一点F，使得矩形沿着EF折叠后，点D落在BC边上即可；

(2)在AD和CD边上分别找点M，N，使得矩形沿着MN折叠后BC的对应边B'C'恰好经过点D，且满足B'C'⊥BD即可；
(3)在(2)的条件下，
∵AB=2，BC=4，
∴BD=25，
∵BD⊥B'C'，
∴BD⊥A'D'，
得矩形DGD'C'．
∴DG=C'D'=2，
∴BG=25-2
设CN的长为x，CD'=y．
则C'N=x，D'N=2-x，BD'=4-y，
∴(4-y)2=y2+(25-2)2，
解得y=5-1．
(2-x)2=x2+(5-1)2
解得x=5-12．
故答案为：5-12．
(1)在AD上找一点F，使得矩形沿着EF折叠后，点D落在BC边上即可；
(2)在AD和CD边上分别找点M，N，使得矩形沿着MN折叠后BC的对应边B'C'恰好经过点D，且满足B'C'⊥BD即可；
(3)在(2)的条件下，根据AB=2，BC=4，即可求出CN的长．
本题考查了作图-复杂作图、矩形的性质、翻折变换，解决本题的关键是掌握矩形的性质．

26.【答案】解：(1)过点A作AF⊥CD，垂足为F，

由题意，在Rt△AFD中，AF=ADsin53°=3.5×0.8=2.8(米)，
答：点A到地面的距离为2.8米；
(2)过点A作AG⊥EC，垂足为G，
则AF=GC=2.8，AG=CF，
在Rt△AFD中，DF=ADcos53°=3.5×0.6=2.1(米)，
设CF为x米，则CD为(2.1+x)米，
在Rt△BCD中，BC=CDtan45°=2.1+x(米)，
∴GB=GC-BC=2.8-(2.1+x)=0.7-x(米)，
在Rt△AGB中，tan∠ABG=tan76°=sin76°cos76∘=0.970.24=9724，
∴tan∠ABG=tan76°=AGBG，
∴x0.7-x=9724，
解得x≈0.56，
∴CF=AG=0.56(米)，
∴AB=AGsin76∘=0.560.97≈0.6(米)，
答：AB的长度为0.6米． 
【解析】本题考查了解直角三角形得应用—仰角俯角问题，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
(1)要求点A到地面的距离，所以过点A作AF⊥CD，垂足为F，然后放在直角三角形AFD中即可解答；
(2)要求AB的长度，需要把AB放在直角三角形中，所以过点A作AG⊥EC，垂足为G，在Rt△AFD中，求出DF的长，然后设CF为x，用x表示AG，BG的长，再用76°的正切值求出x，最后求出AB即可．

27.【答案】解：(1)抛物线y=mx2-4mx+n，
根据对称轴公式，得对称轴为直线x=--4m2m=2，点C坐标为(0,n)，
∵sin∠CBO=22．
∴∠CBO=45°，
∴CO=BO，
在Rt△CAO中，tan∠CAO=3，
∴COAO=3，即CO=3AO=n，
∴AO=n3，BO=n，
由抛物线对称轴可得，n3+n2=2，
解得，n=3，
将B(3,0)代入y=mx2-4mx+3，
得9m-12m+3=0，
∴m=1，
∴抛物线的解析式为：y=x2-4x+3；
(2)①当△BCD的外接圆的圆心在△BCD的边上时，
△DCB是直角三角形，
∵D为抛物线对称轴上一点，
设点D坐标为(2,a)，
∵点C坐标为(0,3)，点B坐标为(3,0)，
∴CD2=(0-2)2+(a-3)2=a2-6a+13；
BD2=(3-2)2+(a-0)2=a2+1；
CB2=(0-3)2+(0-3)2=18，
当点C为直角顶点，CD2+CB2=DB2，
∴a2-6a+13+18=a2+1，解得a=5，
∴点D坐标为(2,5)；
当点B为直角顶点，BD2+CB2=DC2，
∴18+a2+1=a2-6a+13，解得a=-1，
∴点D坐标为(2,-1)；
当点C为直角顶点，CD2+CB2=DB2，
∴a2-6a+13+a2+1=18，解得a=3±172，
∴点D坐标为(2,3+172)，(2,3-172).
∴点D坐标为(2,5)或(2,-1)或(2,3+172)或(2,3-172)；
②由图形可知，当点D在D1、D3之间或在D4、D2之间时，△BCD是锐角三角形，
设点D纵坐标为n，
则3+172 【解析】：(1)抛物线y=mx2-4mx+n，根据对称轴公式，得对称轴为直线x=--4m2m=2，点C坐标为(0,n)，由已知条件易得∠CBO=45°，CO=BO，CO=3AO=n，得出AO=n3，BO=n，由抛物线对称轴可得，n3+n2=2，
解得，n=3，将B(3,0)代入y=mx2-4mx+3，得9m-12m+3=0，即可求解；
(2)①当△BCD的外接圆的圆心在△BCD的边上时，△DCB是直角三角形，设点D坐标为(2,a)，用a的代数式表示出CD2=(0-2)2+(a-3)2=a2-6a+13；BD2=(3-2)2+(a-0)2=a2+1；CB2=(0-3)2+(0-3)2=18，当点C为直角顶点，CD2+CB2=DB2，得a2-6a+13+18=a2+1，解得a=5，当点B为直角顶点，BD2+CB2=DC2，得18+a2+1=a2-6a+13，解得a=-1，当点C为直角顶点，CD2+CB2=DB2，a2-6a+13+a2+1=18，解得a=3±172，即可求解；
②由图形可知，当点D在D1、D3之间或在D4、D2之间时，△BCD是锐角三角形，结合第①问即可求解．
本题考查了二次函数解析式求法，两点间距离公式，二次函数与直角三角形的综合题型，解题关键是平面直角坐标系中线段长度与坐标之间的联系．

28.【答案】解：(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵BC//QM，
∴∠AQM=∠B，∠AMQ=∠C，
∴∠AQM=∠AMQ，
∴AQ=AM，
又∵AB=AC，
∴BQ=MC，
又∵AB=AC=10，BC=12，
∴BD=DC=6，AD=8，
在Rt△PMC和Rt△ADC中，
∵cosC=tMC=610，
∴MC=53t，
在Rt△PBQ和Rt△ABD中，
∵cosB=BQ12-t=610，
∴BQ=35(12-t)=365-35t，
又∵BQ=MC，
∴53t=365-35t，
∴t=5417，
∴当t=5417时，QM//BC；
(2)在Rt△ADC和Rt△PCM中，
∵tanC=PMt=86，
∴PM=43t，
∴S△PCM=12×t×43t=23t2，
在Rt△PDN和Rt△ABD中，
∵tan∠DPN=DN6-t=tan∠BAD=68，
∴DN=34(6-t)=92-34t，
∴S△PDN=12(6-t)(92-34t)=38t2-92t+272，
∴y=12×6×8-23t2-38t2+92t-272，
即y=-2524t2+92t+212；
(3)假设存在时间t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的13，
∴-2524t2+92t+212=13×12×12×8，
整理得：25t2-108t+132=0，
∵b2-4ac=1082-4×25×132=-1536<0，
∴此方程无解，
∴不存在时间t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的13；
(4)假设存在时间t，使点M在线段PQ的垂直平分线上，
∵M在PQ的垂直平分线上，
∴MP=MQ，
过M作ME⊥PQ于E，

∴PE=12PQ，
在Rt△ABD和Rt△PBQ中，
∵sinB=PQ12-t=810，
∴PQ=45(12-t)，
在Rt△PEM和Rt△ABD中，
∵cos∠EPM=PE43t=cosB=610，
∴PE=45t，
又∵PE=12PQ，
∴45t=12×45(12-t)，
∴t=4，
∴当t=4时，点M在线段PQ的垂直平分线上． 
【解析】(1)由平行线的性质可证∠AQM=∠AMQ，得AQ=AM，从而BQ=CM，利用三角函数表示出BQ和CM的长，即可得出t的方程；
(2)分别表示△PDN和△PCM的面积，而y=S△ADC-S△PDN-S△PCM，代入化简即可；
(3)假设存在时间t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的13，得-2524t2+92t+212=13×12×12×8，根据b2-4ac<0，可知不存在；
(4)假设存在时间t，使点M在线段PQ的垂直平分线上，则MP=MQ，过M作ME⊥PQ，则PE=12PQ，利用三角函数分别表示PE和PQ的长，列出方程即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，锐角的三角函数，平行线的性质，等角的余角相等，相等垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解方程等知识，综合性质强，解题的关键是熟练掌握各个知识的性质，结合图形，寻找知识点间的联系与运用，进而推理和计算．