专题03 《勾股定理》选择、填空重点题型分类- 2022-2023学年八年级数学下册拔尖题精选精练（人教版）

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专题03 《勾股定理》选择、填空重点题型分类
专题简介：本份资料专攻《相交线与平行线》中“利用勾股定理测量长度”、“勾股定理和逆定理并用”、“利用勾股定理求线段长度”、“利用勾股定理逆定理判断三角形形状”、“勾股定理与特殊角”选择、填空重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：利用勾股定理测量长度
方法点拨：“知二求一”题型，把实物模型转化为数学模型后，直接运用勾股定理。
1．如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杅的高度为（　　）米．

A．5 B．12 C．13 D．17
【答案】B
【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，
解得，x＝12．
答：旗杆的高度为12米．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，理解题意设未知数列方程是解题的关键．
2．学习勾股定理后，老师布置的课后作业为“利用绳子（绳子足够长）和卷尺，测量学校教学楼的高度”，某数学兴趣小组的做法如下：①将绳子上端固定在教学楼顶部，绳子自由下垂，再垂直向外拉到离教学楼底部3m远处，在绳子与地面的交点处将绳子打结；②将绳子继续往外拉，使打结处离教学楼的距离为6m，此时测得绳结离地面的高度为 1m，则学校教学楼的高度为（　　）
A．11 m B．13 m C．14 m D．15 m
【答案】C
【分析】根据题意画出示意图，设学校教学楼的高度为，可得，，，利用勾股定理可求出．
【详解】解：如图，

设学校教学楼的高度为，则，，，
左图，根据勾股定理得，绳长的平方，
右图，根据勾股定理得，绳长的平方，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
3．如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，
AC＝＝＝80m
所以DE＝AC−AD−EC＝80−20−10＝50m
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将数学知识与生活实际联系起来，是近几年中考重点考点之一．
4．为测量大楼的高度，从距离大楼底部30米处的，有一条陡坡公路，车辆从沿坡度，坡面长13米的斜坡到达后，观测到大楼的顶端的仰角为30°，则大楼的高度为（　　）米．
（精确到0.1米，，）

A．26.0 B．29.2 C．31.1 D．32.2
【答案】B
【分析】过点D作DF⊥AB与点F，过点C作CE⊥DF与点E，通过解直角三角形可求出CE、DE、AF的长，再由AB=AF+BF即可求出结论．
【详解】解：过点D作DF⊥AB与点F，过点C作CE⊥DF与点E，如图所示．

∵CD的坡度i=1：2.4，CD=13，
∴设CE=x，则DE=2.4x，
∴CD=x=13，
∴x=5，
∴CE=5米，DE=12米．
在Rt△ADF中，∠ADF=30°，DF=DE+EF=42，
∴AF=DF•tan∠ADF≈24.2米，
∴AB=AF+BF=29.2米．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确作出辅助线，通过解直角三角形求出AF、CE的值是解题的关键．
5．如图所示，在竖直电线杆上的某一点C处安装固定拉线AC，AB所在的直线在水平地面上，经测量AC=8米，AB=5米，根据题意，可知△ABC是_____三角形，根据___，得BC=___（米） ．

【答案】直角 勾股定理
【分析】根据生活的实际可得： 可得再代入数值计算即可得到答案.
【详解】解：根据生活的实际可得：

是直角三角形，
根据勾股定理有：

故答案为：直角，勾股定理，
【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，掌握“直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方”是解题的关键.
6．如图，小明想要测量学校旗杆AB的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从而测得绳子比旗杆长a米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C处，点C距离旗杆底部b米（），则旗杆AB的高度为__________米（用含a，b的代数式表示）．

【答案】
【分析】设AB=x米，则有AC=（x+a）米，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：设AB=x米，则有AC=（x+a）米，根据勾股定理得：
，
解得：
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．如图，四边形是一块正方形场地，小华和小芳在边上取定一点，测量知，，这块场地的对角线长是________．

【答案】40m
【分析】先根据勾股定理求出BC，故可得到正方形对角线的长度．
【详解】∵，
∴，
∴对角线AC=．
故答案为：40m．
【点睛】此题主要考查利用勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟知勾股定理的运用．
8．如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，他站在离教学楼的处仰望教学楼顶部仰角为．已知小亮的高度是则教学楼的高度约为_______结果精确到．

【答案】18.6
【分析】过点C作CF⊥AB于F得到四边形CDBF是矩形，BF=CD=1.6m，CF=BD=30m，设AF=xm，则AC=2xm，根据勾股定理列式，代入即可求出x，由此得到AB.
【详解】过点C作CF⊥AB于F，则四边形CDBF是矩形，
∴BF=CD=1.6m，CF=BD=30m，
在Rt△ACF中，∠ACF=30°，∴AC=2AF，
设AF=xm，则AC=2xm，
∵,
∴
解得x=，
∴AB=AF+BF=+1.6m，
故答案为：18.6.

【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，矩形的判定及性质，正确理解题意作辅助线得到直角三角形是解题的关键.
9．小刚准备测量一段河水的深度， 他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，当他把竹竿的顶端拉向岸边时，竹竿和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为_______．
【答案】米
【分析】河水的深、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾股定理即可求解．
【详解】如图，在Rt△ABC中，AC=1．5cm．CD=AB-BC=0．5m．
设河深BC=xm，则AB=0．5+x米．
根据勾股定理得出：
∵AC2+BC2=AB2
∴1.52+x2=（x+0.5）2
解得：x=2．


【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，根据勾股定理可以把求线段的长的问题转化为解方程得问题是解题的关键．
考点2：勾股定理和逆定理并用
方法点拨：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；
（2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.
1．如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB、BC两条路可到达公路，经测量BC＝6km，BA＝8km，AC＝10km，现需修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为（　　）

A．4.8km B．9.6km C．2.4km D．5km
【答案】A
【分析】首先利用勾股定理逆定理得到∠ABC＝90°，然后过B作BD⊥AC，垂足为D，确定BD为最短距离，然后利用面积相等求得BD的长．
【详解】解：过B作BD⊥AC，垂足为D，
∵62＋82＝102，
∴BC2＋AB2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
S△ACB＝AB•CB＝AC•BD，
×6×8＝×10×DB，
解得：BD＝4.8，
∴学校B到公路的最短距离为4.8km，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形的面积公式，关键是证明△ABC是直角三角形．
2．一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据（　　）
A．13，10，10 B．13，10，12 C．13，12，12 D．13，10，11
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的三线合一，得底边上的高也是底边上的中线．根据勾股定理知：底边的一半的平方加上高的平方应等于腰的平方，即可得出正确结论．
【详解】解：由题可知，在等腰三角形中，底边的一半、底边上的高以及腰正好构成一个直角三角形，且（）2+122＝132，符合勾股定理．
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
3．如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB、BC两条路可到达公路，经测量BC＝6 km，BA＝8 km，AC＝10 km，现需要修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为____________．

【答案】4.8km
【详解】过B作BD⊥AC，垂足为D，
∵62+82=102，
∴BC2+AB2=AC2，
∴∠ABC=90°，
S△ACB="1/2" AB•CB="1/2" AC•BD，
1/2 ×6×8="1/2" ×10×DB，
解得：BD=4.8，
∴学校B到公路的最短距离为4.8km
4．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地四边形，经测量，，，，，．小区美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地需花_________元．

【答案】3600
【分析】连接AC，根据勾股定理的性质，计算得AC、；根据勾股定理的逆定理，推导得，计算得，从而得四边形面积；结合草坪每平方米100元，通过计算即可得到答案．
【详解】如图，连接AC

∵，，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴四边形面积为：
∵草坪每平方米100元
∴铺满这块空地需花：元，
故答案为：3600．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理，从而完成求解．
考点3：利用勾股定理求线段长度
方法点拨：（1）已知两边求第三边：分两种情况讨论，记得考虑“谁是斜边”；（2）已知一边找另外两边的关系：审题—标注条件—设x表示线段长—确定三角形—根据勾股定理列方程；（3）两个直角三角形共边或者有相等边：利用勾股定理建立桥梁等式
1．在平面直角坐标系中，已知点A（－2，5），点B（1，1），则线段AB的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据题意画出点的位置，然后根据勾股定理计算即可．
【详解】解：的位置如图所示：


过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，
和交于点，
∴，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离，勾股定理，根据题意构建直角三角形，运用勾股定理解题是关键．
2．直角△ABC的两直角边BC＝12，AC＝16，则△ABC的斜边AB的长是（ ）
A．20 B．10 C．9.6 D．8
【答案】A
【解析】
3．已知直角三角形两直角边长分别为5与12，则第三边长为___________
【答案】13
【分析】直接根据勾股定理求解即可.
【详解】∵直角三角形两直角边长分别为5与12，
∴第三边长为：.
故答案为13.
【点睛】本题考查了勾股定理，在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2.也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
4．已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为__________cm　．【答案】
【详解】

连接EB，
∵BD垂直平分EF，
∴ED=EB，
设AE=xcm，则DE=EB=（4﹣x）cm，
在Rt△AEB中，
AE2+AB2=BE2，
即：x2+32=（4﹣x）2，
解得：x=
故答案为cm．
5．学校举行小发明比赛，小刚要做一个直角三角形木架，现有长为30cm和40cm的两根木条，那么第三根木条的长应为_________cm ．
【答案】50或
【详解】解：当第三根木条为斜边时，长为；
当边长为40cm的边为斜边时，则第三根木条为直角边，长为；
综上，第三根木条的长应为50或
故答案为：50或．
6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，斜边AB的垂直平分线DE交边BC于点D，连接AD，线段CD的长为_________．

【答案】．
【解析】∵∠C=90°，AB=5，BC=4，∴AC= =3．
∵AB的垂直平分线DE交边BC于点D，∴BD=AD．
设CD=x，则AD=BD=4-x，在Rt△ACD中， ，解得：．故答案为：．
考点4：利用勾股定理逆定理判断三角形形状
方法点拨：（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.（3）当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
1．已知：k＞1，b=2k，a+c=2k2，ac=k4-1，则以a、b、c为边的三角形（ ）
A．一定是等边三角形
B．一定是等腰三角形
C．一定是直角三角形
D．形状无法确定
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系得出a，b的值，进而得出a2-c2=4k2=b2，即可得出答案．
【详解】解：∵a+c=2k2，ac=k4-1，
∴a，c可以认为是x2-（2k2）x+k4-1=0的两根，
解得：x1=k2-1，x2=k2+1，
∵b=2k，
∴b2=4k2，
不妨令a=k2+1，c=k2-1
于是a2-c2=4k2=b2，
即a2=b2+c2，故为直角三角形．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系以及勾股定理的逆定理，根据已知得出a，c的值是解题关键．
2．在直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点的坐标分别为A（1,2）、B（1,0），C（3,0），保持顶点B、C的位置不动，作关于△ABC的一个（或一组）变换，使三角形ABC经过变换后仍是等腰直角三角形，这样的变换后，除点A（1,2）外满足条件的顶点A的个数还有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【详解】此题考查等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用；根据对称性可知，当在下方关于轴对称时满足，此时，当位于时对应的直角边长还是2，还有当直角边长是时，对应的为所以有五种情况；选C；
3．下列命题：
①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；
②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；
③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】C
【详解】试题分析：本题主要依据勾股定理的逆定理，判定三角形是否为直角三角形．
①正确，∵a2+b2=c2，∴（4a）2+（4b）2=（4c）2，
②错误，应为“如果直角三角形的两直角边是3，4，那么斜边必是5”
③错误，∵122+212≠252，∴不是直角三角形；
④正确，∵b=c，c2+b2=2b2=a2，∴a2：b2：c2=2：1：1，
故选C．
考点：此题主要考查勾股定理的逆定理
点评：解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
4．如果的三边长满足关系式，则的形状是____________
【答案】直角三角形
【解析】本题考查代数式特点和三角形形状的判定．得a+2b-20=0,b-6=0,c-10=0所以a=8,b=6,c=10，，故是直角三角形．
5．三角形三内角的度数之比为1∶2∶3，最大边的长是8cm，则最小边的长是_______cm
【答案】4
【解析】先求出三角，再解直角三角形求边．
解：三角形三内角的度数之比为1：2：3，
则最小的角是30度，最大角是直角，
因而最小边是30°的锐角所对的边，等于斜线的一半是4cm．
故填4cm．
6．已知一个三角形的三边长分别为4，4和，则这个三角形的形状是______________．
【答案】等腰直角三角形
【详解】试题分析：由4=4可以推知该三角形是等腰三角形．根据勾股定理的逆定理可以推知该三角形是直角三角形，则已得到该三角形是等腰直角三角形．
解：∵该三角形的三边长分别为4，4和，
∴4=4，（4）2=42+42，
∴该三角形是等腰直角三角形．
故答案是：等腰直角三角形．
点评：本题考查了等腰直角三角形．解题时，利用了勾股定理的逆定理判定该等腰三角形是直角三角形．
7．已知 ,则以为三边的三角形面积为__．
【答案】30
【详解】试题分析：先根据非负数的性质求得的值，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状，最后根据三角形的面积公式即可求得结果．
由题意得，
，
∴以为三边的三角形为直角三角形，
∴面积为
考点：本题考查的是非负数的性质，直角三角形的判定，直角三角形的面积公式
点评：解答本题的关键是熟练掌握几个非负数的和为0，这几个数均为0.
8．△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足条件：a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状.
解：∵，-------------------①
∴.----------②
∴.---------------------------------------③
∴△ABC为直角三角形.--------------------------④
上述解答过程中，第_______步开始出现错误，应改正为__________________________，
正确答案：△ABC是____________________________________.
【答案】③ 等腰三角形或直角三角形．
【详解】试题分析：把式子a2c2-b2c2=a4-b4变形化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
试题解析：：∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴（a2c2-b2c2）-（a4-b4）=0，
∴c2（a+b）（a-b）-（a+b）（a-b）（a2+b2）=0，
∴（a+b）（a-b）（c2-a2-b2）=0，
∵a+b≠0，
∴a-b=0或c2-a2-b2=0，
所以a=b或c2=a2+b2即它是等腰三角形或直角三角形．
考点: 1.因式分解；2.等腰直角三角形的判定.
考点5：勾股定理与特殊角
方法点拨：解决非直角三角形的求值问题时一般要作垂线构造含特殊角的直角三角形来处理．
1．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（ ）

A．160m B．80m
C．120（－1）m D．120（+1）m
【答案】A
【解析】试题分析：过点A作AD⊥BC，则CD=120m，BD=40m，则BC=CD+BD=160m．
考点：三角形函数的应用．
2．如图．在△ABC中，点D，E分别是边AB, AC的中点．AF上BC，垂足为点F，∠ADE=30°
DF=4，则BF的长为( )

A．4 B．8 C．2 D．4
【答案】D
【详解】

在RT△ABF中,∵∠AFB=90°，AD=DB，DF=4，
∴AB=2DF=8，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABF=30°，
∴AF=12AB=4，
∴BF=.
故选D.
3．如图，韩彬同学从家（记作A）出发向北偏东30°的方向行走了4000米到达超市（记作B），然后再从超市出发向南偏东60°的方向行走3000米到达卢飞同学家（记作C），则韩彬家到卢飞家的距离为（　　）

A．2000米 B．3000米 C．4000米 D．5000米
【答案】D
【详解】如图，连接AC.

依题意得：∠ABC=90°，AB=4000米，BC=3000米，
则由勾股定理，得
AC=(米)故选D.
点睛：本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，关键是得出两船行驶的路程和两船的距离构成的直角三角形，然后根据勾股定理可求解.
4．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路上处距点米．如果火车行驶时，周围米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（ ）

A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【答案】B
【分析】首先过点A作AD⊥MN，求出最短距离AD的长度，然后在MN上去点E、F，是AE=AF=200，求出DE的长度，根据DF=DE得出EF的长度，然后计算出时间.
【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，

∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．
故选B．
5．如图，把两块相同的含角的三角尺如图放置，若cm，则三角尺的最长边长为__________cm．

【答案】
【详解】∵∠ABD=90°，AB=BD，cm，∴AB=BD=6cm，在直角三角形ABC中，∠A=30°，设BC=x，则AC=2x．根据勾股定理，得4x2-x2=108，解得：x=6，则斜边长是12cm
6．如图，两建筑物AB和CD的水平距离为24米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为__________米．（结果保留根号）

【答案】16
【解析】试题分析：延长CD交AM于点M，则AM=24，可根据直角三角形的性质得DM=AM×tan30°=8，同理可得CM=24，因此CD=CM﹣DM=16（米）．

考点：三角函数解
7．如图，四边形ABCD中，连接AC，BD，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，并且AD = 4.5，BD = 7.5，则CD的长为________．

【答案】6
【详解】试题分析：首先以CD为边作等边△CDE，连接AE，利用全等三角形的判定得出△BCD≌△ACE，进而求出DE的长即可．
解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．
∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE．
又∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=90°．
在Rt△ADE中，AE=7.5，AD=4.5，
于是DE==6，
∴CD=DE=6．
故答案为6．

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质．
8．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB=30°，那么点C的坐标是__________．

【答案】（1+2，2）．
【详解】试题分析：根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OB的长度，然后过点C作CE⊥x轴于点E，根据直角三角形的性质求出∠CBE=30°，在Rt△BCE中求出CE、BE的长度，再求出OE的长度，即可得解．
试题解析：∵AB=2，∠OAB=30°，
∴OB=AB=1，
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AB0+∠CBE=90°，
∴∠CBE=∠OAB=30°，
点C作CE⊥x轴于点E，

在Rt△BCE中，CE=BC=×4=2，BE=，
∴OE=OB+BE=1+2，
∴点C的坐标是（1+2，2）．
考点：1.矩形的性质；2.坐标与图形性质．