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第6章图形的相似-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏）
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第6章图形的相似-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏）
一．选择题（共5小题）
1．（2022•连云港）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
2．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
3．（2022•徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C． D．
4．（2022•扬州）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
5．（2022•盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，
步骤：
第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测点的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（ ）
A．40米 B．60米 C．80米 D．100米
二．填空题（共9小题）
6．（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍．
7．（2021•连云港）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则＝ ．
8．（2021•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 ．
9．（2020•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为 ．
10．（2021•镇江）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝ ．
11．（2022•苏州）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为 ．
12．（2021•徐州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且＝＝，△DBE与四边形ADEC的面积的比 ．
13．（2020•南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ．
14．（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则的值为 ．
三．解答题（共12小题）
15．（2021•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．
16．（2022•盐城）如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D、D′分别在边BC、B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若 ，则△ABD∽△A′B′D′．
请从①＝；②＝；③∠BAD＝∠B′A′D′这3个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
17．（2022•无锡）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：△CED∽△BAD；
（2）当DC＝2AD时，求CE的长．
18．（2021•盐城）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝3PA，求的值．
19．（2020•泰州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．
（1）用含x的代数式表示AD的长；
（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．
20．（2020•南京）如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，＝．
（1）当＝＝时，求证△ABC∽△A'B'C'．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
（2）当＝＝时，判断△ABC与△A'B'C′是否相似，并说明理由．
21．（2020•苏州）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
22．（2020•无锡）如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D＝30°，DC＝．
（1）求证：△BOC∽△BCD；
（2）求△BCD的周长．
23．（2021•南通）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？
24．（2021•苏州）如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q．已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．
（1）四边形EBHP的面积 四边形GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；
（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．
25．（2020•宿迁）【感知】如图①，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E在边CD上，∠AEB＝90°，求证：＝．
【探究】如图②，在四边形ABCD中，∠C＝∠ADC＝90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG＝∠AEB＝90°，且＝，连接BG交CD于点H．
求证：BH＝GH．
【拓展】如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC＝180°，且＝，过E作EF交AD于点F，若∠EFA＝∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG＝CG．
26．（2020•徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果＝，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
第6章图形的相似-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏）
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2022•连云港）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
【解答】解：方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，
∵△ABC∽△DEF，
∴＝＝，
∴x＝6，y＝9，
∴△DEF的周长是27；
方式二：∵△ABC∽△DEF，
∴＝，
∴＝，
∴C△DEF＝27；
故选：C．
2．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
【解答】解：由折叠性质可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，
∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，
∴∠FGE+∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，故①正确；
设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG+OC＝3a，
在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE2，
（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，
解得：b＝a，
∴AB＝AD，故②错误；
在Rt△COF中，设OF＝DF＝x，则CF＝2b﹣x＝2a﹣x，
∴x2+（2a）2＝（2a﹣x）2，
解得：x＝a，
∴DF＝×a＝a，2OF＝2×a＝2a，
在Rt△AGE中，GE＝＝a，
∴GE＝DF，OC＝2OF，故③④正确；
无法证明∠FCO＝∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，故⑤错误；
综上，正确的是①③④，
故选：B．
3．（2022•徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
故选：C．
4．（2022•扬州）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【解答】解：∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠ADB，
∴DA平分∠BDE，
∴②符合题意；
∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，
∴△AFE∽△DFC，
∴①符合题意；
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠FAE，
∵△AFE∽△DFC，
∴∠FAE＝∠CDF，
∴∠BAD＝∠CDF，
∴③符合题意；
故选：D．
5．（2022•盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，
步骤：
第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测点的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（ ）
A．40米 B．60米 C．80米 D．100米
【解答】解：观察图形，横向距离大约是汽车的长度的2倍，
∵汽车的长度大约为4米，
∴横向距离大约是8米，
由“跳眼法”的步骤可知，将横向距离乘以10，得到的值约为被测物体离观测点的距离值，
∴汽车到观测点的距离约为80米，
故选：C．
二．填空题（共9小题）
6．（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 1.2 倍．
【解答】解：由题意得，5m被称物＝6m砝码．
∴m被称物：m砝码＝6：5＝1.2．
故答案为：1.2．
7．（2021•连云港）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则＝ ．
【解答】解：如图，∵BE是△ABC的中线，
∴点E是AC的中点，
∴＝，
过点E作EG∥DC交AD于G，
∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，
∴△AGE∽△ADC，
∴，
∴DC＝2GE，
∵BF＝3FE，
∴，
∵GE∥BD，
∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，
∴△GFE∽△DFB，
∴＝＝，
∴，
∴＝，
故答案为：．
8．（2021•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 ．
【解答】解：连接DE．
∵CD＝2BD，CE＝2AE，
∴＝＝2，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵DE∥AB，
∴S△ABE＝S△ABD，
∴S△AEF＝S△BDF，
∴S△AEF＝S△ABD，
∵BD＝BC＝，
∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值＝××4＝，
∴△AEF的面积的最大值＝×＝，
故答案为：
9．（2020•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为 ．
【解答】解：如图，过点D作DF∥AE，
则＝＝，
∵＝，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DO＝DC，
∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，
∴S△ABO＝S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：4×2＝4，
此时△ABO的面积最大为：×4＝．
故答案为：．
10．（2021•镇江）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝ ．
【解答】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
故答案为：．
11．（2022•苏州）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为 ．
【解答】解：如图，设AD交AB′于点Q．设BN＝NB′＝x．
∵＝，
∴可以假设AB＝2k，CB＝3k，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3k，CD＝AB＝2k，∠C＝∠D＝90°，
在Rt△CNB′中，CN2+CB′2＝NB′2，
∴（3k﹣x）2+k2＝x2，
∴x＝k，
∴NB′＝k，CN＝3k﹣k＝k，
由翻折的性质可知∠A′B′N＝∠B＝90°，
∴∠DB′Q+∠CB′N＝90°，∠CB′N+∠CNB′＝90°，
∴∠DB′Q＝∠CNB′，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△DB′Q∽△CNB′，
∴DQ：DB′：QB′＝CB′：CN：NB′＝3：4：5，
∵DB′＝k，
∴DQ＝k，
∵∠DQB′＝∠MQA′，∠D＝∠A′，
∴△DQB′∽△A′QM，
∴A′Q：A′M：QM＝DQ：DB′：QB′＝3：4：5，
设AM＝MA′＝y，
则MQ＝y，
∵DQ+QM+AM＝3k，
∴k+y+y＝3k，
∴y＝k，
∴＝＝＝，
故答案为：．
12．（2021•徐州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且＝＝，△DBE与四边形ADEC的面积的比 ．
【解答】解：∵＝＝，则设AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，
∴＝，＝，
∴＝，
又∠B＝∠B，
∴△DBE∽△ABC．
相似比为，面积比＝＝，
设S△DBE＝4a，则S△ABC＝25a，
∴S四边形ADEC＝25a﹣4a＝21a，
∴S△DBE：S四边形ADEC＝．
故答案为：．
13．（2020•南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ．
【解答】解：∵，
，
，
∴，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
故答案为：．
14．（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则的值为 2 ．
【解答】解：∵BC∥DE，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴AB•DE＝16，
∵AB+DE＝10，
∴AB＝2，DE＝8，
∴，
故答案为：2．
三．解答题（共12小题）
15．（2021•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．
【解答】证明：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBO＝90°，
∴∠PBO﹣∠ABO＝∠ABC﹣∠ABO，
即∠PBA＝∠OBC；
（2）由（1）知，∠PBA＝∠OBC＝∠ACB，
∵∠PBA＝20°，
∴∠OBC＝∠ACB＝20°，
∴∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝20°+20°＝40°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠AOB＝∠ACD，
∵＝，
∴∠CDE＝∠CDB＝∠BAC＝∠BAO，
∴△OAB∽△CDE．
16．（2022•盐城）如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D、D′分别在边BC、B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若 ③（答案不唯一） ，则△ABD∽△A′B′D′．
请从①＝；②＝；③∠BAD＝∠B′A′D′这3个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
【解答】解：③．
理由如下：∵△ACD∽△A′C′D′，
∴∠ADC＝∠A'D'C'，
∴∠ADB＝∠A'D'B'，
又∵∠BAD＝∠B′A′D′，
∴△ABD∽△A'B'D'．
同理，选①也可以．
故答案是：③（答案不唯一）．
17．（2022•无锡）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：△CED∽△BAD；
（2）当DC＝2AD时，求CE的长．
【解答】（1）证明：如图1，
∵∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，
∴△CED∽△BAD；
（2）解：如图2，过点D作DF⊥EC于点F，
∵△ABC是边长为6等边三角形，
∴∠A＝60°，AC＝AB＝6，
∵DC＝2AD，
∴AD＝2，DC＝4，
∵△CED∽△BAD，
∴，
∴EC＝3DE，
∵∠E＝∠A＝60°，DF⊥EC，
∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，
∴DE＝2EF，
设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，
∴FC＝5x，
在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，
∴（x）2+（5x）2＝42，
解得：x＝或﹣（不符合题意，舍去），
∴EC＝6x＝．
18．（2021•盐城）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝3PA，求的值．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵PC2＝PA•PB，
∴，
∵∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴∠PCA＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠PCA+∠OCA＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝3PA，
∴PB＝4PA，OA＝OC＝1.5PA，PO＝2.5PA，
∵OC⊥PC，
∴PC＝＝2PA，
∵△PAC∽△PCB，
∴＝＝＝．
19．（2020•泰州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．
（1）用含x的代数式表示AD的长；
（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．
【解答】解：（1）∵PD∥AB，
∴，
∵AC＝3，BC＝4，CP＝x，
∴，
∴CD＝，
∴AD＝AC﹣CD＝3﹣，
即AD＝；
（2）根据题意得，S＝，
∴当x≥2时，S随x的增大而减小，
∵0＜x＜4，
∴当S随x增大而减小时x的取值范围为2≤x＜4．
20．（2020•南京）如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，＝．
（1）当＝＝时，求证△ABC∽△A'B'C'．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
（2）当＝＝时，判断△ABC与△A'B'C′是否相似，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴＝，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴△ADC∽△A′D′C'，
∴∠A＝∠A′，
∵＝，
∴△ABC∽△A′B′C′．
故答案为：＝＝，∠A＝∠A′．
（2）结论：∴△ABC∽△A′B′C′．
理由：如图，过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
同理，＝＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
同理，＝，
∴＝，即＝，
∴＝，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴△DCE∽△D′C′E′，
∴∠CED＝∠C′E′D′，
∵DE∥BC，
∴∠CED+∠ACB＝180°，
同理，∠C′E′D′+∠A′C′B′＝180°，
∴∠ACB＝∠A′C′B′，
∵＝，
∴△ABC∽△A′B′C′．
21．（2020•苏州）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）∵E是BC的中点，BC＝4，
∴BE＝2，
∵AB＝6，
∴AE＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，
∵△ABE∽△DFA，
∴，
∴．
22．（2020•无锡）如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D＝30°，DC＝．
（1）求证：△BOC∽△BCD；
（2）求△BCD的周长．
【解答】证明：（1）∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴∠BOC＝∠D+∠OCD＝30°+90°＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝30°，
∴∠DCB＝120°＝∠BOC，
又∵∠B＝∠B＝30°，
∴△BOC∽△BCD；
（2）∵∠D＝30°，DC＝，∠OCD＝90°，
∴DC＝OC＝，DO＝2OC，
∴OC＝1＝OB，DO＝2，
∵∠B＝∠D＝30°，
∴DC＝BC＝，
∴△BCD的周长＝CD+BC+DB＝++2+1＝3+2．
23．（2021•南通）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？
【解答】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝9（m），
答：楼高BC是9m．
24．（2021•苏州）如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q．已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．
（1）四边形EBHP的面积 ＝ 四边形GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；
（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵GH∥AB，
∴∠B＝∠GHC＝90°，∠A＝∠PGD＝90°，
∵EF∥AD，
∴∠PGD＝∠HPF＝90°，
∴四边形PFCH为矩形，
同理可得，四边形AGPE、GDFP、EPHB均为矩形，
∵AG＝a，AE＝b，AG：GD＝AE：EB＝1：2，
∴PE＝a，PG＝b，GD＝PF＝2a，EB＝PH＝2b，
∴四边形EBHP的面积＝PE•PH＝2ab，四边形GPFD的面积＝PG•PF＝2ab，
故答案为：＝；
（2）∵PP1＝PG，PP2＝PE，
由（1）知PE•PH＝2ab，PG•PF＝2ab，
∴PP2•PH＝PP1•PF，
即＝，
又∵∠FPP2＝∠HPP1，
∴△PP2F∽△PP1H，
∴∠PFP2＝∠PHP1，
∵∠P1QF＝∠P2QH，
∴△P1FQ∽△P2HQ；
（3）连接P1P2、FH，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠P1PP2＝∠C＝90°，
∴△PP1P2∽△CFH，
∴＝＝，＝（）2＝，
由（2）中△P1FQ∽△P2HQ，得＝，
∴＝，
∵∠P1QP2＝∠FQH，
∴△P1QP2∽△FQH，
∴＝（）2＝，
∵S1＝+，S2＝S△CFH+S△FQH，
∴S1＝S△CFH+S△FQH＝S2，
∴＝．
25．（2020•宿迁）【感知】如图①，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E在边CD上，∠AEB＝90°，求证：＝．
【探究】如图②，在四边形ABCD中，∠C＝∠ADC＝90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG＝∠AEB＝90°，且＝，连接BG交CD于点H．
求证：BH＝GH．
【拓展】如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC＝180°，且＝，过E作EF交AD于点F，若∠EFA＝∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG＝CG．
【解答】【感知】证明：∵∠C＝∠D＝∠AEB＝90°，
∴∠BEC+∠AED＝∠AED+∠EAD＝90°，
∴∠BEC＝∠EAD，
∴Rt△AED∽Rt△EBC，
∴．
【探究】证明：如图1，过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知，
∵，
∴，
∴BC＝GM，
又∵∠C＝∠GMH＝90°，∠CHB＝∠MHG，
∴△BCH≌△GMH（AAS），
∴BH＝GH，
【拓展】证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME＝∠AFE，
过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N＝∠BMG，
∵∠EAF+∠AFE+∠AEF＝∠AEF+∠AEB+∠BEM＝180°，∠EFA＝∠AEB，
∴∠EAF＝∠BEM，
∴△AEF∽△EBM，
∴，
∵∠AEB+∠DEC＝180°，∠EFA+∠DFE＝180°，
而∠EFA＝∠AEB，
∴∠CED＝∠EFD，
∵∠BMG+∠BME＝180°，
∴∠N＝∠EFD，
∵∠EFD+∠EDF+∠FED＝∠FED+∠DEC+∠CEN＝180°，
∴∠EDF＝∠CEN，
∴△DEF∽△ECN，
∴，
又∵，
∴，
∴BM＝CN，
又∵∠N＝∠BMG，∠BGM＝∠CGN，
∴△BGM≌△CGN（AAS），
∴BG＝CG．
26．（2020•徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果＝，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 （10） cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【解答】解：（1）∵点B为线段AC的黄金分割点，AC＝20cm，
∴AB＝×20＝（10﹣10）cm．
故答案为：（10﹣10）．
（2）延长EA，CG交于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴DM∥BC，
∴∠EMC＝∠BCG，
由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴EM＝EC，
∵DE＝10，DC＝20，
∴EC＝＝＝10，
∴EM＝10，
∴DM＝10+10，
∴tan∠DMC＝＝．
∴tan∠BCG＝，
即，
∵AB＝BC，
∴，
∴G是AB的黄金分割点；
（3）当BP＝BC时，满足题意．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，
∵BE⊥CF，
∴∠ABE+∠CFB＝90°，
又∵∠BCF+∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF＝AE，
∵AD∥CP，
∴△AEF∽△BPF，
∴，
当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时，
∵AE＞DE，
∴，
∵BF＝AE，AB＝BC，
∴，
∴，
∴BP＝BC．
第6章图形的相似-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏）
一．选择题（共5小题）
1．（2022•连云港）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
2．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
3．（2022•徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C． D．
4．（2022•扬州）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
5．（2022•盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，
步骤：
第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测点的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（ ）
A．40米 B．60米 C．80米 D．100米
二．填空题（共9小题）
6．（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍．
7．（2021•连云港）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则＝ ．
8．（2021•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 ．
9．（2020•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为 ．
10．（2021•镇江）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝ ．
11．（2022•苏州）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为 ．
12．（2021•徐州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且＝＝，△DBE与四边形ADEC的面积的比 ．
13．（2020•南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ．
14．（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则的值为 ．
三．解答题（共12小题）
15．（2021•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．
16．（2022•盐城）如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D、D′分别在边BC、B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若 ，则△ABD∽△A′B′D′．
请从①＝；②＝；③∠BAD＝∠B′A′D′这3个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
17．（2022•无锡）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：△CED∽△BAD；
（2）当DC＝2AD时，求CE的长．
18．（2021•盐城）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝3PA，求的值．
19．（2020•泰州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．
（1）用含x的代数式表示AD的长；
（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．
20．（2020•南京）如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，＝．
（1）当＝＝时，求证△ABC∽△A'B'C'．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
（2）当＝＝时，判断△ABC与△A'B'C′是否相似，并说明理由．
21．（2020•苏州）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
22．（2020•无锡）如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D＝30°，DC＝．
（1）求证：△BOC∽△BCD；
（2）求△BCD的周长．
23．（2021•南通）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？
24．（2021•苏州）如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q．已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．
（1）四边形EBHP的面积 四边形GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；
（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．
25．（2020•宿迁）【感知】如图①，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E在边CD上，∠AEB＝90°，求证：＝．
【探究】如图②，在四边形ABCD中，∠C＝∠ADC＝90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG＝∠AEB＝90°，且＝，连接BG交CD于点H．
求证：BH＝GH．
【拓展】如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC＝180°，且＝，过E作EF交AD于点F，若∠EFA＝∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG＝CG．
26．（2020•徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果＝，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
第6章图形的相似-【苏科版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（江苏）
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2022•连云港）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
【解答】解：方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，
∵△ABC∽△DEF，
∴＝＝，
∴x＝6，y＝9，
∴△DEF的周长是27；
方式二：∵△ABC∽△DEF，
∴＝，
∴＝，
∴C△DEF＝27；
故选：C．
2．（2022•连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB＝AD；③GE＝DF；④OC＝2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
【解答】解：由折叠性质可得：DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，
∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，
∴∠FGE+∠GEC＝180°，
∴GF∥CE，故①正确；
设AD＝2a，AB＝2b，则DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，
∴CG＝OG+OC＝3a，
在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE2，
（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，
解得：b＝a，
∴AB＝AD，故②错误；
在Rt△COF中，设OF＝DF＝x，则CF＝2b﹣x＝2a﹣x，
∴x2+（2a）2＝（2a﹣x）2，
解得：x＝a，
∴DF＝×a＝a，2OF＝2×a＝2a，
在Rt△AGE中，GE＝＝a，
∴GE＝DF，OC＝2OF，故③④正确；
无法证明∠FCO＝∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，故⑤错误；
综上，正确的是①③④，
故选：B．
3．（2022•徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
故选：C．
4．（2022•扬州）如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【解答】解：∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠ADB，
∴DA平分∠BDE，
∴②符合题意；
∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，
∴△AFE∽△DFC，
∴①符合题意；
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠FAE，
∵△AFE∽△DFC，
∴∠FAE＝∠CDF，
∴∠BAD＝∠CDF，
∴③符合题意；
故选：D．
5．（2022•盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，
步骤：
第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测点的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（ ）
A．40米 B．60米 C．80米 D．100米
【解答】解：观察图形，横向距离大约是汽车的长度的2倍，
∵汽车的长度大约为4米，
∴横向距离大约是8米，
由“跳眼法”的步骤可知，将横向距离乘以10，得到的值约为被测物体离观测点的距离值，
∴汽车到观测点的距离约为80米，
故选：C．
二．填空题（共9小题）
6．（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 1.2 倍．
【解答】解：由题意得，5m被称物＝6m砝码．
∴m被称物：m砝码＝6：5＝1.2．
故答案为：1.2．
7．（2021•连云港）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则＝ ．
【解答】解：如图，∵BE是△ABC的中线，
∴点E是AC的中点，
∴＝，
过点E作EG∥DC交AD于G，
∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，
∴△AGE∽△ADC，
∴，
∴DC＝2GE，
∵BF＝3FE，
∴，
∵GE∥BD，
∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，
∴△GFE∽△DFB，
∴＝＝，
∴，
∴＝，
故答案为：．
8．（2021•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 ．
【解答】解：连接DE．
∵CD＝2BD，CE＝2AE，
∴＝＝2，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵DE∥AB，
∴S△ABE＝S△ABD，
∴S△AEF＝S△BDF，
∴S△AEF＝S△ABD，
∵BD＝BC＝，
∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值＝××4＝，
∴△AEF的面积的最大值＝×＝，
故答案为：
9．（2020•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为 ．
【解答】解：如图，过点D作DF∥AE，
则＝＝，
∵＝，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DO＝DC，
∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，
∴S△ABO＝S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：4×2＝4，
此时△ABO的面积最大为：×4＝．
故答案为：．
10．（2021•镇江）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝ ．
【解答】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
故答案为：．
11．（2022•苏州）如图，在矩形ABCD中，＝．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N．若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则的值为 ．
【解答】解：如图，设AD交AB′于点Q．设BN＝NB′＝x．
∵＝，
∴可以假设AB＝2k，CB＝3k，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3k，CD＝AB＝2k，∠C＝∠D＝90°，
在Rt△CNB′中，CN2+CB′2＝NB′2，
∴（3k﹣x）2+k2＝x2，
∴x＝k，
∴NB′＝k，CN＝3k﹣k＝k，
由翻折的性质可知∠A′B′N＝∠B＝90°，
∴∠DB′Q+∠CB′N＝90°，∠CB′N+∠CNB′＝90°，
∴∠DB′Q＝∠CNB′，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△DB′Q∽△CNB′，
∴DQ：DB′：QB′＝CB′：CN：NB′＝3：4：5，
∵DB′＝k，
∴DQ＝k，
∵∠DQB′＝∠MQA′，∠D＝∠A′，
∴△DQB′∽△A′QM，
∴A′Q：A′M：QM＝DQ：DB′：QB′＝3：4：5，
设AM＝MA′＝y，
则MQ＝y，
∵DQ+QM+AM＝3k，
∴k+y+y＝3k，
∴y＝k，
∴＝＝＝，
故答案为：．
12．（2021•徐州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且＝＝，△DBE与四边形ADEC的面积的比 ．
【解答】解：∵＝＝，则设AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，
∴＝，＝，
∴＝，
又∠B＝∠B，
∴△DBE∽△ABC．
相似比为，面积比＝＝，
设S△DBE＝4a，则S△ABC＝25a，
∴S四边形ADEC＝25a﹣4a＝21a，
∴S△DBE：S四边形ADEC＝．
故答案为：．
13．（2020•南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ．
【解答】解：∵，
，
，
∴，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
故答案为：．
14．（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则的值为 2 ．
【解答】解：∵BC∥DE，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴AB•DE＝16，
∵AB+DE＝10，
∴AB＝2，DE＝8，
∴，
故答案为：2．
三．解答题（共12小题）
15．（2021•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．
【解答】证明：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBO＝90°，
∴∠PBO﹣∠ABO＝∠ABC﹣∠ABO，
即∠PBA＝∠OBC；
（2）由（1）知，∠PBA＝∠OBC＝∠ACB，
∵∠PBA＝20°，
∴∠OBC＝∠ACB＝20°，
∴∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝20°+20°＝40°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠AOB＝∠ACD，
∵＝，
∴∠CDE＝∠CDB＝∠BAC＝∠BAO，
∴△OAB∽△CDE．
16．（2022•盐城）如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D、D′分别在边BC、B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若 ③（答案不唯一） ，则△ABD∽△A′B′D′．
请从①＝；②＝；③∠BAD＝∠B′A′D′这3个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
【解答】解：③．
理由如下：∵△ACD∽△A′C′D′，
∴∠ADC＝∠A'D'C'，
∴∠ADB＝∠A'D'B'，
又∵∠BAD＝∠B′A′D′，
∴△ABD∽△A'B'D'．
同理，选①也可以．
故答案是：③（答案不唯一）．
17．（2022•无锡）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：△CED∽△BAD；
（2）当DC＝2AD时，求CE的长．
【解答】（1）证明：如图1，
∵∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，
∴△CED∽△BAD；
（2）解：如图2，过点D作DF⊥EC于点F，
∵△ABC是边长为6等边三角形，
∴∠A＝60°，AC＝AB＝6，
∵DC＝2AD，
∴AD＝2，DC＝4，
∵△CED∽△BAD，
∴，
∴EC＝3DE，
∵∠E＝∠A＝60°，DF⊥EC，
∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，
∴DE＝2EF，
设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，
∴FC＝5x，
在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，
∴（x）2+（5x）2＝42，
解得：x＝或﹣（不符合题意，舍去），
∴EC＝6x＝．
18．（2021•盐城）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝3PA，求的值．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵PC2＝PA•PB，
∴，
∵∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴∠PCA＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠PCA+∠OCA＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝3PA，
∴PB＝4PA，OA＝OC＝1.5PA，PO＝2.5PA，
∵OC⊥PC，
∴PC＝＝2PA，
∵△PAC∽△PCB，
∴＝＝＝．
19．（2020•泰州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．
（1）用含x的代数式表示AD的长；
（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．
【解答】解：（1）∵PD∥AB，
∴，
∵AC＝3，BC＝4，CP＝x，
∴，
∴CD＝，
∴AD＝AC﹣CD＝3﹣，
即AD＝；
（2）根据题意得，S＝，
∴当x≥2时，S随x的增大而减小，
∵0＜x＜4，
∴当S随x增大而减小时x的取值范围为2≤x＜4．
20．（2020•南京）如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，＝．
（1）当＝＝时，求证△ABC∽△A'B'C'．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
（2）当＝＝时，判断△ABC与△A'B'C′是否相似，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴＝，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴△ADC∽△A′D′C'，
∴∠A＝∠A′，
∵＝，
∴△ABC∽△A′B′C′．
故答案为：＝＝，∠A＝∠A′．
（2）结论：∴△ABC∽△A′B′C′．
理由：如图，过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
同理，＝＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
同理，＝，
∴＝，即＝，
∴＝，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴△DCE∽△D′C′E′，
∴∠CED＝∠C′E′D′，
∵DE∥BC，
∴∠CED+∠ACB＝180°，
同理，∠C′E′D′+∠A′C′B′＝180°，
∴∠ACB＝∠A′C′B′，
∵＝，
∴△ABC∽△A′B′C′．
21．（2020•苏州）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）∵E是BC的中点，BC＝4，
∴BE＝2，
∵AB＝6，
∴AE＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，
∵△ABE∽△DFA，
∴，
∴．
22．（2020•无锡）如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D＝30°，DC＝．
（1）求证：△BOC∽△BCD；
（2）求△BCD的周长．
【解答】证明：（1）∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴∠BOC＝∠D+∠OCD＝30°+90°＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝30°，
∴∠DCB＝120°＝∠BOC，
又∵∠B＝∠B＝30°，
∴△BOC∽△BCD；
（2）∵∠D＝30°，DC＝，∠OCD＝90°，
∴DC＝OC＝，DO＝2OC，
∴OC＝1＝OB，DO＝2，
∵∠B＝∠D＝30°，
∴DC＝BC＝，
∴△BCD的周长＝CD+BC+DB＝++2+1＝3+2．
23．（2021•南通）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？
【解答】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝9（m），
答：楼高BC是9m．
24．（2021•苏州）如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q．已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．
（1）四边形EBHP的面积 ＝ 四边形GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）
（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；
（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵GH∥AB，
∴∠B＝∠GHC＝90°，∠A＝∠PGD＝90°，
∵EF∥AD，
∴∠PGD＝∠HPF＝90°，
∴四边形PFCH为矩形，
同理可得，四边形AGPE、GDFP、EPHB均为矩形，
∵AG＝a，AE＝b，AG：GD＝AE：EB＝1：2，
∴PE＝a，PG＝b，GD＝PF＝2a，EB＝PH＝2b，
∴四边形EBHP的面积＝PE•PH＝2ab，四边形GPFD的面积＝PG•PF＝2ab，
故答案为：＝；
（2）∵PP1＝PG，PP2＝PE，
由（1）知PE•PH＝2ab，PG•PF＝2ab，
∴PP2•PH＝PP1•PF，
即＝，
又∵∠FPP2＝∠HPP1，
∴△PP2F∽△PP1H，
∴∠PFP2＝∠PHP1，
∵∠P1QF＝∠P2QH，
∴△P1FQ∽△P2HQ；
（3）连接P1P2、FH，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠P1PP2＝∠C＝90°，
∴△PP1P2∽△CFH，
∴＝＝，＝（）2＝，
由（2）中△P1FQ∽△P2HQ，得＝，
∴＝，
∵∠P1QP2＝∠FQH，
∴△P1QP2∽△FQH，
∴＝（）2＝，
∵S1＝+，S2＝S△CFH+S△FQH，
∴S1＝S△CFH+S△FQH＝S2，
∴＝．
25．（2020•宿迁）【感知】如图①，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E在边CD上，∠AEB＝90°，求证：＝．
【探究】如图②，在四边形ABCD中，∠C＝∠ADC＝90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG＝∠AEB＝90°，且＝，连接BG交CD于点H．
求证：BH＝GH．
【拓展】如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC＝180°，且＝，过E作EF交AD于点F，若∠EFA＝∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG＝CG．
【解答】【感知】证明：∵∠C＝∠D＝∠AEB＝90°，
∴∠BEC+∠AED＝∠AED+∠EAD＝90°，
∴∠BEC＝∠EAD，
∴Rt△AED∽Rt△EBC，
∴．
【探究】证明：如图1，过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知，
∵，
∴，
∴BC＝GM，
又∵∠C＝∠GMH＝90°，∠CHB＝∠MHG，
∴△BCH≌△GMH（AAS），
∴BH＝GH，
【拓展】证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME＝∠AFE，
过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N＝∠BMG，
∵∠EAF+∠AFE+∠AEF＝∠AEF+∠AEB+∠BEM＝180°，∠EFA＝∠AEB，
∴∠EAF＝∠BEM，
∴△AEF∽△EBM，
∴，
∵∠AEB+∠DEC＝180°，∠EFA+∠DFE＝180°，
而∠EFA＝∠AEB，
∴∠CED＝∠EFD，
∵∠BMG+∠BME＝180°，
∴∠N＝∠EFD，
∵∠EFD+∠EDF+∠FED＝∠FED+∠DEC+∠CEN＝180°，
∴∠EDF＝∠CEN，
∴△DEF∽△ECN，
∴，
又∵，
∴，
∴BM＝CN，
又∵∠N＝∠BMG，∠BGM＝∠CGN，
∴△BGM≌△CGN（AAS），
∴BG＝CG．
26．（2020•徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果＝，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 （10） cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【解答】解：（1）∵点B为线段AC的黄金分割点，AC＝20cm，
∴AB＝×20＝（10﹣10）cm．
故答案为：（10﹣10）．
（2）延长EA，CG交于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴DM∥BC，
∴∠EMC＝∠BCG，
由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴EM＝EC，
∵DE＝10，DC＝20，
∴EC＝＝＝10，
∴EM＝10，
∴DM＝10+10，
∴tan∠DMC＝＝．
∴tan∠BCG＝，
即，
∵AB＝BC，
∴，
∴G是AB的黄金分割点；
（3）当BP＝BC时，满足题意．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，
∵BE⊥CF，
∴∠ABE+∠CFB＝90°，
又∵∠BCF+∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF＝AE，
∵AD∥CP，
∴△AEF∽△BPF，
∴，
当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时，
∵AE＞DE，
∴，
∵BF＝AE，AB＝BC，
∴，
∴，
∴BP＝BC．
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