专题08 认识一元二次方程测试题（重难题型）- 2022-2023学年九年级数学上册《基础题型+重难题型》高分突破系列（北师大版）

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专题08 认识一元二次方程（重难题型）
1．若a使得关于x的分式方程 有正整数解，且方程有解,则满足条件的所有整数a的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
先解分式方程，求得a的值，再由方程有解得a的取值范围，则可求得a的值，可求得答案．
【详解】
解分式方程可得x=4-，x≠2，
∵a使得关于x的分式方程有正整数解，
∴a的值为0、2、6，
方程，
当a=0时，方程有实数解，满足条件，
当a≠0时，则有△≥0，即16+8a≥0，解得a≥-2且a≠0，
∴满足条件的a的值为-2，0、2、6，共4个，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查方程的解，求得a的整数值是解题的关键．
2．若是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2020 B． C．2019 D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根的定义得到a2-1=a，再把变形为-a（a2-1）+a+2020，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
∵a是方程的一个根，
∴a2-a-1=0，即a2-1=a，a2-a=1
∴
=
=-1+2020
=2019．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解以及整体代入思想．
3．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．2
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的定义得出m-1≠0，m2+1=2，求出m的值即可．
【详解】
∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m2+1=2且m-1≠0，
解得：m=-1，
故选：B．
【点睛】
本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，且二次项系数不为0．
4．已知是关于的一元二次方程的解，则等于（ ）
A．1 B．-2 C．-1 D．2
【答案】C
【分析】
方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把x=-1代入方程就得到一个关于m+n的方程，就可以求出m+n的值．
【详解】
将x=1代入方程式得1+m+n=0，
解得m+n=-1．
故选：C．
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，解题关键在于把求未知系数的问题转化为解方程的问题．
5．设m，n是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先分和两种情况解方程，得到m，n的值，然后再代入求出值即可.
【详解】
当时，原方程可转化为，
解得，，（舍去）
当时，原方程可转化为，
解得，，（舍去）
所以，方程的两个实数根m，n的值分别是，，
∴.
故选：B.
【点睛】
此题主要考查了解一元二次方程，注意分类讨论是解此题的关键.
6. a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程根的定义得到a2+a＝1，再把﹣2a2﹣2a+2020变形为﹣2（a2+a）+2020，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，
∴a2+a﹣1＝0，即a2+a＝1，
∴﹣2a2﹣2a+2020＝﹣2（a2+a）+2020＝﹣2×1+2020＝2018．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，了解概念是关键
7．已知m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2020﹣m2+3m的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2019 D．-2020
【答案】B
【分析】
利用一元二次方程的解的定义得到m2-3m=-1，再把2020﹣m2+3m变形为2020﹣（m2-3m），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵m为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根．
∴m2-3m+1=0，
即m2-3m=-1，
∴2020﹣m2+3m =2020﹣（m2-3m）=2020-（-1）=2020+1=2021．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．已知是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C．≥3 D．＜3
【答案】B
【分析】
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答．
【详解】
解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
此题考查一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．
9．已知是方程的一个根，则代数式的值应在（ ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
【答案】A
【分析】
先依据一元二次方程的定义得到a的代数式的值整体代入，再对估算，从而可得代数式的取值范围．
【详解】
解：∵是方程的一个根，
∴，即，
∴原式=，
∵，
∴，
∴，即的值在4和5之间，
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解得定义，估算．掌握整体代入法是解题关键．
10．若关于的方程的一个根是，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据方程根的定义，回代原方程中，解关于a的方程求解即可.
【详解】
∵的方程的一个根是，
∴，
解得 a=，
故选C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根，熟记根的定义是解题关键.
11．已知是一元二次方程的一个根，则的值是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据是一元二次方程的一个根，得到，从而得，将代入到原式，通过计算，即可得到答案．
【详解】
∵是一元二次方程的一个根
∴
∴
∴



故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程、整式运算、分式运算的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、整式和分式运算的性质，从而完成求解．
12．若a是方程的一个根，则的值为（　　　）
A．2018 B． C．2019 D．
【答案】A
【分析】
把x=a代入，得，代入，即可求解．
【详解】
∵a是方程的一个根，
∴，即：，
∴，
故选A
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解以及代数式求值，用较低次幂代数式替换较高次幂代数式，进行降幂，是解题的关键．
13．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【分析】
利用一元二次方程定义进行解答即可．
【详解】
A、当a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C、不是整式方程，故此选项不合题意；
D、是一元二次方程，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
14．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则﹣a﹣2b＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
【答案】B
【分析】
将x＝1代入原方程即可求出（a+2b）的值．
【详解】
解：将x＝1代入原方程可得：12+a+2b＝0，
∴a+2b＝﹣1，
∴﹣a﹣2b＝﹣（a+2b）＝1，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念．
15．下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的定义即可解答．
【详解】
解：①ax2+bx+c=0当a=0不是一元二次方程；
②3（x-9）2-（x+1）2=1是一元二次方程；
③x2＋＋5＝0是分式方程；
④x2＋5x3﹣6＝0是一元三次方程；
⑤3x2=3（x-2）2是一元一次方程；
⑥12x-10=0是一元一次方程．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
16．是关于x的一元二次方程的解，则（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-6
【答案】A
【分析】
根据方程的解的定义，将代入可得，然后利用整体代入法计算出的值．
【详解】
解：把代入得，
，
，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，掌握方程的解的定义是解答此题的关键．
17．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用一元二次方程定义进行解答即可．
【详解】
A.含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B.当a=0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C.由已知方程得到：x²+x-3=0，该方程是一元二次方程，故此选项符合题意；
D.含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
18．若是方程的根，则的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．2019 D．2018
【答案】B
【分析】
利用一元二次方程根的定义，代入变形计算即可．
【详解】
∵是方程的根，
∴，
∴，
∴=2021，
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义，熟练把方程的根转化为所含字母的一元二次方程是解题的关键．
19．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2＋bx＋c＝0 B．
C．x2＋2x＝y2－1 D．3（x＋1）2＝2（x＋1）
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，含有一个未知数；
【详解】
A、当a=0时，不是一元二次方程，故A错误；
B、 ，不是整式方程，故B错误；
C、 ，含有两个未知数，故C错误；
D、 是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，正确理解一元二次方程的概念是解题的关键．
20．是关于的一元二次方程的解，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
把代入方程，得到a与b的式子，整体代入即可．
【详解】
解：把代入得，
，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，解题关键是明确方程解的意义，树立整体代入思想．
21．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义解答即可．
【详解】
A、是一元一次方程，不符合题意；
B、是二元一次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、是二元二次方程，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查一元二次方程，熟记定义是解题的关键．
22．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答.
【详解】
符合一元二次方程定义的是，
故选：D.
【点睛】
此题考查一元二次方程的定义，熟记定义，掌握一元二次方程的构成特点是解题的关键.
23．关于的方程是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的定义可得=2，且a+1≠0，解方程即可；．
【详解】
解：由题意得=2，且a+1≠0，，
解得：a=±1，
因为一元二次方程的系数不为0，即a+1≠0，所以a=1，
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，关键是注意一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
24．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ）
A．2020 B． C．-2020 D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】
∵，，a+c=0
∴，
∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0，
∴，，
∴，，
∵是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
即是方程的一个根
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念．
25．若是关于方程的两个实数根，则实数的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根得到（a-m）（a-n）=-1＜0，进而判断出m＜a＜n，同理判断出m＜b＜n，即可得出结论．
【详解】
解：∵a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根，
∴（a-m）（a-n）+1=0，
∴（a-m）（a-n）=-1＜0，
∵m＜n，
∴m＜a＜n，
同理：m＜b＜n，
∵a＜b，
∴m＜a＜b＜n．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解的定义，不等式的性质，判断出（a-m）（a-n）＜0是解本题的关键．
26．若关于的方程的解为，则关于的方程的解为（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【分析】
根据方程的解的定义，可知：，解关于m的一元二次方程，即可求解．
【详解】
∵关于的方程的解为，
∴对于方程，，
∴，
故选C．
【点睛】
本题主要考查方程的解的定义，掌握方程的解的定义以及解一元二次方程的方法，是解题的关键．
27．关于的方程必有一个根为（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
【答案】A
【解析】
【分析】
分别把，，，代入中，利用一元二次方程的解，当为任意值时，则对应的的值一定为方程的解.
【详解】
解：A、当是，，所以方程必有一个根为1，所以A选项正确；
B、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以B选项错误；
C、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以C选项错误；
D、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以D选项错误.故选：A
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根，将选项分别代入方程求解是解题的关键.
28．已知4是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．7或 C．或 D．
【答案】C
【分析】
把x=4代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
【详解】
解：把x=4代入方程得16-4（m+1）+2m=0，
解得m=6，
则原方程为x2-7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系．
29．方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠±l B．m≥-l且m≠1
C．m≥-l D．m＞-1且m≠1
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得．
【详解】
∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
解得，
由有意义得，
解得：，
∴且，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
30．若关于的方程有一个根为-2，则的值是（ ）
A．4 B．-2 C．-3 D．-4
【答案】A
【分析】
把方程的根-2代入原方程，可以得到关于a的方程，解方程即可得到a的值．
【详解】
解：把方程的根-2代入原方程可得：
，
解之得：a=4，
故选A ．
【点睛】
本题考查一元二次方程与一元一次方程的综合应用，熟练掌握一元二次方程根的意义是解题关键．
31．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】
A选项：时，方程就不是二次方程，故A错误；
B选项：x在分母上，不满足方程左右两边均为整式的条件，故B错误；
C选项：整理得：，符合一元二次方程的定义，故C正确；
D选项：整理得：，故D错误．
综上所述．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
32．若m是方程的一个根，设，，则p与q的大小关系为（ ）
A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．与c的取值有关
【答案】A
【分析】
结合m是方程的一个根，计算p-q的值即可解决问题．
【详解】
解：∵m是方程的一个根，
∴
∵，，
∴，
∴p＜q
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解以及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解的应用是解答此题的关键．
33．若是关于的方程的一个根，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
利用一元二次方程的解的定义，将x=1代入关于x的方程x2+x+a=0，然后解关于a的方程即可．
【详解】
解：根据题意，得当x=1时，1+1+a=0，
解得，a=-2；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，即一元二次方程的根，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=1代入原方程即可求得a的值．
34．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为________．
【答案】-1．
【分析】
把代入方程，转化为关于a的一元二次方程，求得a值，结合二次项系数不能为零，确定结果即可．
【详解】
∵一元二次方程有一个根为，
∴
∴a=1或a=-1，
∵方程是一元二次方程，
∴a-1≠0，
∴a=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义，解法，熟练理解定义，确保二次项系数不为零是解题的一个陷阱，要注意．
35．若m是方程2x2-3x﹣1＝0的根，则式子6m-4m2+2023的值为_____．
【答案】2021
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，将x=m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．
【详解】
解：把x=m代入2x2-3x-1=0，得
2m2-3m-1=0，
则2m2-3m=1．
所以6m-4m2+2023=-2（2m2-3m）+2023=-2+2023=2021．
故答案为：2021．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
36．若关于x的方程x2－3x＋a＝0有一个解是2，则3а+1的值是____________．
【答案】7
【分析】
将x=2代入方程求出a=2，代入代数式求值即可．
【详解】
解：将x=2代入方程，得4-6+a=0，
解得a=2，
∴3a+1=6+1=7，
故答案为：7．
【点睛】
此题考查方程的解，已知字母的值求代数式的值，正确理解方程的解是解题的关键．
37．一元二次方程有一个根为1，则 __________．
【答案】1
【分析】
把x=1代入方程，得到a+1-2=0，解方程即可．
【详解】
∵一元二次方程有一个根为1，
∴a+1-2=0，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的定义，代入转化为ａ的方程是解题的关键．
38．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则2020﹣6m2+9m的值为_____．
【答案】2017
【分析】
把m代入原方程得到2﹣3m＝1，再把要求值的算式变形成含有的形式后把 代入即可得解．
【详解】
解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴2m2﹣3m﹣1＝0，
即2m2﹣3m＝1，
∴2020﹣6m2+9m＝2020﹣3（2m2﹣3m）＝2020﹣3×1＝2017．
故答案为2017．
【点睛】
本题考查整式的化简求值与一元二次方程的综合应用，根据一元二次方程解的意义求得要求值的整式变形后含有的已知算式的值是解题关键．
39．已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值．
【答案】
【详解】
解：∵实数a是一元二次方程的一个根，
∴．
∴，．
∴．
40．已知：P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）
（1）化简P；
（2）若a为方程x2+x﹣＝0的解，求P的值．
【答案】（1）2a2+3a+1；（2）6
【分析】
（1）通过去括号，合并同类项，即可得到答案；
（2）把原方程整理得2x2+3x﹣5＝0，再根据解的定义得到2a2+3a=5，进而即可求解．
【详解】
解：（1）P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）
=3a2+3a-a2+1
=2a2+3a+1；
（2）x2+x﹣＝0，
整理得：2x2+3x﹣5＝0，
∵a为方程x2+x﹣＝0的解，
∴2a2+3a﹣5＝0，即：2a2+3a=5，
∴P=2a2+3a+1=5+1=6．
【点睛】
本题主要考查整式的化简，一元二次方程的的解的定义，掌握整体代入思想方法，是解题的关键．
41．关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是3，求它的另一个根和k的值．
【答案】它的另一个根是﹣2，k的值为﹣1
【分析】
先设它的另一个根是a，根据根与系数的关系可得3a＝﹣6，解可求a，再把x＝3代入方程易求k．
【详解】
解：设它的另一个根是a，则
3a＝﹣6，
解得：a＝﹣2，
把x＝3代入方程，得
9+3k﹣6＝0，
解得：k＝﹣1．
∴它的另一个根是﹣2，k的值为﹣1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系进行解题．
42．已知m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）的值．
【答案】3.
【分析】
把x＝m代入方程得：m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1，再整体代入原式＝m2﹣6m+9+m2﹣4＝2（m2﹣3m）+5可得．
【详解】
解：∵m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1，
∴（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）＝m2﹣6m+9+m2﹣4＝2（m2﹣3m）+5＝3．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程，已知方程的根则代入满足方程.
43．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣m＝0的常数项为0，则m的值为多少．
【答案】0
【分析】
常数项为零即m2﹣m＝0，再根据二次项系数不等于0，即可求得m的值．
【详解】
解：根据题意得：m2﹣m＝0，且m﹣1≠0，
解得：m＝0，
即m的值为0．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
44．如果方程与方程有且只有一个公共根，求a的值．
【答案】-2
【分析】
有且只有一个公共根，建立方程便可求解了．
【详解】
解：∵有且只有一个公共根
∴
∴
∵当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1，
∴
∴
当时，代入第一个方程可得
1-a+1=0
解得：
【点睛】
本题考查根与系数的关系，关键在于有一个公共根的理解，从而建立方程，求得根．
45．阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=，把x=，代入已知方程，得（）2 +﹣1=0．化简，得y2+2y﹣4=0，故所求方程为y2+2y﹣4=0这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+2x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【答案】（1）y2﹣2y﹣1=0；（2）a+by+cy2=0（c≠0）．
【分析】
(1) 根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．
(2) 根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．
【详解】
解：（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x，所以x=﹣y，
把x=﹣y代入方程x2+2x﹣1=0，得：y2﹣2y﹣1=0，
故答案为：y2﹣2y﹣1=0；
（2）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），于是x=（y≠0），
把x=代入方程ax2+bx+c=0，得a （）2+b（）+c=0，
去分母，得 a+by+cy2=0，
若c=0，有ax2+bx=0，
于是，方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不合题意，
∴c≠0，
故所求方程为a+by+cy2=0（c≠0）．
【点睛】
本题是一道材料题，考查了一元二次方程的应用，以及解法，是一种新型问题，要熟练掌握．
46．已知关于x的方程的一根为x=1，求m的值，并把多项式分解因式．
【答案】，当时，
【分析】
将x=1代入方程可求出m的值，然后根据因式分解法即可求出答案．
【详解】
解：∵ x=1是方程的一个根，
∴，
∴ ，
当时，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解和分解因式，能求出m的值是解此题的关键．
47．已知m是方程x2+x-1=0的根，求式子2m2+2m+2018的值．
【答案】2020．
【分析】
先根据方程的根的定义可得，从而可得，再代入求值即可得．
【详解】
∵m是方程的根，
∴，即，
∴．
【点睛】
本题考查了方程的根的定义、整式的求值，掌握理解方程的根的定义是解题关键．
48．已知方程是关于的一元二次方程．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的一次项系数为，求此方程的根．
【答案】（1）；（2），
【分析】
（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；
（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a的值，再代入原方程，解出方程即可.
【详解】
解：化简，得
．
方程是关于的一元二次方程，得
，解得，
当时，方程是关于的一元二次方程；
由一次项系数为零，得．
则原方程是，即．
因式分解得，
解得，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程.
49．已知方程．
（1）当为何值时，它是一元二次方程？
（2）当为何值时，它是一元一次方程？
【答案】（1） （2）或
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义解答本题；
（2）根据一次方程的定义可解答本题．
【详解】
解：（1）方程为一元二次方程，
，
解得：，
所以当为或时，方程方程为一元二次方程；
（2）方程为一元一次方程，
或
解得，或，
故当为2或时，方程方程为一元一次方程．
【点睛】
本题考查一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，解题关键是理解一元一次方程的定义和一元二次方程的定义，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面．
50．已知关于的方程．
（1）当为何值时是一元一次方程？
（2）当为何值时是一元二次方程？
【答案】（1）-2或1或0 （2）2
【分析】
（1）根据一元一次方程的定义，可得答案．
（2）根据一元二次方程的定义求解，未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可
【详解】
解：（1）由题意，得当时，，
当且时，；
当时，．
∴当或或时，是一元一次方程．
（2）由题意，得，且，解得，
∴当时，是一元二次方程．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
51．若关于x的一元二次方程有一个根为，且，求的值．
【答案】0．
【分析】
根据二次根式的被开方数是非负数求得a、c的值，再把代入已知方程求得b的值，最后代入，计算求出结果即可．
【详解】
中，
∵且，
解得：，
∴，
∵关于的一元二次方有一个根为，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，二次根式有意义的条件，求出a、c、b的值是解此题的关键．
52．已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一个根，且a≠b，求的值.
【答案】20
【分析】
先根据一元二次方程的解得到a+b=40，然后把原式进行化简得到=（a+b），再利用整体代入的方法计算；
【详解】
把x=1代入方程得a+b-40=0，即a+b=40，
所以原式= .
53．已知方程是一元二次方程，求的值．
【答案】4
【分析】
一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可
【详解】
解：由题意，得
解|m|-2=2得m=±4，
当m=4时，m+4=8≠0，
当m=-4时，m+4=0不符合题意的要舍去，
∴m的值为4．
【点睛】
本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
54．若m是一元二次方程的一个实数根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式的值．
【答案】（1）；（2）4
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义得到，即可求解；
（2）利用方程的解得到，推出和，再整体代入原式即可求解．
【详解】
（1）由于是关于的一元二次方程，
所以，
解得；
（2）由（1）知，该方程为，
把代入，得，
所以，①
由，得，
所以，②
把①和②代入，
得，
即．
【点睛】
本题考查了一元二方程的定义，一元二方程的解以及求代数式的值，利用一元二方程的解求得和是解题的关键
55．请阅读下面材料：
问题：已知方程x2+x-3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．
解：设所求方程的根为y，y=，所以x＝2y
把x＝2y代入已知方程，得(2y)2+2y-3＝0
化简，得4y2+2y-3＝0
故所求方程为4y2+2y-3＝0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”解决下列问题：
（1）已知方程2x2-x-15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为：_________．
（2）已知方程ax2+bx+c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，求一个关于y的一元二次方程，使它的根比已知方程根的相反数的一半多2．
【答案】（1）2y2+y-15＝0；（2）．
【分析】
（1）利用题中解法，设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y，然后把x=-y代入已知方程整理后即可得到结果；
（2）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），于是x=4-2y（y≠0），代入方程ax2+bx+c=0整理即可得．
【详解】
解：（1）设所求方程的根为y，则y=-x，
所以x=-y，
把x=-y代入2x2-x-15＝0，
整理得，2y2+y-15＝0，
故答案为：2y2+y-15＝0；
（2）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），
所以，x=4-2y（y≠0），
把x=4-2y代入方程ax2+bx+c=0，
整理得：．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．
56．已知关于的方程，其中是方程的一个根.
（1）求的值及方程的另一个根；
（2）若△的三条边长都是此方程的根，求△的周长.
【答案】（1）a=2，另一根是1；（2）3或7或9
【分析】
（1）把x＝3代入方程求出a的值，再把a的值代入方程，求出方程的另一个根；
（2）根据三角形的三边关系，确定三角形的三边长度，求出三角形的周长．
【详解】
解：（1）把x＝3代入方程得9（a−1）−4×3−1＋2a＝0，
解得a＝2，
∴原方程为x2−4x＋3＝0，
（x−1）（x−3）＝0，
∴x1＝1，x2＝3，
故它的另一个根是1；
（2）由题意知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形：
①三边相等，边长为1，1，1；或3，3，3，
那么三角形的周长是3或9；
②仅有两边相等，∵1＋1＝2＜3，
∴三角形的边长只能为3，3，1，
那么三角形的周长是7；
由①、②知，三角形的周长可以是3，或7，或9．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解，把一元二次方程的解代入方程求出a的值，再把a值代入方程，求出方程的另一个根，根据方程的根，确定三角形三边的值，然后求出三角形的周长．
57．若m是方程x2+x－1＝0的一个根，求代数式m3+2m2+2019的值．
【答案】2020．
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，将x=m代入已知方程求得m（m+1）=1；然后将所求的代数式转化为含有m（m+1）的代数式，并代入求值即可．
【详解】
解：根据题意，得

∴，或m（m+1）=1，
∴m3+2m2+2019．
【点睛】
本题主要考查了方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
58．已知：有代数式①；②；③；④．若从中随机抽取两个，用“=”连接．
(1)写出能得到的一元二次方程；
(2)从(1)中得到的一元二次方程中挑选一个进行解方程．
【答案】(1)①；②；③； (2)①；②；③
【分析】
(1) 根据一元二次方程的定义，把所有情况列举出来判断即可得到答案；
(2)从中选取一个直接解方程即可得到答案.
【详解】
解：(1) 抽取到①②组合为：=，故不是一元二次方程；
抽取到①③组合为：=，故不是一元二次方程；
抽取到①④组合为：=，故不是一元二次方程；
抽取到②③组合为：=，即：，故是一元二次方程；
抽取到②④=，即，故是一元二次方程；
抽取到③④组合为：=，即，故是一元二次方程；
(2)选取一元二次方程②③组合：=进行求解，
=
解：化简得：
十字相乘法分解因式为：，
解得：；
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的概念以及求解，掌握只有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的多项式是一元二次方程是解题的关键.