专题11 用公式法求解一元二次方程测试题(重难题型)- 2022-2023学年九年级数学上册《基础题型+重难题型》高分突破系列（北师大版）

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专题11用公式法求解一元二次方程(重难题型)
1．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，得一元二次方程的根的判别式大于零，建立不等式求解即可．
【详解】
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△＝＞0，
∴＞0，
∴，
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系，并能灵活选择计算是解题的关键．
2．关于x的方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
【答案】A
【分析】
由于方程有实数根，当方程为一元二次方程时，令△＞0，即可求出m的取值范围，要注意，m2﹣1≠0．再令方程为一元一次方程，进行解答．
【详解】
解：当方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1=0为一元二次方程时，m2﹣1≠0，即m≠±1．
∵关于x的方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1=0有实数根，
∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣1）＝﹣8m+8≥0，解得m≤1；
∴m＜1，
当方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1＝0为一元一次方程时，m2﹣1＝0且2（m﹣1）≠0，
则m＝﹣1，
综上，m＜1时方程有实数根．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的判别式，掌握△≥0等价于一元二次方程有两个实数根，△＜0等价于一元二次方程没有实数根，是解题的关键．
3．定义：当关于的一元二次方程满足时，称此方程为“合理”方程．若“合理”方程有两个相等的实数根，则下列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据一元二次方程有两个相等的根得=n2-4mp=0，再由“合理”方程得4m-2n+p=0，再对两式进行恒等变换和代入即可．
【详解】
解：
∵“合理”方程有两个相等的实数根
∴ 4m-2n+p=0 ①
=n2-4mp=0 ②
则有 p=2n-4m代入②得：
n2-4m (2n-4m) =0
16m2-8mn=- n2
16m2-8mn+n2=-n2+n2
∴(4m-n)2=0
∴4m=n，代入①得
n-2n+p=0
∴n=p
∴ 4m=n=p
故选：D
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况，灵活对等式进行恒等变换是关键．整体代入是常用的方法．
4．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据根的判别式建立不等式求解即可．
【详解】
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴＞0，
∴＞0，
∴＞0，
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程根的情况，熟练建立不等式是解的关键．
5．对于实数 a，b，定义运算“#”如下：a#b＝a2－ab，如：3#2＝32－3×2＝3，则方程（x＋1）#3＝2的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】
本题根据题目所给新定义将方程（x＋1）#3＝2变形为一元二次方程的一般形式，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可．
【详解】
解：根据题意得（x＋1）#3＝2可以变形为：
，
提公因式可得：
，
化简得：
，
，
，
根据根的判别式可知该方程有两个不等的实数根．
故选D．
【点睛】
本题主要考查新定义运算，将新定义方程化为一元二次方程的一般形式，根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，注意时有两个不相等的实数根；时有一个实数根或两个相等的实数根；时没有实数根．
6．当时，关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】
计算根的判别式，利用k的取值范围进行判断其符号即可求得答案．
【详解】
解：∵在一元二次方程中a=1，b=4，c=-k，
∴，
∵当时，，
∴方程有两个不等的实数根，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
7．已知关于x的方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＞ C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0
【答案】C
【分析】
由方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0，且△＞0，即22﹣4•k•3＞0，然后解不等式求出它们的公共部分即可．
【详解】
解：∵x的方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0，且△＞0，即22﹣4•k•3＞0，解得k＜，
∴k的取值范围为：k＜且k≠0．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac，解题关键是明确当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，列出不等式，注意：二次项系数不为0．
8．若方程x2-cx+4=0有两个不相等的实数根，则c的值不能是（ ）
A．c=10 B．c=5 C．c=-5 D．c=4
【答案】D
【分析】
根据方程有两个不相等的实数根得出△＝c 2﹣4×1×4＞0，代入判断即可．
【详解】
解：根据题意，得：△＝c 2﹣4×1×4＞0，即c 2﹣16＞0，
当c=10时，c 2﹣16＞0，方程x2-cx+4=0有两个不相等的实数根，不符合题意；
当c=5时，c 2﹣16＞0，方程x2-cx+4=0有两个不相等的实数根，不符合题意；
当c=-5时，c 2﹣16＞0，方程x2-cx+4=0有两个不相等的实数根，不符合题意；
当c=4时，c 2﹣16=0，方程x2-cx+4=0有两个相等的实数根，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，解题关键是熟练运用根的判别式确定字母的范围．
9．若关于x的一元二次方程x2-2mx+m2+m-1=0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．0或1 B．0 C．1 D．以上都不对
【答案】C
【分析】
根据判别式的意义得到△＝（﹣2m）2﹣4（m2+m-1）＝0，然后解关于m的方程即可．
【详解】
解：根据题意得△＝（﹣2m）2﹣4（m2+m-1）＝0，
解得m＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根，解题关键是根据题意列出方程．
10．一元二次方程（x-1）（x+5）=3x+1的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】
把方程整理成一元二次方程的一般形式后，计算根的判别式△的符号，即可判断根的情况．
【详解】
解：∵（x-1）（x+5）=3x+1
∴原方程可化为x2+x-6=0，
∵a=1，b=1，c=-6，
∴△=b2-4ac=12-4×1×（-6）=25＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】
本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
11．定义一种新运算“”，对于任意实数，，，如，若（为实数）是关于的方程，则它的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】
利用新定义得到x2＋2kx−k2−1＝0，然后利用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝b2−4ac的关系可得△＞0，即可判断方程根的情况．
【详解】
解：由新定义得x2＋2kx−k2−1＝0，
∵△＝（2k）2−4×1×（−k2−1）＝8k2＋4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
12．小明把分式方程去分母后得到整式方程，由此他判断该分式方程只有一个解．对于他的判断，你认为下列看法正确的是（ ）
A．小明的说法完全正确 B．整式方程正确，但分式方程有2个解
C．整式方程不正确，分式方程无解 D．整式方程不正确，分式方程只有1个解
【答案】C
【分析】
解分式方程去分母后得到整式方程，由于，得到方程无实数根，于是得到结论．
【详解】
解：∵分式方程去分母后得到整式方程，
，
∴方程无实数根，
∴方程无解，
故整式方程不正确，分式方程无解，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法,一元二次方程根的判别式,熟练将分式方程转化为一元二次方程是解题的关键．
13．小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小1，则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有另一个根是 D．有两个相等的实数根
【答案】A
【分析】
直接把已知数据代入，进而得出的值，再根据根的判别式判别即可．
【详解】
解：小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，
代入得：，
解得：，
∵核对时发现所抄的比原方程的值小1，
故原方程中，
原方程为，
∴
∴原方程的根的情况是不存在实数根，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，正确得出的值是解题关键．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣2kx＋1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2＋2k（1﹣k）的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【答案】D
【分析】
先根据一元二次方程根的判别式求出的值，再代入求值即可得．
【详解】
解：由题意得：方程根的判别式，
整理得：，即，
则，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、代数式求值，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
15．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则的值为（　　）
A．24 B．25 C．24或25 D．无法确定
【答案】C
【分析】
分类讨论6为底边和6为腰两种情况，结合一元二次方程的根与其根的判别式的情况即可确定的值．
【详解】
解：①当6为底边时，则，
∴，
∴，
∴方程为，
解得：，
∵，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
②当6为腰时，则设，
∴，
∴，
∴方程为，
∴，，
∵，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：或25．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形三边关系以及一元二次方程的根与根的判别式．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．
16．对于函数，我们定义（，为常数）．例如：，则．已知：，若方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】D
【分析】
先求出，再利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】
解：由题意得：，即，
方程有两个相等的实数根，
此方程根的判别式，
解得，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根据新定义求出是解题关键．
17．定义；如果一元二次方程(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“蜻蜓”方程．已知关于x的方程(a≠0)是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（ ）
A．a=c≠b B．a=b≠c C．b=c≠a D．a=b=c
【答案】A
【分析】
由条件可知a+b+c=0，再根据方程根的判别式得到到b2-4ac=0，整理可得出结论．
【详解】
解：由条件可知a+b+c=0，
所以-b=a+c，
又因为方程有两个相等的实数根，
所以△=0，即b2-4ac=0，
所以（a+c）2-4ac=0，
整理可得（a-c）2=0，
所以a=c，
所以，a=c≠b
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程判别式与根的情况的判定，由条件到到知a+b+c=0和b2-4ac=0是解题的关键．
18．关于x的一元二次方程（a，b是常数，且）（ ）
A．若，则方程可能有两个相等的实数根 B．若，则方程可能没有实数根
C．若，则方程可能有两个相等的实数根 D．若，则方程没有实数根
【答案】C
【分析】
先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到△=b2+36a，则a＞0时，△＞0，则根据判别式的意义可对A进行判断；当a＜0时，可能△＞0或△=0或△＜0，则根据判别式的意义可对B、C、D进行判断．
【详解】
解：ax2+bx-9=0，
△=b2-4×a×（-9）=b2+36a
当a＞0时，△＞0，方程有两个不相等的实数根
当a＜0时，△＞0或△=0或△＜0，方程可能有两个不相等的实数根或方程有两个相等的实数根或没有实数解
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
19．一元二次方程x2﹣2x+5＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【分析】
根据根的判别式判断 ．
【详解】
解：∵△＝4﹣20＝﹣16＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的根的情况，熟练掌握根判别式的计算方法及应用是解题关键．
20．若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是（　　）
A．k≥5 B．k≥5且k≠1 C．k≤5且k≠1 D．k≤5
【答案】D
【分析】
分类讨论：该方程是一元二次方程和一元一次方程．一元二次方程的二次项系数不等于零且根的判别式大于零．
【详解】
解：①当该方程是关于x的一元一次方程时，k﹣1＝0即k＝1，此时x＝﹣，符合题意；
②当该方程是关于x的一元二次方程时，k﹣1≠0即k≠1，此时△＝16﹣4（k﹣1）≥0．
解得k≤5；
综上所述，k的取值范围是k≤5．
故选：D．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解，解题时需要注意：已知方程没有指明是关于x的一元二次方程，需要分类讨论．
21．如果和是非零实数，使得和，那么的值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，结合2个式子可得，分与两种情况讨论，求出的值，由，求出的值，相加即可得答案．
【详解】
解：根据题意，则，
又由，
则有，
因为x和y是非零实数，分2种情况讨论：
①当时，由得到：，
变形可得：，无解；
②当时，由得到，
变形可得：，
解可得：或，（舍）
综合可得：，则，
；
故选择：D．
【点睛】
本题考查超越方程组解法，因式分解的应用，一元二次方程解法，掌握超越方程组解法，因式分解的应用，一元二次方程的解法，关键是消y后分类讨论．
22．已知a是一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的实数根，那么a的值应在（　　）
A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．0和1之间
【答案】C
【分析】
先求出方程的解，再求出较大的实数根a的范围，最后即可得出答案．
【详解】
解：解方程2x2﹣2x﹣1＝0得 ，
∵a是方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的根，
∴a＝，
∵1＜＜2，
∴2＜＜3，
即1＜a＜．
故选：C
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
23．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥且k≠1
【答案】D
【分析】
根据二次项系数不为0和△≥0列不等式组即可．
【详解】
解：根据关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，
列不等式组得，，
解得，k≥且k≠1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练运用根的判别式列不等式，注意：一元二次方程二次项系数不为0．
24．已知关于x的一元二次方程标有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．
【答案】C
【分析】
由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】
解：由题可得：,
解得：且；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．
25．若关于x的一元二次方程有实数根，则字母k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且△=（-2）2-4k×(-3)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】
解：根据题意得k≠0且△=（-2）2-4k×(-3)≥0，
解得且k≠0．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
26．已知关于x的一元二次方程2x2－kx+4=0有两个相等的实数根，则k的值为_____；
【答案】
【分析】
由方程根的个数，结合根的判别式，即可得出k的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【详解】
解：∵一元二次方程2x2－kx+4=0有两个相等的实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是找出关于k的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．
27．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_____．
【答案】-1
【分析】
利用一元二次方程的定义及根的判别式计算求出m、n的值，再代入计算．
【详解】
解：由题意得m-1=2，16+4n=0，
解得m=3，n=-4，
∴=3-4=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
此题考查一元二次方程的定义及利用根的情况求未知数的值，熟记一元二次方程的定义及根的三种情况是解题的关键．
28．解一元二次方程．
（1）请把方程左边变形，利用直接开方法求解；
（2）请利用公式法求解．
【答案】（1）；（2）
【详解】
解：（1）原方程可变形为，
直接开平方，得或，
即．（4分）
（2）原方程化为一般形式，得，
．
；
即．（4分）
29．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．
【答案】（1）见解析；（2）k=3
【分析】
（1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案；
（2）根据△ABC的两边AC、BC的长是这个方程的两个实数根，则3是方程的一个根，代入方程即可求出k的值．
【详解】
解：（1）∵△=[﹣(k+1)]2﹣4×1×(2k﹣3)
=k2+2k+1﹣8k+12
=(k-3)2+4，
∵无论k为何实数，(k-3)2≥0，
∴(k-3)2+4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵AC、BC为方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3=0的两个实数根，
由（1）可得，AC≠BC，
∵△ABC为等腰三角形，
∴AC=AB=3或BC=AB=3，
∴方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3＝0必有一根为x=3，
∴32﹣3(k+1)+2k﹣3=0，
解得k=3．
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
30．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两根都为整数，求正整数的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）直接运用一元二次方程根的判别式列不等式解答即可；
（2）先运用求根公式求解，然后根据根为整数以及二次根式有意义的条件列式解答即可．
【详解】
解：（1）∵关于的方程有两个实数根，
∴，解得，；
（2）由题意得，
，
∵为整数，且为正整数，
∴或，
又∵
∴．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式、运用公式法解一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
31．已知关于x的方程有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．
【答案】（1）且；（2）
【分析】
(1)因为一元二次方程有两个实数根,所以必须满足下列条件:二次项系数不为零且判别式，列出不等式求解即可确定k的取值范围．
(2）在k的取值范围内确定最大整数，代入原方程，再运解方程即可．
【详解】
解：（1）∵关于x的方程有两个实数根，
∴且．
．
∴且．
∴且．
（2）当k取最大整数时，，
此时，方程为，
解得．
∴当时，方程的根为．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况，解一元二次方程、熟练并正确解方程是重点，熟知一元二次方程根的情况是关键
32．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）求使代数式（x1+1）（x2+1）值为负整数的实数a的整数值；
（3）如果实数a，b满足b＝+50，试求代数式x13+10x22+5x2﹣b的值．
【答案】（1）a≥0且a≠6；（2）a＝7，8，9，12；（3）1100
【分析】
（1）由二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣，x1x2＝，结合（x1+1）（x2+1）的值为负整数可得出为负整数，解之即可得出a的值；
（3）由被开方数非零及b＝可得出a，b的值，将a的值代入原一元二次方程，利用根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x1+x2＝10，x1x2＝﹣5，x12＝10x1+5，将其代入x13+10x22+5x2﹣b中即可求出结论.
【详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0有两个实数根，
∴，
解得：a≥0且a≠6.
（2）∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∵（x1+1）（x2+1）＝x1+x2+x1x2+1＝﹣++1＝为负整数，
∴6﹣a＝﹣1，﹣2，﹣3，﹣6，
∴a＝7，8，9，12.
（3）∵b＝，
∴a＝5，b＝50，
∴方程﹣x2+10x+5＝0，
∴x1+x2＝10，x1x2＝﹣5，x12＝10x1+5，
∴原式＝x12•x1+10x22+5x2﹣b，
＝（10x1+5）•x1+10x22+5x2﹣50，
＝10（x12+x22）+5（ x1+x2）﹣50，
＝10（x1+x2）2﹣20x1x2+5（ x1+x2）﹣50，
＝10×102﹣20×（﹣5）+5×10﹣50，
＝1100．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、根的判别式，准确计算是解题的关键．
33．已知关于的一元二次方程（为常数）总有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）由方程有两个相等的实数根，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值，将k的值代入原方程中，再利用配方法解一元二次方程即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵方程总有实数根，
，
解得：；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
，
解得：，代入方程得：
，
解得：.
【点睛】
本题考查了根的判别式以及配方法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”．
34．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0与方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，求此时k的值．
【答案】（1）m≥且m≠1，（2）k＝3
【分析】
（1）根据判别式即可求出答案．
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】
解：（1）化为一般式：（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0，
∴，
解得：m≥且m≠1
（2）由（1）可知：m是最小整数，
∴m＝2，
∴（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2化为x2﹣4x＝0，
解得：x＝0或x＝4，
∵（k+1）x2+x+k﹣3＝0与（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，
∴当x＝0时，此时k﹣3＝0，
k＝3，
当x＝4时，16（k+1）+4+k-3＝0，
∴k＝﹣1，
∵k+1≠0，
∴k＝﹣1舍去，
综上所述，k＝3．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义，准确计算是解题的关键．
35．关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．
【答案】（1）见详解；（2）k＜-1
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k−3）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝-3，x2＝-k，根据方程有一根大于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【详解】
（1）证明：∵在方程中，△＝（k＋3）2−4×1×3k＝k2−6k＋9＝（k−3）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴x1＝-3，x2＝-k．
∵方程有一根大于1，
∴-k＞1，解得：k＜-1，
∴k的取值范围为k＜-1．
【点睛】
本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根大于1，找出关于k的一元一次不等式．
36．（1）计算：；
（2）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：．
解：．
．第一步
，第二步
．第三步
，第四步
，或．第五步
，．第六步
任务一：
①小颖解方程的方法是______；
A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法
②解方程过程中第二步变形的依据是______；
任务二：请你用“公式法”解该方程．
【答案】（1） ；（2）任务一：① C；②等式的基本性质或等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式；任务二：，
【分析】
（1）化简，按照运算规则运算即可；
（2）任务一：①根据前三步可得知小颖解方程的方法是配方法，②方程两边同时加上一个相同的数是运用了等式的基本性质；任务二：根据方程得知、和的值，再根据公式法把、和的值代入求解．
【详解】
解：（1）原式
．
（2）任务一：①根据前三步可得知小颖解方程的方法是配方法，故选C；
②解方程过程中第二步变形的依据是：等式的基本性质或等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式；
任务二：
解方程：．
，，．
，
．
，．
【点睛】
本题考查了二次根式和实数的运算和一元二次方程的解法，正确化简，掌握配方法和公式法是解题的关键．
37．关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求出此时方程的根．
【答案】（1）m≤1；（2）．
【分析】
（1）根据题意得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据m的范围可知m=1，代入原方程后解方程即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵原方程有实数根，
∴△=(-2)2-4×1×（3m-2）=12-12m≥0，
∴m≤1；
（2）∵m为正整数，又m≤1，
∴m=1．
当m=1时，原方程为x2-2x+1=0，
即，解得．
【点睛】
本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及解一元二次方程，解题的关键：（1）由根的情况得出关于m的一元一次不等式；（2）确定m的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由方程根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．
38．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个根都是有理数，写出满足条件的的最小整数值，并求出此时方程的根．
【答案】（1）且；（2）；或．
【分析】
（1）根据根的判别式计算即可；
（2）根据一元二次方程的解法求解即可；
【详解】
（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴，
∴且；
（2）当时，，
∴由求根公式可知：，
∴或．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，准确计算是解题的关键．
39．关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0．
（1）若方程有实根，求k的取值范围；
（2）若方程两根x1，x2，满足x12＋x22﹣4x1x2＝1，求k的值．
【答案】（1）k≥﹣3；（2）k＝9或k＝﹣1
【分析】
（1）根据方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况解答；
（2）根据根与系数的关系，以及x12＋x22﹣4x1x2＝1得方程即可求解．
【详解】
解：（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有实根，
①当方程为一元二次方程时，△≥0且k﹣1≠0，
即（﹣4）2﹣4（k﹣1）×（﹣1）≥0，k≠1，
∴k≥﹣3且k≠1．
②当方程为一元一次方程时，k﹣1＝0，
∴k＝1，
综上，k≥﹣3时方程有实根；
（2）∵x1、x2是方程的两个实数根，
∴x1＋x2＝，x1x2＝﹣，
∵x12＋x22﹣4x1x2＝1，
∴（x1＋x2）2﹣6x1x2＝1，
∴（）2＋＝1，
∴，
∴，
∴，
解得：k＝9或k＝﹣1．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式与方程实根，一元二次方程根与系数关系，掌握一元二次方程根的判别式与方程实根，一元二次方程根与系数关系，利用根与系数关系构造新方程是解题关键．
40．按要求解方程：
（1）x2﹣x﹣2＝0（公式法）；
（2）2x2+2x﹣1＝0（配方法）．
【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣1；（2）x1＝ ，x2＝
【分析】
（1）利用公式法求解即可；
（2）利用配方法求解即可；
【详解】
（1）解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，
∴ b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
∴ x＝ ＝ ＝ ，
∴ x1＝2，x2＝﹣1
（2）解：2x2+2x＝1，
x2+x＝ ，
x2+x+＝+ ，即（x+）2＝ ，
∴ x+ ＝± ，
∴ x1＝ ，x2＝
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种解法是解本题的关键；