专题13 用因式分解法求解一元二次方程测试题(重难题型)- 2022-2023学年九年级数学上册《基础题型+重难题型》高分突破系列（北师大版）

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专题13 用因式分解法求解一元二次方程(重难题型)
1．关于的一元二次方程，下列结论不正确的是（ ）
A．当方程有实数根时
B．当时，方程一定有两个不相等的实数根
C．当时，方程的实数根为，
D．若，为方程的两个实数根，则有
【答案】B
【分析】
对一元二次方程进行变形，化为的形式，可知一个数的平方大于等于零，即可求出方程有解时k的取值范围，再根据不同的k值进行方程求解．
【详解】
解析：原方程可以化为，当时，方程有实数解，即．
因此当时，方程没有实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程有两个不相等的实数根．
当时，，，．
当时，由可以求得，
则有.
故选B．
【点睛】
本题主要考查的是一元二次方程有解时以及一元二次方程的解法的相关知识．
2．已知关于的一元二次方程的两根为，，则一元二次方程的根为(　　)
A．0，4 B．－3，5 C．－2，4 D．－3，1
【答案】B
【分析】
先将，代入一元二次方程得出与的关系，再将用含的式子表示并代入一元二次方程求解即得．
【详解】
∵关于的一元二次方程的两根为，
∴或
∴整理方程即得：
∴
将代入化简即得：
解得：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了含参数的一元二次方程求解，解题关键是根据已知条件找出参数关系，并代入要求的方程化简为不含参数的一元二次方程．
3．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．l2或16 D．15
【答案】B
【分析】
利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案．
【详解】
解：∵x2-8x+15=0，
∴（x-3）（x-5）=0，
则x-3=0或x-5=0，
解得x1=3，x2=5，
①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去；
②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，
所以该等腰三角形的周长为5+5+6=16，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．方程的解是（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【分析】
移项并因式分解，得到两个关于x的一元一次方程，即可求解．
【详解】
解：移项，得，
因式分解，得，
∴或，
解得，，
故选：C．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键．
5．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．18
【答案】B
【分析】
首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．
【详解】
解：解方程x2-9x+18=0，得x1=3，x2=6，
当3为腰，6为底时，不能构成等腰三角形；
当6为腰，3为底时，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
6．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x（x﹣3）＝0，方程就可转化为两个一元一次方程x＝0或x﹣3＝0，然后解一元一次方程即可．
【详解】
解：∵x2＝3x，
∴x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x＝3，
故选：D．
【点睛】
本题考查了利用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c＝0的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可．
7．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（　　）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2
【答案】D
【分析】
方程x（x﹣2）＝x﹣2移项后，运用因式分解法可以求得方程的解，本题得以解决．
【详解】
解：x（x﹣2）＝x﹣2，
移项，得x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
提公因式，得（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝1．
故选：D．
【点睛】
本题考查解解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是会利用提公因式法解方程．
8．方程（x+1）（x﹣3）＝﹣4的解是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝x2＝1 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝0
【答案】B
【分析】
把原方程整理后，再根据因式分解法即可求出答案．
【详解】
解：∵（x+1）（x-3）=-4，
∴x2-2x+1=0，
∴（x-1）2=0，
∴x1=x2=1，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
9．一元二次方程的解是（ ）
A．， B．， C． D．，
【答案】B
【分析】
利用提公因式分进行因式分解，再解方程，即可得到答案．
【详解】
解：x（5x-2）=0，
x=0或5x-2=0，
所以或．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
10．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
【答案】D
【分析】
利用因式分解法解方程．
【详解】
解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
11．已知是关于的方程的一个实数根，且该方程的两实数 根恰是等腰的两条边长，则的周长为（ ）
A． B． C．6或10 D．8或10
【答案】B
【分析】
将x=2代入方程求出m=2，由此得到方程的另一个根，确定三角形的三条边长得到答案.
【详解】
把代入，得m=2，
∴该方程为，
∴（x-2）（x-4）=0，
解得x=2或x=4，
∴△ABC的三边只能是，周长为,
故选：B.
【点睛】
此题考查一元二次方程的根，等腰三角形的定义，因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系.
12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若为非负整数，且该方程的根都是整数，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．
【答案】A
【分析】
根据根的判别式可得方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根则△＞0，然后列出不等式计算即可，根据m为非负整数，得到m=0或1，代入方程求出方程的解即可求解．
【详解】
解：∵一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个不相等的实数根，
∴△=(-2)2-4×1×(m-1)＞0，
∴m＜2；
∵m为非负整数，
∴m=0或1，
当m=0时，x2-2x-1=0，
∵△=(-2)2-4×1×(-1)=8，
∴，
此时方程的根不是整数，
∴m=0舍去；
当m=1时，x2-2x=0，
∴，此时方程的根都是整数，
∴m=1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
13．关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值是（ ）
A．−3或1 B．1 C．−3 D．
【答案】B
【分析】
把x=0代入原方程，转化为k的方程，并求解，注意二次项系数的非零性．
【详解】
∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴+2k-3=0，且k+3≠0,
∴k=1或k=-3, 且k+3≠0,
∴k=1,
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法，一元二次方程的定义，熟练掌握两个概念，准确进行解方程是解题的关键．
14．已知，是一元二次方程的两不相等的实数根，且，则的值是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【分析】
先利用判别式的意义得到m＞−，再根据根与系数的关系的，，则由可得，然后解关于m的方程，最后确定满足条件的m的值．
【详解】
解：根据题意得△＝＞0，
解得m＞−，
根据根与系数的关系的，，
∵，
∴，
∴，
整理得，解得，，
∵m＞−，
∴m的值为．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式及根与系数的关系是解答此题的关键
15．方程的根是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．
【详解】
解：∵（x1）（x+3）=x1，
∴（x1）（x+3）（x1）=0，
∴（x1）（x+2）=0，
则x1=0或x+2=0，
解得：x1=1，x2=2，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16．一元二次方程（x+1）2﹣2（x﹣1）2＝7的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有一正根一负根
C．有两个正根 D．有两个负根
【答案】C
【分析】
解方程，根据方程根的情况判断即可．
【详解】
解：∵（x+1）2﹣2（x﹣1）2＝7，
∴x2+2x+1﹣2（x2﹣2x+1）＝7，
整理得：﹣x2+6x﹣8＝0，
则x2﹣6x+8＝0，
（x﹣4）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝4，x2＝2，
故方程有两个正根．
答案：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．
17．若是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或4
【答案】C
【分析】
把代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
【详解】
解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，即，
解得 ，．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义以及解一元二次方程．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
18．方程x（x-2）=2x的解是 （ ）
A．x=2 B．x=4 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=4
【答案】D
【分析】
先移项，然后提取公因式x，对等式的左边进行因式分解．
【详解】
解：∵x（x﹣2）＝2x，
∴x（x﹣2）﹣2x＝0，
∴x（x﹣4）＝0，
则x＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝0，x2＝4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
19．一元二次方程x2＝2x的根是（　　）．
A．0 B．2 C．0和2 D．0和﹣2
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程的性质，先提公因式，通过计算即可得到答案．
【详解】
移项得，x2-2x＝0，
提公因式得，x（x-2）＝0，
解得，x1＝0，x2＝2，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．
20．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先将原方程整理为，再利用因式分解法求出方程的解，即可得出结论．
【详解】
解：，
移项，得，
分解因式，得，
则或，
解得：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法及步骤是解题的关键．
21．关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．1或-2
【答案】C
【分析】
把x=0代入方程，得到，解得k值后，验证二次项系数不为零，判断即可．
【详解】
∵x的一元二次方程有一个根是0，
∴，且k-1≠0，
解得k= -2或k=1，且k≠1，
∴k= -2，
故选C．
【点睛】
本题考查了已知一元二次方程的一个根探解字母系数问题，熟练运用根的定义，一元二次方程的定义是解题的关键．
22．下列一元二次方程中无实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由因式分解法、偶次方的非负性和根的判别式依次判断即可；
【详解】
解：A.由可得，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；
B.，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；
C. ，，有两个实数根，故不符合题意；
D. ，没有实数根，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式Δ=b2−4ac以及配方法和因式分解法解一元二次方程，牢记Δ0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
（2）根据题意方程为x2-4x+3=0，因式分解法解方程即可求得方程的根
【详解】
解：(1)∵△=(-4)2-4m×3=16-12m＞0,解得m＜
又m≠0，
∴ m＜且m≠0，
（2）∵m为正整数
∴ m=1，
∴原方程为x2-4x+3=0，
解得x1=1，x2=3．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根据根的判别式和已知得出不等式是解题的关键．
40．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）选择一个你喜欢的k值代入，并求此时方程的解.
【答案】（1）见解析；（2）取k=0，.
【分析】
（1）求出根的判别式，证明它大于等于0即可；
（2）选取一个符合题意的值代入，解方程即可．
【详解】
（1））证明： ，
＝，
＝，
，
∵
方程总有两个实数根；
（2）当k＝0时，方程为x2+x＝0，
x（x+1）＝0，
x＝0，或 x+1=0，
解得x1＝0，x2＝﹣1．
【点睛】
本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题关键是熟练运用根的判别式进行计算和判断，会用因式分解法解一元二次方程．
41．小明解关于的一元二次方程时，在解答过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和2．
（1）求的值；
（2）若菱形的对角线长是关于的一元二次方程的解，求菱形的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）设看错的常数为，根据题意列出方程组，解方程组即可得出答案；
（2）首先解出一元二次方程的两个解，然后利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】
（1）由题意得，设看错的常数为，
，
∴．
（2）原方程为，
解方程得，．
由菱形面积公式可得：．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程及菱形的面积，掌握二元一次方程组的解法及菱形的面积公式是关键．
42．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
（1）求a的取值范围；
（2）请你给出一个符合条件的a的值，并求出此时方程的解．
【答案】（1）；（2）此题答案不唯一，，，
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（2）令，利用因式分解法求解方程即可．
【详解】
解：（1）∵关于x的一元二次方程一般式为，
∴，
∵方程有两个不相等的实数根，
．
，
；
（2）此题答案不唯一．如，
∴一元二次方程为，
因式分解得，
，．
∴当时，方程的根为，．
【点睛】
本题主要考查根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
43．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）；（2）当时，方程的两个整根为，
【分析】
（1）根据根的判别式即可求出m的取值范围；
（2）根据题意写一个m的值，然后代入方程求出方程的根即可．
【详解】
解：（1）由题意，，
即．
解得，．
（2）∵，
由题意，是平方数，
设，
原方程为，
，
或，
解得，，．
∴当时，方程的两个整数根为，．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法，掌握当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根是解题的关键．
44．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．
【答案】（1）见解析；（2）0或-2或1或-1
【分析】
（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值；
【详解】
解：（1）
∵△=
=
∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵
∴
∴=0
∴，或，
当，时，

∵k与都为整数，
∴k=0或-2
当，时，
∴，
∵k与都为整数，
∴k=1或-1
∴k所有可能的值为0或-2或1或-1
【点睛】
本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
45．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
【答案】（1）k＜3；（2）
【分析】
（1）根据方程有两个不相等的实数根,令△＞0，即可解题，
（2）根据k的取值范围确定k的值,代入原方程即可求解．
【详解】
解：（1），
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
解得k＜3 ；
（2）取k＝2，得
，
解得：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和求解，属于简单题,熟悉根的判别式的概念是解题关键．