专题14 一元二次方程的根与系数的关系测试题(基础题型)- 2022-2023学年九年级数学上册《基础题型+重难题型》高分突破系列（北师大版）

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专题14 一元二次方程的根与系数的关系(基础题型)
1．已知关于x的方程x2+5x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．3 B．﹣7 C．7 D．﹣3
【答案】D
【分析】
首先根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后求解即可．
【详解】
由根与系数的关系可知，，
∵一个根为-2，
∴另一根为，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根，掌握根与系数的关系是关键．
2．已知是方程的两根，则的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】A
【分析】
利用 ，，解答即可.
【详解】
解：.∵是方程的两根，
∴，=7，
∴
∴
=2+7- +
=
=2+7
=9.
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键.
3．已知一元二次方程x2﹣kx﹣3＝0的一根为2，则另一个根为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据根与系数的关系：求得即可．
【详解】
解：设方程的另一个根为，则根据题意，得2=-3，
解得，
故选：D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
4．设关于的方程的两个实数根为、，现给出三个结论：①；②；③则正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式和完全平方公式进行判断即可.
【详解】
①∵方程 x2−(a+b)x+ab−1=0 中，△=（a+b）2﹣4（ab﹣1）=（a﹣b）2+4＞0，
∴x1≠x2；故①正确；
②∵x1x2=ab﹣1＜ab；故②正确；
③∵x1+x2=a+b，即（x1+x2）2=（a+b）2；
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2
=（a+b）2﹣2ab+2=a2+b2+2＞a2+b2，
即x12+x22＞a2+b2；故③错误；
综上所述，正确的结论的个数是：2，
故选：B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，以及根的判别式，完全平方公式，解题的关键是，熟记根的判别式，两根之和，与两根之积，与各项系数之间的关系.
5．已知方程的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】
设方程的另一个根为x1，根据两根之积等于，即可得出关于x1的方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设方程的另一个根为x1，
根据题意得：1×x1=2，
则x1=2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解以及解一元一次方程，牢记一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根之积等于是解题的关键．
6．已知一元二次方程x2－8x＋c＝0有一个根为2，则另一个根为（ ）
A．10 B．6 C．8 D．－2
【答案】B
【分析】
设方程的另一个根为t，利用两根之和为8得到2+t=8，然后解关于t的方程即可．
【详解】
解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t=8，
解得t=6，
即方程的另一个根为6．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
7．方程的两根之和为（ ）
A． B．5 C． D．1
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】
解：由一元二次方程根与系数的关系可得：
一元二次方程的两根之和为：，
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
8．已知α、β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【答案】C
【分析】
根据韦达定理计算即可．
【详解】
即：∵α、β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
∴α+β==-1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了韦达定理，掌握知识点是解题关键．
9．若关于的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
因为一元二次方程有实数根，所以 ，即可解得．
【详解】
∵一元二次方程有实数根
∴
解得
故选B
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，掌握方程根的个数与根的判别式之间关系是解题关键．
10．若关于的方程，它的一根为3，则另一根为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】
设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到3+t=2，然后解关于t的一次方程即可．
【详解】
设方程的另一根为t，
根据题意得：3+t=2，
解得：t=-1，
即方程的另一根为-1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，，．
11．关于x的方程有一个根为，则另一个根为（ ）
A．5 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】
由题意可知，方程显然有两个实数根，故而结合韦达定理即根与系数的关系解答即可；
【详解】
由题知：关于的方程有一个根为﹣1，另一根为；
∴，
解得：，则另一根为5；
故选：A
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，重点在于熟练理解和掌握韦达定理的应用；
12．已知m，n是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个不同的实数根，则m+n的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系即可得到．
【详解】
解：m，n是方程的两个实数根，
∴，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
13．方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系得出方程的两根之和为，即可得出选项．
【详解】
解：方程x2﹣6x+5＝0的两个根之和为6，
故选：B．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解决问题的关键是熟练正确理解题意，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.
14．若，是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
【答案】B
【分析】
直接根据根与系数的关系得出、的值，再代入计算即可．
【详解】
解：∵，是一元二次方程的两根，
∴；．
则．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，，．
15．已知、是关于的方程的两根，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．方程必有一正根
【答案】B
【分析】
由题意利用一元二次方程根与系数的关系，得出结论．
【详解】
解：∵、是关于的方程的两根，
∴，，，
∴，方程必有一正根，
故选B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握，，是解题的关键，属于基础题．
16．关于x的一元二次方程x2＋4x＋c＝0有实数根，则c应满足的条件是（ ）
A．c≤4 B．c≥4 C．c＜4 D．c＞4
【答案】A
【分析】
由一元二次方程x2＋4x＋c＝0有实数根，利用一元二次方程的根的判别式列不等式，再解不等式即可得到答案．
【详解】
解：根据题意＝42﹣4c≥0，解得c≤4．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．已知Rt的两条直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，那么的面积为（ ）
A．16 B．32 C． D．
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，可得，进而即可求解．
【详解】
解：设一元二次方程的两个实数根分别是：，
∴，
∵Rt的两条直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，
∴的面积=32÷2=16．
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握（a≠0）的两个实数根，满足，是解题的关键．
18．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程根与系数关系直接求解即可．
【详解】
解：关于的一元二次方程的一个根是2，设另一个根是，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确一元二次方程两根之积等于常数项除以二次项系数的商．
19．关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个同号实数根 B．有两个异号实数根 C．没有实数根 D．无法判断
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】
解：由关于x的一元二次方程可得：，
∴，
∵，
∴，
设方程的两个根为，则根据韦达定理可得，
∴一元二次方程有两个异号实数根，
故选B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
20．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12﹣2x1＝1，x22﹣2x2＝1，那么x12+x22等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．6
【答案】D
【分析】
由已知得出x1，x2是方程x2-2x-1=0的两个不相等的实数根，据此知x1+x2=2，x1x2=-1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2计算即可．
【详解】
解：∵x1，x2是两个不相等实数，且满足x12-2x1=1，x22-2x2=1，
∴x1，x2是方程x2-2x-1=0的两个不相等的实数根，
则x1+x2=2，x1x2=-1，
∴x12+x22
=（x1+x2）2-2x1x2
=22-2×（-1）
=4+2
=6，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q．
21．关于方程x2＋2x﹣4＝0的根的情况，下列结论错误的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．两实数根的和为2
C．两实数根的差为 D．两实数根的积为﹣4
【答案】B
【分析】
根据根与系数的关系和根的判别式进行解答．
【详解】
解：、△，则该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意．
、设方程的两个跟为，，则，故本选项符合题意．
、设方程的两个为，，
则，
故本选项不符合题意．
、设方程的两个根为，，则，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系和根的判别式，熟悉相关性质是解题的关键．
22．方程的两个根为x1，x2，则等于（  ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】A
【分析】
根据根与系数关系直接而计算即可．
【详解】
解：∵的两个根为x1，x2，
∴=．
故选：A
【点睛】
本题主要考查根与系数关系，牢记公式是解题的关键．
23．已知、是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据方程解的概念得到，即，然后将原式变形为，从而代入，并结合一元二次方程根与系数的关系求解
【详解】
解：∵、是方程的两个实数根
∴，
即
由
将代入，
原式=
=
=
=
=
=
=
故选：C
【点睛】
本题考查一元二次方程的解的概念及一元二次方程的根与系数的关系，理解概念正确对原式进行变形计算是解题关键．
24．下列方程中两个实数根的和等于2的方程是（　　）
A．2x2-4x+3=0 B．2x2-2x-3=0 C．2y2+4y-3=0 D．2t2-4t-3=0
【答案】D
【详解】
A中，由△=(-4)2-4×2×3=-80，则x1+x2=1；
C中，△=42-4×2×(-3)=40>0, 则x1+x2=-2；
D中△=(-4)2-4×2×(-3)=40>0，则x1+x2=2.
故选D.
点睛：根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
25．方程的两根之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
直接根据一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】
解：若方程的两根为x1，x2，
所以x1＋x2＝5．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝−，x1•x2＝．
26．若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1·x2，则k的值是()．
A．－1或 B．－1 C． D．不存在
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系及x1+x2=x1x2，得出关于k的方程，解方程并用根的判别式检验得出k的值即可．
【详解】
解：由根与系数的关系，得x1+x2=-k，
因为x1x2=4k2-3，又x1+x2=x1x2，
所以-k=4k2-3，即4k2+k-3=0，
解得k=或-1，
因为△≥0时，所以k2-4（4k2-3）≥0，
解得：−≤k≤，故k=-1舍去，
∴k=．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数关系的应用，属于基础题，关键不要忘记利用根的判别式进行检验．
27．对于一元二次方程，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
C．两根之积是 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【分析】
先找出，再利用根的判别式判断根的情况即可．
【详解】
解：
∵
∴
∴这个一元二次方程没有实数根，故A正确、D错误．
∵，故C错误．
，故B错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况、根的判别式、根与系数的关系、熟练掌握D