2022届安徽省桐城市重点中学高三下学期月考（10）数学试卷含答案

2022届安徽省桐城市重点中学高三下学期月考（10）

数学试卷

1. 设集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 已知i是虚数单位，若，，则复数在复平面内对应的点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 若是钝角且，则

A.  B.  C.  D.

4. 已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为

A. 4 B. 9 C.  D.

5. 已知正方形ABCD中，E为AB中点，H为AD中点，F，G分别为BC，CD上的点，，，将沿着BD折起得到空间四边形，则在翻折过程中，以下说法正确的是

A.  B. EF与GH相交 C. EF与GH异面 D. EH与FG异面

6. 先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，则第一次点数大于第二次点数的概率为

A.  B.  C.  D.

7. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据上述问题的己知条件，分得橘子最多的人所得的橘子个数为

A. 15 B. 16 C. 18 D. 21

8. 在正方体中，O为底面的中心，E为的中点，若该正方体的棱长为2，则下列结论正确的是

A. 平面BDE
B. 平面
C. 平面平面
D. 三棱锥的外接球体积为

9. 已知圆：，圆：，过动点P分别作圆、圆的切线PA，为切点，使得，则动点P的轨迹方程为

A.  B.
C.  D.

10. 已知，，命题p：，命题，则p是q的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

11. 已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若且，则椭圆E的离心率为

A.  B.  C.  D.

12. 已知大于1的正数a，b满足，则正整数n的最大值为

A. 7 B. 8 C. 9 D. 11

13. 已知向量，，，若，则实数______.
14. 某医院现临时安排2名医护工作者到社区完成3项疫情防控宣传工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有______种．结果用数字作答
15. 已知数列的前n项和为，满足，，则______.
16. 在上单调递减，则实数m的最大值是______.
17. 从①；②；③选取一个作为条件，补充在下面的划线处，并解决该问题．
    已知中内角A、B、C所对的边分别是a、b、若____.
    求角A的大小；
    设，，求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
18. 我国是一个水资源严重缺乏的国家，2021年全国约有的城市供水不足，严重缺水的城市高达某市政府为了减少水资源的浪费，计划通过阶梯式水价制度鼓励居民节约用水，即确定一户居民月均用量水标准单位：，用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．现通过简单随机抽样获得了100户居民用户的月均用水量数据单位：，并将数据按照…，分成5组，制成了如图频率分布直方图．
    设该市共有20万户居民用户，试估计全市居民用户月均用水量不高于的用户数；
    若该市政府希望使的居民用户月均用水量不超过标准，试估计x的值精确到；
    假设该市最终确定三级阶梯价制如下：

小明家上个月需支付水费共28元，试求小明家上个月的用水量．

19. 如图，在三棱柱中，点在底面ABC的射影为BC的中点O，底面ABC是边长为2的正三角形，
    求证：；
    求直线与平面所成角的正弦值．

20. 设函数，
    当时，讨论的单调性；
    若有两个零点，求实数a的取值范围．
    
    
    
     
21. 设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，
    求抛物线C的方程；
    过曲线上一点P引抛物线的两条切线，切点分别为A，B，求的面积的取值范围为坐标原点
    
    
    
    
     
22. 在平面直角坐标系xOy中，设曲线的参数方程为，为参数，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为
    求曲线的普通方程；
    若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求实数a的值．
    
     

23.已知函数
当，时，解不等式；
若函数的最小值是2，证明：






 

答案

1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】C
12.【答案】C
13.【答案】
14.【答案】6
15.【答案】160
16.【答案】
17.【答案】解：选条件①：；转换为；
整理得，
由于；
所以；
选条件②：；
利用正弦定理得：，
所以，
由于；
所以；
选条件③：，
根据正弦定理：，
整理得；
由于由于；
所以；
由得：，，，
所以，整理得，
解得或8；
当时，；
当时，
18.【答案】解：由频率分布直方图可得，
解得，
居民用户月均用水量不超过的频率为，
所以估计全市20万居民用户中月均用水量不高于的用户数为“万；
由频率分布直方图知居民用户月均用水量不超过的频率为：，
月均用水量不超过的频率为，
则的居民用户月均用水量不超过的标准，
故，
解得，即x的值为；
因为，
所以小明家上个月的用水量达到第二阶梯收费，
设小明家上个月的用水量为，由，
得所以小明家上个月的用水量为
19.【答案】证明：底面ABC是边长为2的正三角形，O为BC的中点，
连接AO，

点在底面ABC的射影为BC的中点O，
而，平面
又平面，
，
解：由可知OA，OB，两两垂直，
分别以OB，OA，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系

则由题意有，，，
，
所以，，，
设为平面的法向量，
则，
令，则，
所以是平面的一个法向量．
设所求角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为
20.【答案】解：当时，
则
由得，，舍去
当时，成立，则在、上单调递增；
当时，成立，则在上单调递减．
综上，当时，函数的增区间为，减区间为
解：因
求导得
①当时，由，可得，函数只有一个零点，不符合题意；
②当时，由可得，由可得，
所以，函数在上递增，在上递减，
由，取，
令，
则在内成立，
故在上单调递增．
则
则
由此得有两个零点等价于，
得，则
③当时，，
当时，对任意的恒成立，
在上单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；
当且时，由得舍去，若，即当时，由可得，由可得或，此时，函数的递增区间为、，单调递减区间为，此时，函数有两个极值点；
同理，当时，函数的递增区间为、，单调递减区间为，此时，函数也有两个极值点；
因为
令，
令，其中，，
当或时，；当时，
所以，，所以，，故
又，所以，至多只有一个零点，不符合题意．
综上，实数a的取值范围为
21.【答案】解：依题意得，
设，由抛物线性质，可得，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心纵坐标为
由已知圆半径也为1，据此可知该圆与x轴相切于点故圆心纵坐标为
则，
代入抛物线方程得，所以
所以抛物线C的方程为
在曲线上任取一点，设切点为，
因为，所以在点处的切线斜率为，
则在点处的抛物线的切线方程为，
又点在切线上，所以同理可得，
则切点弦AB的方程为，
联立方程组消y得，
由韦达定理得，，
因为，所以，
点O到AB的距离为，
则，
点在曲线上，则
故
令，
时，恒成立，令在上单调递增．所以的面积的取值范围
22.【答案】解：由已知得代入，
消去参数t得：曲线的普通方程为
由曲线的极坐标方程得，
又，，，
所以即
所以曲线是圆心为，半径等于的圆．
因为曲线上恰有三个点到曲线的距离为，
所以圆心到直线的距离
即
解得
23.【答案】解法一：当，时，不等式为
当时不等式化为得，
故；
当时不等式化为得
故；
当时不等式化为
故
综上可知，不等式的解集为，
解法二：用图象解，
作出与的图象：

由，由，
所以不等式的解集为
证明：易知，
因为的最小值是2且，所以，
故
所以
当且仅当时取等号