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第22章二次函数（解答题中档题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（广西）
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这是一份第22章二次函数（解答题中档题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（广西），共19页。试卷主要包含了之间的函数图象如图所示，，顶点为M等内容，欢迎下载使用。
第22章二次函数（解答题中档题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（广西）
一．二次函数的应用（共3小题）
1．（2022•贺州）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
2．（2022•广西）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．
3．（2021•广西）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
二．二次函数综合题（共5小题）
4．（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．
5．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF；
（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．
6．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线y＝x2+bx+c恰好经过这两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点C的坐标是（0，6），将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求BP+EP取最小值时，点P的坐标．
7．（2020•百色）如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）求证：直线AB与⊙O相切．
（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．
8．（2020•柳州）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；
（3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第22章二次函数（解答题中档题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（广西）
参考答案与试题解析
一．二次函数的应用（共3小题）
1．（2022•贺州）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）根据题意，得y＝200﹣×4（x﹣48）
＝﹣2x+296，
∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣2x+296；
（2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296）
＝﹣2（x﹣91）2+6498，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，W有最大值，
当x＝91时，W最大值＝6498，
答：每套售价定为：91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．
2．（2022•广西）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．
【解答】解：（1）设函数解析式为y＝kx+b，由题意得：
，
解得：，
∴y＝﹣5x+500，
当y＝0时，﹣5x+500＝0，
∴x＝100，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+500（50＜x＜100的小数位数只有一位且小数部分为偶数的数）；
（2）设销售利润为w元，
w＝（x﹣50）（﹣5x+500）＝﹣5x2+750x﹣25000＝﹣5（x﹣75）2+3125，
∵抛物线开口向下，
∴50＜x＜100，
∴当x＝75时，w有最大值，是3125，
∴当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是3125元．
3．（2021•广西）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：
，解得：，
∴抛物线C2的函数解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：
﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1，
整理得：（m﹣12）（m+4）＝0，
解得：m1＝12，m2＝﹣4（舍去），
故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；
（3）C1：y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣7）2+，
当x＝7时，运动员到达坡顶，
即﹣×72+7b+4＞3+，
解得：b＞．
二．二次函数综合题（共5小题）
4．（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．
【解答】解：（1）将A（0，3）和B（，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，
，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n，把A（0，3）和B（，﹣）代入，
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
当y＝0时，﹣x+3＝0，
解得：x＝2，
∴C点坐标为（2，0），
∵PD⊥x轴，PE∥x轴，
∴∠ACO＝∠DEP，
∴Rt△DPE∽Rt△AOC，
∴，
∴PE＝PD，
∴PD+PE＝PD，
设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则D点坐标为（a，﹣a+3），
∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣（a﹣）2+，
∴PD+PE＝﹣（a﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当a＝时，PD+PE有最大值为；
（3）①当△AOC∽△APD时，
∵PD⊥x轴，∠DPA＝90°，
∴点P纵坐标是3，横坐标x＞0，
即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2，
∴点D的坐标为（2，0）；
∵PD⊥x轴，
∴点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为：y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）；
②当△AOC∽△DAP时，
此时∠APG＝∠ACO，
过点A作AG⊥PD于点G，
∴△APG∽△ACO，
∴，
设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则D点坐标为（m，﹣m+3），
则，
解得：m＝，
∴D点坐标为（，1），P点坐标为（，），
综上，点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）或P点坐标为（，），D点坐标为（，1）．
5．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF；
（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．
【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入
得：，解得，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）证明：∵正方形OBDC，
∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，
∵BF＝BF，
∴△BOF≌△BDF，
∴∠BOF＝∠BDF；
（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，
∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，
∴E（2，3），
①如图，
当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，
∴∠FDM为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，
∴DF＝DM，
∴∠M＝∠DFM，
∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，
∵BM∥OC，
∴∠M＝∠MOC，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，
∴∠M＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝，
∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；
②如图，
当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，
∴MF＝DM，
∴∠BDF＝∠MFD，
∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BMO＝2∠BOM，
∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，
∴∠BOM＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝，
∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，
综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．
6．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线y＝x2+bx+c恰好经过这两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点C的坐标是（0，6），将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求BP+EP取最小值时，点P的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣4分别与x，y轴交于点A，B，
∴当x＝0时，y＝﹣4；当y＝0时，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，﹣4），
∵抛物线y＝x2+bx+c恰好经过这两点．
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣4；
（2）①∵将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，
∴∠OCF＝90°，CF＝CO＝6，EF＝AO＝3，EF∥y轴，
∴E（6，3），
当x＝6时，y＝＝3，
∴点E在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，
∵A（﹣3，0），B（0，﹣4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∵sin∠ABO＝，
∴HP＝BP，
∴BP+EP＝HP+PE，
∴当E，P，H三点共线时，HP+PE有最小值，最小值为EH的长，
作EG⊥y轴于G，
∵∠GEP＝∠ABO，
∴tan∠GEP＝tan∠ABO，
∴，
∴，
∴PG＝，
∴OP＝﹣3＝，
∴P（0，﹣）．
7．（2020•百色）如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）求证：直线AB与⊙O相切．
（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为A（0，2），
∴可设抛物线的解析式为：y＝ax2+2，
∵抛物线经过点B（2，0），
∴4a+2＝0，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2；
（2）证明：∵A（0，2），B（2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
∵OC⊥AB，
∴•OA•OB＝•AB•OC，
∴×2×2＝×2•OC，
解得：OC＝，
∵⊙O的半径r＝，
∴OC是⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切；
（3）∵点P在抛物线y＝﹣x2+2上，
∴可设P（x，﹣x2+2），
以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，
可得：AC＝OM＝，CM＝OA＝2，
∵点C是AB的中点，
∴C（1，1），M（1，﹣1），
设直线OM的解析式为y＝kx，将点M（1，﹣1）代入，
得：k＝﹣1，
∴直线OM的解析式为y＝﹣x，
∵点P在OM上，
∴﹣x2+2＝﹣x，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
∴y1＝﹣1﹣，y2＝﹣1+，
∴P1（1+，﹣1﹣），P2（1﹣，﹣1+），
如图，当点P位于P1位置时，
OP1＝＝＝（1+）＝+，
∴P1M＝OP1﹣OM＝+﹣＝，
当点P位于P2位置时，同理可得：OP2＝﹣，
∴P2M＝OP2﹣OM＝﹣﹣＝﹣2；
综上所述，PM的长是或﹣2．
8．（2020•柳州）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；
（3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2；
（2）由y＝（x﹣2）2+a﹣4得：A（0，a），M（2，a﹣4），
由y＝x﹣a 得C（0，﹣a），
设直线AM的解析式为y＝kx+a，
将M（2，a﹣4）代入y＝kx+a中，得2k+a＝a﹣4，
解得k＝﹣2，
直线AM的解析式为y＝﹣2x+a，
联立方程组得，解得 ，
∴D（a，a），
∵a＜0，
∴点D在第二象限，
又点A与点C关于原点对称，
∴AC是以P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点D关于原点对称，
即P（a，a），
将点P（﹣a，a）代入抛物线y＝x2﹣4x+a，解得a＝或a＝0（舍去），
∴a＝；
（3）存在，
理由如下：当a＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，此时M（2，﹣9），
令y＝0，即（x﹣2）2﹣9＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴点F（﹣1，0）E（5，0），
∴EN＝FN＝3 MN＝9，
设点Q（m，m2﹣4m﹣5），则G（m，0），
∴EG＝|m﹣5|，QG＝|m2﹣4m﹣5|，
又△QEG与△MNE都是直角三角形，且∠MNE＝∠QGE＝90°，
如图所示，需分两种情况进行讨论：
i）当＝＝3时，即＝3，
当m＝2时点Q与点M重合，不符合题意，舍去，
当m＝﹣4时，此时Q坐标为点Q1（﹣4，27）；
ii）当＝＝＝时，即＝，
解得m＝或m＝或m＝5（舍去），
当m＝时，Q坐标为点Q2（，），
当m＝，Q坐标为点Q3（，），
综上所述，点Q的坐标为（﹣4，27）或（，）或（，）．
第22章二次函数（解答题中档题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（广西）
一．二次函数的应用（共3小题）
1．（2022•贺州）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
2．（2022•广西）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．
3．（2021•广西）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
二．二次函数综合题（共5小题）
4．（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．
5．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF；
（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．
6．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线y＝x2+bx+c恰好经过这两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点C的坐标是（0，6），将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求BP+EP取最小值时，点P的坐标．
7．（2020•百色）如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）求证：直线AB与⊙O相切．
（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．
8．（2020•柳州）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；
（3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第22章二次函数（解答题中档题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（广西）
参考答案与试题解析
一．二次函数的应用（共3小题）
1．（2022•贺州）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）根据题意，得y＝200﹣×4（x﹣48）
＝﹣2x+296，
∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣2x+296；
（2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296）
＝﹣2（x﹣91）2+6498，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，W有最大值，
当x＝91时，W最大值＝6498，
答：每套售价定为：91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．
2．（2022•广西）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．
【解答】解：（1）设函数解析式为y＝kx+b，由题意得：
，
解得：，
∴y＝﹣5x+500，
当y＝0时，﹣5x+500＝0，
∴x＝100，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+500（50＜x＜100的小数位数只有一位且小数部分为偶数的数）；
（2）设销售利润为w元，
w＝（x﹣50）（﹣5x+500）＝﹣5x2+750x﹣25000＝﹣5（x﹣75）2+3125，
∵抛物线开口向下，
∴50＜x＜100，
∴当x＝75时，w有最大值，是3125，
∴当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是3125元．
3．（2021•广西）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：
，解得：，
∴抛物线C2的函数解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：
﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1，
整理得：（m﹣12）（m+4）＝0，
解得：m1＝12，m2＝﹣4（舍去），
故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；
（3）C1：y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣7）2+，
当x＝7时，运动员到达坡顶，
即﹣×72+7b+4＞3+，
解得：b＞．
二．二次函数综合题（共5小题）
4．（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；
（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．
【解答】解：（1）将A（0，3）和B（，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，
，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n，把A（0，3）和B（，﹣）代入，
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
当y＝0时，﹣x+3＝0，
解得：x＝2，
∴C点坐标为（2，0），
∵PD⊥x轴，PE∥x轴，
∴∠ACO＝∠DEP，
∴Rt△DPE∽Rt△AOC，
∴，
∴PE＝PD，
∴PD+PE＝PD，
设点P的坐标为（a，﹣a2+2a+3），则D点坐标为（a，﹣a+3），
∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣（a﹣）2+，
∴PD+PE＝﹣（a﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当a＝时，PD+PE有最大值为；
（3）①当△AOC∽△APD时，
∵PD⊥x轴，∠DPA＝90°，
∴点P纵坐标是3，横坐标x＞0，
即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2，
∴点D的坐标为（2，0）；
∵PD⊥x轴，
∴点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为：y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）；
②当△AOC∽△DAP时，
此时∠APG＝∠ACO，
过点A作AG⊥PD于点G，
∴△APG∽△ACO，
∴，
设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则D点坐标为（m，﹣m+3），
则，
解得：m＝，
∴D点坐标为（，1），P点坐标为（，），
综上，点P的坐标为（2，3），点D的坐标为（2，0）或P点坐标为（，），D点坐标为（，1）．
5．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF；
（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．
【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入
得：，解得，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）证明：∵正方形OBDC，
∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，
∵BF＝BF，
∴△BOF≌△BDF，
∴∠BOF＝∠BDF；
（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，
∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，
∴E（2，3），
①如图，
当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，
∴∠FDM为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，
∴DF＝DM，
∴∠M＝∠DFM，
∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，
∵BM∥OC，
∴∠M＝∠MOC，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，
∴∠M＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝，
∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；
②如图，
当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，
∴MF＝DM，
∴∠BDF＝∠MFD，
∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BMO＝2∠BOM，
∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，
∴∠BOM＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝，
∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，
综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．
6．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线y＝x2+bx+c恰好经过这两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点C的坐标是（0，6），将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求BP+EP取最小值时，点P的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣4分别与x，y轴交于点A，B，
∴当x＝0时，y＝﹣4；当y＝0时，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，﹣4），
∵抛物线y＝x2+bx+c恰好经过这两点．
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣4；
（2）①∵将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，
∴∠OCF＝90°，CF＝CO＝6，EF＝AO＝3，EF∥y轴，
∴E（6，3），
当x＝6时，y＝＝3，
∴点E在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，
∵A（﹣3，0），B（0，﹣4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∵sin∠ABO＝，
∴HP＝BP，
∴BP+EP＝HP+PE，
∴当E，P，H三点共线时，HP+PE有最小值，最小值为EH的长，
作EG⊥y轴于G，
∵∠GEP＝∠ABO，
∴tan∠GEP＝tan∠ABO，
∴，
∴，
∴PG＝，
∴OP＝﹣3＝，
∴P（0，﹣）．
7．（2020•百色）如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）求证：直线AB与⊙O相切．
（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为A（0，2），
∴可设抛物线的解析式为：y＝ax2+2，
∵抛物线经过点B（2，0），
∴4a+2＝0，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2；
（2）证明：∵A（0，2），B（2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
∵OC⊥AB，
∴•OA•OB＝•AB•OC，
∴×2×2＝×2•OC，
解得：OC＝，
∵⊙O的半径r＝，
∴OC是⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切；
（3）∵点P在抛物线y＝﹣x2+2上，
∴可设P（x，﹣x2+2），
以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，
可得：AC＝OM＝，CM＝OA＝2，
∵点C是AB的中点，
∴C（1，1），M（1，﹣1），
设直线OM的解析式为y＝kx，将点M（1，﹣1）代入，
得：k＝﹣1，
∴直线OM的解析式为y＝﹣x，
∵点P在OM上，
∴﹣x2+2＝﹣x，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
∴y1＝﹣1﹣，y2＝﹣1+，
∴P1（1+，﹣1﹣），P2（1﹣，﹣1+），
如图，当点P位于P1位置时，
OP1＝＝＝（1+）＝+，
∴P1M＝OP1﹣OM＝+﹣＝，
当点P位于P2位置时，同理可得：OP2＝﹣，
∴P2M＝OP2﹣OM＝﹣﹣＝﹣2；
综上所述，PM的长是或﹣2．
8．（2020•柳州）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；
（3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2；
（2）由y＝（x﹣2）2+a﹣4得：A（0，a），M（2，a﹣4），
由y＝x﹣a 得C（0，﹣a），
设直线AM的解析式为y＝kx+a，
将M（2，a﹣4）代入y＝kx+a中，得2k+a＝a﹣4，
解得k＝﹣2，
直线AM的解析式为y＝﹣2x+a，
联立方程组得，解得 ，
∴D（a，a），
∵a＜0，
∴点D在第二象限，
又点A与点C关于原点对称，
∴AC是以P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点D关于原点对称，
即P（a，a），
将点P（﹣a，a）代入抛物线y＝x2﹣4x+a，解得a＝或a＝0（舍去），
∴a＝；
（3）存在，
理由如下：当a＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，此时M（2，﹣9），
令y＝0，即（x﹣2）2﹣9＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴点F（﹣1，0）E（5，0），
∴EN＝FN＝3 MN＝9，
设点Q（m，m2﹣4m﹣5），则G（m，0），
∴EG＝|m﹣5|，QG＝|m2﹣4m﹣5|，
又△QEG与△MNE都是直角三角形，且∠MNE＝∠QGE＝90°，
如图所示，需分两种情况进行讨论：
i）当＝＝3时，即＝3，
当m＝2时点Q与点M重合，不符合题意，舍去，
当m＝﹣4时，此时Q坐标为点Q1（﹣4，27）；
ii）当＝＝＝时，即＝，
解得m＝或m＝或m＝5（舍去），
当m＝时，Q坐标为点Q2（，），
当m＝，Q坐标为点Q3（，），
综上所述，点Q的坐标为（﹣4，27）或（，）或（，）．
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