还剩25页未读，
继续阅读
所属成套资源：[中考真题】各版本各地区九年级数学上学期期末复习培优练习
成套系列资料，整套一键下载
第24章+圆（解答题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖北）
展开
这是一份第24章+圆（解答题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖北），共28页。试卷主要包含了CD＝5m等内容，欢迎下载使用。
第24章 圆（解答题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖北）
一．垂径定理（共1小题）
1．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．
（1）直接判断AD与BD的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．
二．圆周角定理（共1小题）
2．（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
三．直线与圆的位置关系（共1小题）
3．（2020•襄阳）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且＝，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4，CD＝，求图中阴影部分的面积．
四．切线的性质（共3小题）
4．（2022•恩施州）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
（1）求证：∠ADE＝∠PAE．
（2）若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE．
（3）若PE＝4，CD＝6，求CE的长．
5．（2020•十堰）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交半圆O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AE＝2DE，试判断以O，A，E，C为顶点的四边形的形状，并说明理由．
6．（2020•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
五．切线的判定（共1小题）
7．（2020•宜昌）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2a，∠ABC＝60°，过点B的⊙O与边AB，BC分别交于E，F两点．OG⊥BC，垂足为G，OG＝a．连接OB，OE，OF．
（1）若BF＝2a，试判断△BOF的形状，并说明理由；
（2）若BE＝BF，求证：⊙O与AD相切于点A．
六．切线的判定与性质（共6小题）
8．（2022•荆门）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若BE＝6，试求cos∠CDA的值．
9．（2022•十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若BG＝1，BF＝3，求CF的长．
10．（2021•湖北）如图，AB为⊙O直径，D为⊙O上一点，BC⊥CD于点C，交⊙O于点E，CD与BA的延长线交于点F，BD平分∠ABC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，CE＝1，求CD和DF的长．
11．（2021•襄阳）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D，OA与⊙O交于点E，与DC交于点G，OA＝OB，CA＝CB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若FC∥OA，CD＝6，求图中阴影部分面积．
12．（2021•恩施州）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若AO＝20，BO＝15，求CE的长．
13．（2021•湖北）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O与BC，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC，连接OA．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
七．扇形面积的计算（共1小题）
14．（2022•荆门）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；
（2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．
第24章 圆（解答题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖北）
参考答案与试题解析
一．垂径定理（共1小题）
1．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．
（1）直接判断AD与BD的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．
【解答】解：（1）∵OC⊥AB，
∴AD＝BD；
（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝26，CD＝5，
∴BD＝AB＝13，
OD＝OC﹣CD＝R﹣5，
∵∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（R﹣5）2+132＝R2，
解得R＝19.4≈19，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m．
二．圆周角定理（共1小题）
2．（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
【解答】（1）解：△BDE为等腰直角三角形．
证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△MBG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．
三．直线与圆的位置关系（共1小题）
3．（2020•襄阳）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且＝，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4，CD＝，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵＝，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠CAD＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，连接BE交OC于F，
∵＝，
∴OC⊥BE，BF＝EF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，
∴四边形DEFC是矩形，
∴EF＝CD＝，
∴BE＝2，
∴AE＝＝＝2，
∴AE＝AB，
∴∠ABE＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∵＝，
∴∠COE＝∠BOC＝60°，
连接CE，
∵OE＝OC，
∴△COE是等边三角形，
∴∠ECO＝∠BOC＝60°，
∴CE∥AB，
∴S△ACE＝S△COE，
∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴DE＝CD＝1，
∴AD＝3，
∴图中阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形COE＝3﹣＝﹣．
四．切线的性质（共3小题）
4．（2022•恩施州）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
（1）求证：∠ADE＝∠PAE．
（2）若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE．
（3）若PE＝4，CD＝6，求CE的长．
【解答】（1）证明：连接OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴AO⊥PA，
∴∠OAE+∠PAE＝90°．
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DAE＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°．
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠ADE＝∠PAE；
（2）证明：由（1）知：∠ADE＝∠PAE＝30°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠ADE＝60°．
∵∠AED＝∠PAE+∠APE，
∴∠APE＝∠PAE＝30°，
∴AE＝PE；
（3）解：设CE＝x，则DE＝CD+CE＝6+x，
∴OA＝OE＝，
∴OC＝OE﹣CE＝，
OP＝OE+PE＝．
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，PO平分∠APB，
∴PO⊥AB．
∵PA为⊙O的切线，
∴AO⊥PA，
∴△OAC∽△OPA，
∴，
∴，
即：x2+10x﹣24＝0．
解得：x＝2或﹣12（不合题意，舍去），
∴CE＝2．
5．（2020•十堰）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交半圆O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AE＝2DE，试判断以O，A，E，C为顶点的四边形的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）证明：连接OC，如下图所示：
∵CD为圆O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D+∠OCD＝180°，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
又OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAB．
（2）四边形EAOC为菱形，理由如下：
连接EC、OC，OE如下图所示，
由圆内接四边形对角互补可知，∠B+∠AEC＝180°，
又∠AEC+∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝∠B，
又∠B+∠CAB＝90°，
∠DEC+∠DCE＝90°，
∴∠CAB＝∠DCE，
又∠CAB＝∠CAE，
∴∠DCE＝∠CAE，且∠D＝∠D，
∴△DCE∽△DAC，
设DE＝x，则AE＝2x，AD＝AE+DE＝3x，
∴，
∴CD2＝AD•DE＝3x2，
∴，
在Rt△ACD中，，
∴∠DAC＝30°，
∴∠DAO＝2∠DAC＝60°，且OA＝OE，
∴△OAE为等边三角形，
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠EOC＝2∠EAC＝60°，
∴△EOC为等边三角形，
∴EA＝AO＝OE＝EC＝CO，
即EA＝AO＝OC＝CE，
∴四边形EAOC为菱形．
另解：连接EC，过点O作OF⊥AD于点F，
∴AF＝EF＝AE＝DE，
∵∠OCD＝∠CDF＝∠OFD＝90°，
∴四边形OCDF是矩形，
∴OC＝DF＝DE+EF＝2DE，
∴OC∥AE，OC＝AE，
∴四边形OCEA是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴四边形OCEA是菱形．
另解二：连接BE、EC交OC于F，
∵AB为⊙O的直径，OC∥AD，
∴∠AEB＝∠CFE＝90°，
∴四边形DEFC为矩形，
∴CF＝DE＝AE，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴＝，
∴EF＝FB，OF为△ABF中位线，
∴OF＝CF＝AE，
∴OC∥AE，OC＝AE，
∴四边形AOCE为平行四边形，
∵OA＝OC，
∴四边形AOCE为菱形．
6．（2020•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
【解答】解：（1）连接OD，如图1，
∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F，
∴∠ODF＝90°，
∴∠ADO+∠BDF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD+∠BDF＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠OAD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠BDF，
∴BF＝DF；
（2）连接OF，OD，如图2，
设圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵AC＝4，BC＝3，CF＝1，
∴OC＝4﹣r，DF＝BF＝3﹣1＝2，
∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2，
∴r2+22＝（4﹣r）2+12，
∴．
故圆的半径为．
五．切线的判定（共1小题）
7．（2020•宜昌）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2a，∠ABC＝60°，过点B的⊙O与边AB，BC分别交于E，F两点．OG⊥BC，垂足为G，OG＝a．连接OB，OE，OF．
（1）若BF＝2a，试判断△BOF的形状，并说明理由；
（2）若BE＝BF，求证：⊙O与AD相切于点A．
【解答】（1）解：△BOF为等腰直角三角形．
理由如下：∵OG⊥BC，
∴BG＝FG＝BF＝a，
∵OG＝a，
∴BG＝OG，FG＝OG，
∴△BOG和△OFG都是等腰直角三角形，
∴∠BOG＝∠FOG＝45°，
∴∠BOF＝90°，
而OB＝OF，
∴△BOF为等腰直角三角形．
（2）证明：连接EF，如图，
∵∠EBF＝60°，BF＝BE，
∴△BEF为等边三角形，
∴EB＝EF，
∵OG垂直平分BF，
∴点E、O、G共线，
即EG⊥BF，
∵OG＝a，∠OBG＝30°，
∴BG＝OG＝a，
∴BE＝2BG＝2a，
而AB＝2a，
∴点A与点E重合，
∵AD∥BC，AG⊥BF，
∴AG⊥AD，
∴⊙O与AD相切于点A
六．切线的判定与性质（共6小题）
8．（2022•荆门）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若BE＝6，试求cos∠CDA的值．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDE+∠ADC＝90°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠ADC，
∵EB＝DB，
∴∠E＝∠BDE，
∴∠E+∠BCE＝90°，
∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵OC＝3，
∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，
∵BE＝6，
∴BD＝BE＝6，
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，
∴36+（r+3）2＝（2r）2，
∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去），
∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，
在Rt△EBC中，EC＝＝＝2，
∴cos∠ECB＝＝＝，
∴cos∠CDA＝cos∠ECB＝，
∴cos∠CDA的值为．
9．（2022•十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若BG＝1，BF＝3，求CF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OF，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OF＝OC，
∴∠C＝∠OFC，
∴∠OFC＝∠B，
∴OF∥AB，
∵FG⊥AB，
∴FG⊥OF，
又∵OF是半径，
∴GF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OE，过点O作OH⊥CF于H，
∵BG＝1，BF＝3，∠BGF＝90°，
∴FG＝＝＝2，
∵⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
又∵AB⊥GF，OF⊥GF，
∴四边形GFOE是矩形，
∴OE＝GF＝2，
∴OF＝OC＝2，
又∵OH⊥CF，
∴CH＝FH，
∵cosC＝cosB＝，
∴，
∴CH＝，
∴CF＝．
10．（2021•湖北）如图，AB为⊙O直径，D为⊙O上一点，BC⊥CD于点C，交⊙O于点E，CD与BA的延长线交于点F，BD平分∠ABC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，CE＝1，求CD和DF的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵BD平分∠ABC．
∴∠ABD＝∠DBC，
又∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠DBC＝∠ODB，
又∵BC⊥CD，
∴∠C＝90°，
∴∠DBC+∠BDC＝90°，
∴∠ODB+∠BDC＝90°，
即OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接AE交OD于点H，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠HEC＝90°，
∵BC⊥CD，OD⊥DC，
∴∠ODC＝∠C＝90°，
∴四边形HECD是矩形，
∴DH＝CE＝1，HE＝CD，∠EHD＝90°，HE∥CD，
∴OD⊥AE，
∴AH＝HE，
∵AB＝10，
∴OA＝OD＝5，
∴OH＝OD﹣DH＝5﹣1＝4，
∴AH＝，
∴HE＝AH＝3，
∴CD＝HE＝3，
∵HE∥CD，
∴△OAH∽△OFD，
∴，
∴，
∴DF＝．
11．（2021•襄阳）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D，OA与⊙O交于点E，与DC交于点G，OA＝OB，CA＝CB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若FC∥OA，CD＝6，求图中阴影部分面积．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB，
∵OC是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵DF是圆O 的直径，
∴∠DCF＝90°，
∵FC∥OA，
∴∠DGO＝∠DCF＝90°，
∴DC⊥OE，
∴DG＝CD＝×6＝3，
∵OD＝OC，
∴∠DOG＝∠COG，
∵OA＝OB，AC＝CB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠AOC＝∠BOC＝×180°＝60°，
在Rt△ODG中，
∵sin∠DOG＝，cos∠DOG＝，
∴OD＝＝＝2，
OG＝OD•cos∠DOG＝2×＝，
∴S阴影＝S扇形ODE﹣S△DOG＝﹣××3＝2π﹣．
12．（2021•恩施州）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若AO＝20，BO＝15，求CE的长．
【解答】（1）证明：∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵∠AOC＝2∠ACE，
∴∠OCA＝∠OCE+∠ACE＝（∠OCE+∠OEC+∠AOC）＝＝90°，
∴OC⊥AB，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：作EH⊥AC于H，
∵AO＝20，BO＝15，
∴AB＝＝＝25，
∵，
即，
∴OC＝12，
∴AE＝OA﹣OE＝20﹣12＝8，
∵EH⊥AC，OC⊥AC，
∴EH∥OC，
∴△AEH∽△AOC，
∴＝，
即＝，
∴EH＝，
∵BC＝＝＝9，
∴AC＝AB﹣BC＝25﹣9＝16，
∵AH＝＝＝，
∴CH＝AC﹣AH＝16﹣＝，
∴CE＝＝＝．
13．（2021•湖北）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O与BC，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC，连接OA．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：
连接OE，OF，过点O作OD⊥AB于点D，
∵BC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵BO是∠ABC的平分线，
∴OD＝OE，OD是圆的一条半径，
∴AB是⊙O的切线，
故：AB是⊙O的切线．
（2）∵BC、AC与圆分别相切于点E、点F，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴四边形OECF是正方形，
∴OE＝OF＝EC＝FC＝1，
∴BC＝BE+EC＝4，又AC＝3，
∴S阴影＝（S△ABC﹣S正方形OECF﹣优弧所对的S扇形EOF）
＝×（×4×3﹣1×1﹣）
＝﹣．
故图中阴影部分的面积是：﹣．
七．扇形面积的计算（共1小题）
14．（2022•荆门）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；
（2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，半径R＝3，
∴S＝＝，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴S△OAB＝，
∴阴影部分的面积S阴＝﹣．
（2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，
∵相切两圆的连心线必过切点，
∴O、O1、C三点共线，
∴∠EOO1＝∠AOB＝30°，∠OEO1＝90°，
在Rt△OO1E中，
∵∠EOO1＝30°，
∴OO1＝2O1E，
∴O1E＝1，
∴⊙O1的半径O1E＝1．
∴S1＝πr2＝π．
第24章 圆（解答题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖北）
一．垂径定理（共1小题）
1．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．
（1）直接判断AD与BD的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．
二．圆周角定理（共1小题）
2．（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
三．直线与圆的位置关系（共1小题）
3．（2020•襄阳）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且＝，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4，CD＝，求图中阴影部分的面积．
四．切线的性质（共3小题）
4．（2022•恩施州）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
（1）求证：∠ADE＝∠PAE．
（2）若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE．
（3）若PE＝4，CD＝6，求CE的长．
5．（2020•十堰）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交半圆O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AE＝2DE，试判断以O，A，E，C为顶点的四边形的形状，并说明理由．
6．（2020•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
五．切线的判定（共1小题）
7．（2020•宜昌）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2a，∠ABC＝60°，过点B的⊙O与边AB，BC分别交于E，F两点．OG⊥BC，垂足为G，OG＝a．连接OB，OE，OF．
（1）若BF＝2a，试判断△BOF的形状，并说明理由；
（2）若BE＝BF，求证：⊙O与AD相切于点A．
六．切线的判定与性质（共6小题）
8．（2022•荆门）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若BE＝6，试求cos∠CDA的值．
9．（2022•十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若BG＝1，BF＝3，求CF的长．
10．（2021•湖北）如图，AB为⊙O直径，D为⊙O上一点，BC⊥CD于点C，交⊙O于点E，CD与BA的延长线交于点F，BD平分∠ABC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，CE＝1，求CD和DF的长．
11．（2021•襄阳）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D，OA与⊙O交于点E，与DC交于点G，OA＝OB，CA＝CB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若FC∥OA，CD＝6，求图中阴影部分面积．
12．（2021•恩施州）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若AO＝20，BO＝15，求CE的长．
13．（2021•湖北）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O与BC，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC，连接OA．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
七．扇形面积的计算（共1小题）
14．（2022•荆门）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；
（2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．
第24章 圆（解答题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖北）
参考答案与试题解析
一．垂径定理（共1小题）
1．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．
（1）直接判断AD与BD的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．
【解答】解：（1）∵OC⊥AB，
∴AD＝BD；
（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝26，CD＝5，
∴BD＝AB＝13，
OD＝OC﹣CD＝R﹣5，
∵∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（R﹣5）2+132＝R2，
解得R＝19.4≈19，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m．
二．圆周角定理（共1小题）
2．（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
【解答】（1）解：△BDE为等腰直角三角形．
证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△MBG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．
三．直线与圆的位置关系（共1小题）
3．（2020•襄阳）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且＝，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4，CD＝，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵＝，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠CAD＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，连接BE交OC于F，
∵＝，
∴OC⊥BE，BF＝EF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，
∴四边形DEFC是矩形，
∴EF＝CD＝，
∴BE＝2，
∴AE＝＝＝2，
∴AE＝AB，
∴∠ABE＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∵＝，
∴∠COE＝∠BOC＝60°，
连接CE，
∵OE＝OC，
∴△COE是等边三角形，
∴∠ECO＝∠BOC＝60°，
∴CE∥AB，
∴S△ACE＝S△COE，
∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴DE＝CD＝1，
∴AD＝3，
∴图中阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形COE＝3﹣＝﹣．
四．切线的性质（共3小题）
4．（2022•恩施州）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
（1）求证：∠ADE＝∠PAE．
（2）若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE．
（3）若PE＝4，CD＝6，求CE的长．
【解答】（1）证明：连接OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴AO⊥PA，
∴∠OAE+∠PAE＝90°．
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DAE＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°．
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠ADE＝∠PAE；
（2）证明：由（1）知：∠ADE＝∠PAE＝30°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠ADE＝60°．
∵∠AED＝∠PAE+∠APE，
∴∠APE＝∠PAE＝30°，
∴AE＝PE；
（3）解：设CE＝x，则DE＝CD+CE＝6+x，
∴OA＝OE＝，
∴OC＝OE﹣CE＝，
OP＝OE+PE＝．
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，PO平分∠APB，
∴PO⊥AB．
∵PA为⊙O的切线，
∴AO⊥PA，
∴△OAC∽△OPA，
∴，
∴，
即：x2+10x﹣24＝0．
解得：x＝2或﹣12（不合题意，舍去），
∴CE＝2．
5．（2020•十堰）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交半圆O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AE＝2DE，试判断以O，A，E，C为顶点的四边形的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）证明：连接OC，如下图所示：
∵CD为圆O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D+∠OCD＝180°，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
又OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAB．
（2）四边形EAOC为菱形，理由如下：
连接EC、OC，OE如下图所示，
由圆内接四边形对角互补可知，∠B+∠AEC＝180°，
又∠AEC+∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝∠B，
又∠B+∠CAB＝90°，
∠DEC+∠DCE＝90°，
∴∠CAB＝∠DCE，
又∠CAB＝∠CAE，
∴∠DCE＝∠CAE，且∠D＝∠D，
∴△DCE∽△DAC，
设DE＝x，则AE＝2x，AD＝AE+DE＝3x，
∴，
∴CD2＝AD•DE＝3x2，
∴，
在Rt△ACD中，，
∴∠DAC＝30°，
∴∠DAO＝2∠DAC＝60°，且OA＝OE，
∴△OAE为等边三角形，
由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠EOC＝2∠EAC＝60°，
∴△EOC为等边三角形，
∴EA＝AO＝OE＝EC＝CO，
即EA＝AO＝OC＝CE，
∴四边形EAOC为菱形．
另解：连接EC，过点O作OF⊥AD于点F，
∴AF＝EF＝AE＝DE，
∵∠OCD＝∠CDF＝∠OFD＝90°，
∴四边形OCDF是矩形，
∴OC＝DF＝DE+EF＝2DE，
∴OC∥AE，OC＝AE，
∴四边形OCEA是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴四边形OCEA是菱形．
另解二：连接BE、EC交OC于F，
∵AB为⊙O的直径，OC∥AD，
∴∠AEB＝∠CFE＝90°，
∴四边形DEFC为矩形，
∴CF＝DE＝AE，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴＝，
∴EF＝FB，OF为△ABF中位线，
∴OF＝CF＝AE，
∴OC∥AE，OC＝AE，
∴四边形AOCE为平行四边形，
∵OA＝OC，
∴四边形AOCE为菱形．
6．（2020•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
【解答】解：（1）连接OD，如图1，
∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F，
∴∠ODF＝90°，
∴∠ADO+∠BDF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD+∠BDF＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠OAD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠BDF，
∴BF＝DF；
（2）连接OF，OD，如图2，
设圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵AC＝4，BC＝3，CF＝1，
∴OC＝4﹣r，DF＝BF＝3﹣1＝2，
∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2，
∴r2+22＝（4﹣r）2+12，
∴．
故圆的半径为．
五．切线的判定（共1小题）
7．（2020•宜昌）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2a，∠ABC＝60°，过点B的⊙O与边AB，BC分别交于E，F两点．OG⊥BC，垂足为G，OG＝a．连接OB，OE，OF．
（1）若BF＝2a，试判断△BOF的形状，并说明理由；
（2）若BE＝BF，求证：⊙O与AD相切于点A．
【解答】（1）解：△BOF为等腰直角三角形．
理由如下：∵OG⊥BC，
∴BG＝FG＝BF＝a，
∵OG＝a，
∴BG＝OG，FG＝OG，
∴△BOG和△OFG都是等腰直角三角形，
∴∠BOG＝∠FOG＝45°，
∴∠BOF＝90°，
而OB＝OF，
∴△BOF为等腰直角三角形．
（2）证明：连接EF，如图，
∵∠EBF＝60°，BF＝BE，
∴△BEF为等边三角形，
∴EB＝EF，
∵OG垂直平分BF，
∴点E、O、G共线，
即EG⊥BF，
∵OG＝a，∠OBG＝30°，
∴BG＝OG＝a，
∴BE＝2BG＝2a，
而AB＝2a，
∴点A与点E重合，
∵AD∥BC，AG⊥BF，
∴AG⊥AD，
∴⊙O与AD相切于点A
六．切线的判定与性质（共6小题）
8．（2022•荆门）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若BE＝6，试求cos∠CDA的值．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDE+∠ADC＝90°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠ADC，
∵EB＝DB，
∴∠E＝∠BDE，
∴∠E+∠BCE＝90°，
∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵OC＝3，
∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，
∵BE＝6，
∴BD＝BE＝6，
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，
∴36+（r+3）2＝（2r）2，
∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去），
∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，
在Rt△EBC中，EC＝＝＝2，
∴cos∠ECB＝＝＝，
∴cos∠CDA＝cos∠ECB＝，
∴cos∠CDA的值为．
9．（2022•十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若BG＝1，BF＝3，求CF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OF，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OF＝OC，
∴∠C＝∠OFC，
∴∠OFC＝∠B，
∴OF∥AB，
∵FG⊥AB，
∴FG⊥OF，
又∵OF是半径，
∴GF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OE，过点O作OH⊥CF于H，
∵BG＝1，BF＝3，∠BGF＝90°，
∴FG＝＝＝2，
∵⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
又∵AB⊥GF，OF⊥GF，
∴四边形GFOE是矩形，
∴OE＝GF＝2，
∴OF＝OC＝2，
又∵OH⊥CF，
∴CH＝FH，
∵cosC＝cosB＝，
∴，
∴CH＝，
∴CF＝．
10．（2021•湖北）如图，AB为⊙O直径，D为⊙O上一点，BC⊥CD于点C，交⊙O于点E，CD与BA的延长线交于点F，BD平分∠ABC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，CE＝1，求CD和DF的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵BD平分∠ABC．
∴∠ABD＝∠DBC，
又∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠DBC＝∠ODB，
又∵BC⊥CD，
∴∠C＝90°，
∴∠DBC+∠BDC＝90°，
∴∠ODB+∠BDC＝90°，
即OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接AE交OD于点H，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠HEC＝90°，
∵BC⊥CD，OD⊥DC，
∴∠ODC＝∠C＝90°，
∴四边形HECD是矩形，
∴DH＝CE＝1，HE＝CD，∠EHD＝90°，HE∥CD，
∴OD⊥AE，
∴AH＝HE，
∵AB＝10，
∴OA＝OD＝5，
∴OH＝OD﹣DH＝5﹣1＝4，
∴AH＝，
∴HE＝AH＝3，
∴CD＝HE＝3，
∵HE∥CD，
∴△OAH∽△OFD，
∴，
∴，
∴DF＝．
11．（2021•襄阳）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D，OA与⊙O交于点E，与DC交于点G，OA＝OB，CA＝CB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若FC∥OA，CD＝6，求图中阴影部分面积．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB，
∵OC是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵DF是圆O 的直径，
∴∠DCF＝90°，
∵FC∥OA，
∴∠DGO＝∠DCF＝90°，
∴DC⊥OE，
∴DG＝CD＝×6＝3，
∵OD＝OC，
∴∠DOG＝∠COG，
∵OA＝OB，AC＝CB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠AOC＝∠BOC＝×180°＝60°，
在Rt△ODG中，
∵sin∠DOG＝，cos∠DOG＝，
∴OD＝＝＝2，
OG＝OD•cos∠DOG＝2×＝，
∴S阴影＝S扇形ODE﹣S△DOG＝﹣××3＝2π﹣．
12．（2021•恩施州）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若AO＝20，BO＝15，求CE的长．
【解答】（1）证明：∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵∠AOC＝2∠ACE，
∴∠OCA＝∠OCE+∠ACE＝（∠OCE+∠OEC+∠AOC）＝＝90°，
∴OC⊥AB，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：作EH⊥AC于H，
∵AO＝20，BO＝15，
∴AB＝＝＝25，
∵，
即，
∴OC＝12，
∴AE＝OA﹣OE＝20﹣12＝8，
∵EH⊥AC，OC⊥AC，
∴EH∥OC，
∴△AEH∽△AOC，
∴＝，
即＝，
∴EH＝，
∵BC＝＝＝9，
∴AC＝AB﹣BC＝25﹣9＝16，
∵AH＝＝＝，
∴CH＝AC﹣AH＝16﹣＝，
∴CE＝＝＝．
13．（2021•湖北）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O与BC，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC，连接OA．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：
连接OE，OF，过点O作OD⊥AB于点D，
∵BC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵BO是∠ABC的平分线，
∴OD＝OE，OD是圆的一条半径，
∴AB是⊙O的切线，
故：AB是⊙O的切线．
（2）∵BC、AC与圆分别相切于点E、点F，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴四边形OECF是正方形，
∴OE＝OF＝EC＝FC＝1，
∴BC＝BE+EC＝4，又AC＝3，
∴S阴影＝（S△ABC﹣S正方形OECF﹣优弧所对的S扇形EOF）
＝×（×4×3﹣1×1﹣）
＝﹣．
故图中阴影部分的面积是：﹣．
七．扇形面积的计算（共1小题）
14．（2022•荆门）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；
（2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，半径R＝3，
∴S＝＝，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴S△OAB＝，
∴阴影部分的面积S阴＝﹣．
（2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，
∵相切两圆的连心线必过切点，
∴O、O1、C三点共线，
∴∠EOO1＝∠AOB＝30°，∠OEO1＝90°，
在Rt△OO1E中，
∵∠EOO1＝30°，
∴OO1＝2O1E，
∴O1E＝1，
∴⊙O1的半径O1E＝1．
∴S1＝πr2＝π．
相关试卷
第26反比例函数（解答题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖北）： 这是一份第26反比例函数（解答题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖北），共22页。试卷主要包含了的图象经过点D，两点，与y轴交于点C，两点，已知，的一个交点为C，且BC＝AC，两点，连接OA，OB等内容，欢迎下载使用。
第25章概率初步（解答题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖北）： 这是一份第25章概率初步（解答题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖北），共34页。
第24章+圆（选择题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖北）： 这是一份第24章+圆（选择题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（湖北），共26页。
