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第27章相似-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（广西）
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第27章相似-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（广西）
一．选择题（共9小题）
1．（2022•百色）已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（ ）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
2．（2022•梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知＝，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A′B′C′D′的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
3．（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021•贵港）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两角分别相等的两个三角形相似
5．（2021•贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则＝（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2020•贺州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且AD：AB＝1：3，若DE∥BC，则S△ADE：S△ABC等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
7．（2020•贵港）如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．（2020•广西）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
9．（2020•玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
二．填空题（共2小题）
10．（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是 米．
11．（2021•百色）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝ ．
三．解答题（共7小题）
12．（2022•河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．
13．（2022•贵港）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC＝∠BDC．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，sinB＝，求⊙O的半径及OD的长．
14．（2022•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．
（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．
15．（2021•百色）如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM．
（1）求证：∠P＝45°；
（2）若CD＝6，求PF的长．
16．（2021•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB＞AC．
（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；
（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．
17．（2021•玉林）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．
（1）求证：△DFC∽△AED；
（2）若CD＝AC，求的值．
18．（2020•百色）如图，在平行四边形ABCD中，N为BA延长线上一点，CN分别交BD，AD于点E，F．
（1）请找出一对相似的三角形并证明．
（2）已知BE＝2ED，若CN＝kEF，求k的值．
第27章相似-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（广西）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2022•百色）已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（ ）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A'B'C'相似比是1：3，
∴△ABC与△A'B'C'的面积比是1：9．
故选：C．
2．（2022•梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知＝，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A′B′C′D′的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
【解答】解：∵以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，＝，
∴＝＝，
则四边形A′B′C′D′面积为：18．
故选：D．
3．（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴S△ADE∽S△ABC，
∵DE＝2，BC＝5，
∴S△ADE：S△ABC的值为，
故选：B．
4．（2021•贵港）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两角分别相等的两个三角形相似
【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
5．（2021•贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则＝（ ）
A． B． C．1 D．
【解答】解：设AB＝AD＝BC＝CD＝3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝∠DCF＝45°，∠DAM＝∠DCN＝90°，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAM和△DCN中，
，
∴△DAM≌△DCN（ASA），
∴AM＝CN，
∵AB＝BC，
∴BM＝BN，
∵CN∥AD，
∴＝＝，
∴CN＝AM＝a，BM＝BN＝2a，
∴＝＝＝，
故选：A．
6．（2020•贺州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且AD：AB＝1：3，若DE∥BC，则S△ADE：S△ABC等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵，
∴＝，
故选：D．
7．（2020•贵港）如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【解答】解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝，
∵BC＝3，BD＝2，
∴＝，
∴BA＝，
∴AD＝BA﹣BD＝﹣2＝．
故选：B．
8．（2020•广西）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴＝，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故选：B．
9．（2020•玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
【解答】解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长120cm的木条不能作为一边，
设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），
由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x+y＞120cm，
当长60cm的木条与100cm的一边对应，则＝＝，
解得：x＝45，y＝72；
当长60cm的木条与120cm的一边对应，则＝＝，
解得：x＝37.5，y＝50．
∴有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段．
故选：B．
二．填空题（共2小题）
10．（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是 134 米．
【解答】解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设金字塔的高度BO为x米，则可列比例为，，
解得：x＝134，
经检验，x＝134是原方程的解，
∴BO＝134．
故答案为：134．
11．（2021•百色）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝ 3﹣ ．
【解答】解：∵AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠ACB＝72°，∠A＝36°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝36°，
∴∠A＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∵∠CDB＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，
∴∠CDB＝∠B，
∴BC＝CD，
∴BC＝AD，
∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A＝36°，
∴△BCD∽△BAC，
∴BC：AB＝BD：BC，
∴AD：AB＝BD：AD，
∴点D是AB边上的黄金分割点，AD＞BD，
∴AD＝AB＝﹣1，
∴BD＝AB﹣AD＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故答案为：3﹣．
三．解答题（共7小题）
12．（2022•河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣4，﹣6）；
13．（2022•贵港）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC＝∠BDC．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，sinB＝，求⊙O的半径及OD的长．
【解答】（1）证明：如图，作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AD＝，
∴∠CAD＝∠ACD，
∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，
又∵∠FAC＝，
∴∠FAC＝∠CAB，
即AC是∠FAB的平分线，
∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，
∴OH＝OE，OH是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sinB＝，
∴可设AC＝4x，AB＝5x，
∴（5x）2﹣（4x）2＝62，
∴x＝2，
则AC＝8，AB＝10，
设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，
∵Rt△AOE∽Rt△ABC，
∴，
即，
∴r＝3，
∴AE＝4，
又∵AD＝5，
∴DE＝1，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD＝．
14．（2022•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．
（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝∠ABF＝∠BAD＝90°，
∴∠DAE+∠BAE＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠BAF+∠BAE＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴△ADE∽△ABF，
∴，即，
∴BF＝2a，
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AG∥CE，
∵GC∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．
∴AG＝CE＝8﹣a，
∴BG＝AB﹣AG＝8﹣（8﹣a）＝a，
在Rt△BGF中，GF2＝a2+（2a）2＝5a2，
在Rt△CEF中，EF2＝（2a+4）2+（8﹣a）2＝5a2+80，
在Rt△ADE中，AE2＝42+a2＝16+a2，
如图，过点G作GM⊥AF于点M，
∴GM∥AE，
∴△MGF∽△AEF，
∴，
∴，
∴＝，
∴GM＝a，
∴GM＝BG，
又∵GM⊥AF，GB⊥FC，
∴GF是∠AFB的角平分线，
∴EA＝EC，
∴平行四边形AGCE是菱形．
解法二：∵AG∥CE，CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∴AG＝CE，
∵AB＝CD，
∴BG＝DE＝a，
∴tan∠EFC＝＝＝，
∴EC＝a+2＝8﹣a
∴a＝3，
∴AE＝＝5，
∴AE＝CE＝5，
∴四边形AGCE是菱形．
15．（2021•百色）如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM．
（1）求证：∠P＝45°；
（2）若CD＝6，求PF的长．
【解答】解：（1）证明：连接OB，
∵PM、PN切⊙O于点A、B，
∴OA⊥PM，OB⊥PN，
∵CE∥PN，
∴OB⊥CE，
∵OB＝OC，
∴∠C＝45°，
∵BC∥PM，
∴四边形PBCE是平行四边形，
∴∠P＝∠C＝45°；
（2）∵CD＝6，
∴OB＝OA＝OD＝3，
由（1）得∠1＝∠P＝45°，
∴AE＝OA＝3，
∴OE＝＝3＝BC，
∴PE＝BC＝3，ED＝OE﹣OD＝3﹣3，
∵ED∥PF，
∴△AED∽△APF，
∴＝，
即＝，
∴PF＝3．
16．（2021•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB＞AC．
（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；
（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求．
（2）如图，点E即为所求．
17．（2021•玉林）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．
（1）求证：△DFC∽△AED；
（2）若CD＝AC，求的值．
【解答】（1）证明：∵DF∥AB，DE∥BC，
∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，
∴∠DFC＝∠AED，
又∵DE∥BC，
∴∠DCF＝∠ADE，
∴△DFC∽△AED；
（2）∵CD＝AC，
∴＝
由（1）知△DFC和△AED的相似比为：＝，
故：＝（）2＝（）2＝．
18．（2020•百色）如图，在平行四边形ABCD中，N为BA延长线上一点，CN分别交BD，AD于点E，F．
（1）请找出一对相似的三角形并证明．
（2）已知BE＝2ED，若CN＝kEF，求k的值．
【解答】解：（1）答案不唯一，比如△DEF∽△BEC，证明如下：
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠FDE＝∠EBC，∠DFE＝∠BCE，
∴△DEF∽△BEC；
（2）∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠FDE＝∠EBC，∠DFE＝∠BCE，
∴△DEF∽△BEC，
∴，
∵BE＝2ED，
∴CE＝2FE，
设FE＝m，则CE＝2m，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥DC，
∴∠DCE＝∠BNE，∠EDC＝∠EBN，
∴△DCE∽△BNE，
∴，
∵BE＝2DE，
∴NE＝2CE，
∴NE＝4m，
∴CN＝6m，
∴CN＝6EF，即k＝6．
第27章相似-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（广西）
一．选择题（共9小题）
1．（2022•百色）已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（ ）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
2．（2022•梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知＝，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A′B′C′D′的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
3．（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021•贵港）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两角分别相等的两个三角形相似
5．（2021•贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则＝（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2020•贺州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且AD：AB＝1：3，若DE∥BC，则S△ADE：S△ABC等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
7．（2020•贵港）如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．（2020•广西）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
9．（2020•玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
二．填空题（共2小题）
10．（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是 米．
11．（2021•百色）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝ ．
三．解答题（共7小题）
12．（2022•河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．
13．（2022•贵港）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC＝∠BDC．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，sinB＝，求⊙O的半径及OD的长．
14．（2022•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．
（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．
15．（2021•百色）如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM．
（1）求证：∠P＝45°；
（2）若CD＝6，求PF的长．
16．（2021•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB＞AC．
（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；
（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．
17．（2021•玉林）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．
（1）求证：△DFC∽△AED；
（2）若CD＝AC，求的值．
18．（2020•百色）如图，在平行四边形ABCD中，N为BA延长线上一点，CN分别交BD，AD于点E，F．
（1）请找出一对相似的三角形并证明．
（2）已知BE＝2ED，若CN＝kEF，求k的值．
第27章相似-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（广西）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2022•百色）已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（ ）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A'B'C'相似比是1：3，
∴△ABC与△A'B'C'的面积比是1：9．
故选：C．
2．（2022•梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知＝，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A′B′C′D′的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
【解答】解：∵以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，＝，
∴＝＝，
则四边形A′B′C′D′面积为：18．
故选：D．
3．（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴S△ADE∽S△ABC，
∵DE＝2，BC＝5，
∴S△ADE：S△ABC的值为，
故选：B．
4．（2021•贵港）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两角分别相等的两个三角形相似
【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
5．（2021•贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则＝（ ）
A． B． C．1 D．
【解答】解：设AB＝AD＝BC＝CD＝3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝∠DCF＝45°，∠DAM＝∠DCN＝90°，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAM和△DCN中，
，
∴△DAM≌△DCN（ASA），
∴AM＝CN，
∵AB＝BC，
∴BM＝BN，
∵CN∥AD，
∴＝＝，
∴CN＝AM＝a，BM＝BN＝2a，
∴＝＝＝，
故选：A．
6．（2020•贺州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且AD：AB＝1：3，若DE∥BC，则S△ADE：S△ABC等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵，
∴＝，
故选：D．
7．（2020•贵港）如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【解答】解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴＝，
∵BC＝3，BD＝2，
∴＝，
∴BA＝，
∴AD＝BA﹣BD＝﹣2＝．
故选：B．
8．（2020•广西）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴＝，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故选：B．
9．（2020•玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
【解答】解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长120cm的木条不能作为一边，
设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），
由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x+y＞120cm，
当长60cm的木条与100cm的一边对应，则＝＝，
解得：x＝45，y＝72；
当长60cm的木条与120cm的一边对应，则＝＝，
解得：x＝37.5，y＝50．
∴有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段．
故选：B．
二．填空题（共2小题）
10．（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是 134 米．
【解答】解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设金字塔的高度BO为x米，则可列比例为，，
解得：x＝134，
经检验，x＝134是原方程的解，
∴BO＝134．
故答案为：134．
11．（2021•百色）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝ 3﹣ ．
【解答】解：∵AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠ACB＝72°，∠A＝36°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝36°，
∴∠A＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∵∠CDB＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，
∴∠CDB＝∠B，
∴BC＝CD，
∴BC＝AD，
∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A＝36°，
∴△BCD∽△BAC，
∴BC：AB＝BD：BC，
∴AD：AB＝BD：AD，
∴点D是AB边上的黄金分割点，AD＞BD，
∴AD＝AB＝﹣1，
∴BD＝AB﹣AD＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故答案为：3﹣．
三．解答题（共7小题）
12．（2022•河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣4，﹣6）；
13．（2022•贵港）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC＝∠BDC．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，sinB＝，求⊙O的半径及OD的长．
【解答】（1）证明：如图，作OH⊥FA，垂足为H，连接OE，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AD＝，
∴∠CAD＝∠ACD，
∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，
又∵∠FAC＝，
∴∠FAC＝∠CAB，
即AC是∠FAB的平分线，
∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E，
∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，
∴OH＝OE，OH是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sinB＝，
∴可设AC＝4x，AB＝5x，
∴（5x）2﹣（4x）2＝62，
∴x＝2，
则AC＝8，AB＝10，
设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，
∵Rt△AOE∽Rt△ABC，
∴，
即，
∴r＝3，
∴AE＝4，
又∵AD＝5，
∴DE＝1，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD＝．
14．（2022•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．
（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；
（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝∠ABF＝∠BAD＝90°，
∴∠DAE+∠BAE＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠BAF+∠BAE＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴△ADE∽△ABF，
∴，即，
∴BF＝2a，
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AG∥CE，
∵GC∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．
∴AG＝CE＝8﹣a，
∴BG＝AB﹣AG＝8﹣（8﹣a）＝a，
在Rt△BGF中，GF2＝a2+（2a）2＝5a2，
在Rt△CEF中，EF2＝（2a+4）2+（8﹣a）2＝5a2+80，
在Rt△ADE中，AE2＝42+a2＝16+a2，
如图，过点G作GM⊥AF于点M，
∴GM∥AE，
∴△MGF∽△AEF，
∴，
∴，
∴＝，
∴GM＝a，
∴GM＝BG，
又∵GM⊥AF，GB⊥FC，
∴GF是∠AFB的角平分线，
∴EA＝EC，
∴平行四边形AGCE是菱形．
解法二：∵AG∥CE，CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∴AG＝CE，
∵AB＝CD，
∴BG＝DE＝a，
∴tan∠EFC＝＝＝，
∴EC＝a+2＝8﹣a
∴a＝3，
∴AE＝＝5，
∴AE＝CE＝5，
∴四边形AGCE是菱形．
15．（2021•百色）如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM．
（1）求证：∠P＝45°；
（2）若CD＝6，求PF的长．
【解答】解：（1）证明：连接OB，
∵PM、PN切⊙O于点A、B，
∴OA⊥PM，OB⊥PN，
∵CE∥PN，
∴OB⊥CE，
∵OB＝OC，
∴∠C＝45°，
∵BC∥PM，
∴四边形PBCE是平行四边形，
∴∠P＝∠C＝45°；
（2）∵CD＝6，
∴OB＝OA＝OD＝3，
由（1）得∠1＝∠P＝45°，
∴AE＝OA＝3，
∴OE＝＝3＝BC，
∴PE＝BC＝3，ED＝OE﹣OD＝3﹣3，
∵ED∥PF，
∴△AED∽△APF，
∴＝，
即＝，
∴PF＝3．
16．（2021•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB＞AC．
（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；
（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求．
（2）如图，点E即为所求．
17．（2021•玉林）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．
（1）求证：△DFC∽△AED；
（2）若CD＝AC，求的值．
【解答】（1）证明：∵DF∥AB，DE∥BC，
∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，
∴∠DFC＝∠AED，
又∵DE∥BC，
∴∠DCF＝∠ADE，
∴△DFC∽△AED；
（2）∵CD＝AC，
∴＝
由（1）知△DFC和△AED的相似比为：＝，
故：＝（）2＝（）2＝．
18．（2020•百色）如图，在平行四边形ABCD中，N为BA延长线上一点，CN分别交BD，AD于点E，F．
（1）请找出一对相似的三角形并证明．
（2）已知BE＝2ED，若CN＝kEF，求k的值．
【解答】解：（1）答案不唯一，比如△DEF∽△BEC，证明如下：
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠FDE＝∠EBC，∠DFE＝∠BCE，
∴△DEF∽△BEC；
（2）∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠FDE＝∠EBC，∠DFE＝∠BCE，
∴△DEF∽△BEC，
∴，
∵BE＝2ED，
∴CE＝2FE，
设FE＝m，则CE＝2m，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥DC，
∴∠DCE＝∠BNE，∠EDC＝∠EBN，
∴△DCE∽△BNE，
∴，
∵BE＝2DE，
∴NE＝2CE，
∴NE＝4m，
∴CN＝6m，
∴CN＝6EF，即k＝6．
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