第28章+锐角三角形-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（黑龙江）

第28章 锐角三角形-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（黑龙江）

一．选择题（共3小题）

1．（2022•黑龙江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（　　）米

A．600﹣250 B．600﹣250 C．350+350 D．500

2．（2021•黑龙江）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（　　）

A．1 B．2 C． D．

3．（2020•黑龙江）如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为（　　）

A． B． C． D．2

二．填空题（共2小题）

4．（2022•绥化）定义一种运算：

sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，

sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．

例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为 　   　．

5．（2022•齐齐哈尔）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝　   　．

三．解答题（共5小题）

6．（2022•牡丹江）先化简，再求值．（x﹣）÷，其中x＝cos30°．

7．（2022•绥化）如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得∠DAC＝30°；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得∠EBC＝48°，仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度．（结果保留小数点后一位）

（参考数据：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）

8．（2022•齐齐哈尔）（1）计算：（﹣1）0+（）﹣2+|﹣2|+tan60°；

（2）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy．

9．（2022•大庆）如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度AB．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CD为1000m，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度AB（结果精确到1m，参考数据：≈1.4142，≈1.7321）．

10．（2021•大庆）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参考数据≈1.732）

第28章 锐角三角形-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（黑龙江）

参考答案与试题解析

一．选择题（共3小题）

1．（2022•黑龙江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（　　）米

A．600﹣250 B．600﹣250 C．350+350 D．500

【解答】解：设EF＝5x米，

∵斜坡BE的坡度为5：12，

∴BF＝12x米，

由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，

解得：x＝100，

则EF＝500米，BF＝1200米，

由题意可知，四边形DCFE为矩形，

∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，

在Rt△ADE中，tan∠AED＝，

则DE＝＝AD，

在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，

∴＝，

解得：AD＝600﹣750，

∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，

故选：B．

2．（2021•黑龙江）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（　　）

A．1 B．2 C． D．

【解答】解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，

∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，

∴△ABC∽△DBM，

∴＝＝，

∵AB＝2BD，

∴＝＝＝，

在Rt△CDM中，

由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，

又∵＝＝，

∴BC＝2k，AC＝4k，

∴＝＝2，

故选：B．

3．（2020•黑龙江）如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为（　　）

A． B． C． D．2

【解答】解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，

∵tanC＝2＝，sinB＝＝，

∴AD＝2DC，AB＝3AD，

∵AB＝3，

∴AD＝1，DC＝，

在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，

故选：B．

二．填空题（共2小题）

4．（2022•绥化）定义一种运算：

sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，

sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．

例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为 　　．

【解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）

＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°

＝×﹣×

＝﹣

＝．

故答案为：．

5．（2022•齐齐哈尔）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝　3+3或3﹣3　．

【解答】解：①当△ABC为锐角三角形时，

过点A作AD⊥BC于点D，如图，

∵AB＝3，∠B＝45°，

∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，

∴CD＝＝3，

∴BC＝BD+CD＝3+3；

②当△ABC为钝角三角形时，

过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，如图，

∵AB＝3，∠B＝45°，

∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，

∴CD＝＝3，

∴BC＝BD﹣CD＝3﹣3；

综上，BC的长为3+3或3﹣3．

三．解答题（共5小题）

6．（2022•牡丹江）先化简，再求值．（x﹣）÷，其中x＝cos30°．

【解答】解：原式＝•

＝•

＝x﹣1，

∵x＝cos30°＝，

∴原式＝﹣1．

7．（2022•绥化）如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得∠DAC＝30°；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得∠EBC＝48°，仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度．（结果保留小数点后一位）

（参考数据：≈1.732，sin48°≈0.743，cos48°≈0.669，tan48°≈1.111）

【解答】解：在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，AC＝30米，

∴CD＝AC•tan30°＝30×＝10（米），

∵AB＝10米，

∴BC＝AC﹣AB＝20（米），

在Rt△BCE中，∠EBC＝48°，

∴EC＝BC•tan48°≈20×1.111＝22.22（米），

∴DE＝EC﹣DC＝22.22﹣10≈4.9（米），

∴广告牌ED的高度约为4.9米．

8．（2022•齐齐哈尔）（1）计算：（﹣1）0+（）﹣2+|﹣2|+tan60°；

（2）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy．

【解答】解：原式＝1++（2﹣）

＝1+9+

＝12；

（2）原式＝xy（x2﹣6x+9）

＝xy（x﹣3）2．

9．（2022•大庆）如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度AB．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CD为1000m，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度AB（结果精确到1m，参考数据：≈1.4142，≈1.7321）．

【解答】解：由题意得：

∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，

在Rt△ACD中，CD＝1000m，

∴AD＝＝1000（m），

在Rt△BCD中，BD＝＝＝1000（m），

∴AB＝BD﹣AD＝100﹣1000≈732（m），

∴这条江的宽度AB约为732m．

10．（2021•大庆）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参考数据≈1.732）

【解答】解：过点A作AM∥BD，过B点作BM⊥BD，AM与BM交于点M，

∵在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，

∴∠NAC＝75°，

∴∠CAM＝15°，

∵由A点向南偏西45°方向行走到达B点，

∴∠MAB＝45°，

∴∠MBA＝45°，

∵C点在B点的北偏西45°方向，

∴∠CBM＝45°，

∴∠CBA＝90°，∠CBD＝45°，

∵C点在D点的北偏东22.5°方向，

∴∠PDC＝22.5°，

∴∠BDC＝67.5°，

∴∠DCB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，

∴BD＝BC，

由题可得DB＝2km，

∴BC＝2km，

在Rt△ABC中，∠CAB＝15°+45°＝60°，BC＝2，

∴AC＝≈2.3km．