第28章锐角三角函数（解答题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（广西）

第28章锐角三角函数（解答题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（广西）

一．特殊角的三角函数值（共1小题）

1．（2022•贵港）（1）计算：|1﹣|+（2022﹣π）0+（﹣）﹣2﹣tan60°；

（2）解不等式组：

二．解直角三角形（共1小题）

2．（2022•贺州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．

（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积．

三．解直角三角形的应用（共1小题）

3．（2022•梧州）今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB．

如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，AB⊥CB，垂足为点B，∠ACB＝52°，∠ADB＝60°，CD＝200m，求AB的高度．（精确到1m）

（参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，≈1.73）

四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共4小题）

4．（2022•河池）如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36m，求居民楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．

5．（2022•贺州）如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为1.2m的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角∠B′C′A＝60°，∠B′D′A＝30°，同时量得CD为60m．问烟囱AB的高度为多少米？（精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）

6．（2021•河池）如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为100m，从A处看风筝的仰角为30°，小明的父母从C处看风筝的仰角为50°．

（1）风筝离地面多少m？

（2）A、C相距多少m？

（结果保留小数点后一位，参考数据：sin30°＝0.5，cos30°≈0.8660，tan30°≈0.5774，sin50°≈0.7760，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）

7．（2020•贺州）如图，小丽站在电子显示屏正前方5m远的A1处看“防溺水六不准”，她看显示屏顶端B的仰角为60°，显示屏底端C的仰角为45°，已知小丽的眼睛与地面距离AA1＝1.6m，求电子显示屏高BC的值．（结果保留一位小数，参考数据：≈1.414，≈1.732）．

五．解直角三角形的应用-方向角问题（共3小题）

8．（2021•贺州）如图，一艘轮船离开A港沿着东北方向直线航行60海里到达B处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达C处，求AC的距离．

9．（2021•柳州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．

（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；

（2）求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．

10．（2020•广西）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．

（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？

（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？

第28章锐角三角函数（解答题）-【人教版-中考真题】九年级数学上学期期末复习培优练习（广西）

参考答案与试题解析

一．特殊角的三角函数值（共1小题）

1．（2022•贵港）（1）计算：|1﹣|+（2022﹣π）0+（﹣）﹣2﹣tan60°；

（2）解不等式组：

【解答】解：（1）原式＝﹣1+1+4﹣

＝4；

（2）解不等式①，得：x＜，

解不等式②，得：x≥﹣1，

∴不等式组的解集为﹣1≤x．

二．解直角三角形（共1小题）

2．（2022•贺州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．

（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积．

【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，

AD＝BC．AE∥FC，

∵ED＝BF，

∴AD﹣ED＝BC﹣BF，

∴AE＝FC，

∴四边形AFCE是平行四边形；

（2）解：∵AE∥FC，

∴∠EAC＝∠ACF，

∴∠EAC＝∠FAC，

∴∠ACF＝∠FAC，

∴AF＝FC，

∵四边形AFCE是平行四边形，

∴平行四边形AFCE是菱形，

∴AO＝AC＝4，AC⊥EF，

在Rt△AOE中，AO＝4，tan∠DAC＝，

∴EO＝3，

∴S△AEO＝AO•EO＝6，

S菱形＝4S△AEO＝24．

三．解直角三角形的应用（共1小题）

3．（2022•梧州）今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB．

如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，AB⊥CB，垂足为点B，∠ACB＝52°，∠ADB＝60°，CD＝200m，求AB的高度．（精确到1m）

（参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，≈1.73）

【解答】解：设AB＝xm，

在Rt△ABC中，

∵tan∠ACB＝，

∴tan52°＝，

∴BC＝．

在Rt△ABD中，

∵tan∠ADB＝，

∴tan60°＝，

∴BD＝．

∵CD＝CB﹣DB，

∴＝200，

解得：x≈984．

∴AB的高度约为984米．

四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共4小题）

4．（2022•河池）如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36m，求居民楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．

【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，

由题意得，CD＝36m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，

在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，

∴BE＝CE＝CD＝36m，

在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，

∴AE＝CE•tan33°≈36×0.65≈23.4（m），

∴AB＝AE+BE＝36+23.4＝59.4≈59（m），

答：居民楼AB的高度约为59m．

5．（2022•贺州）如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为1.2m的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角∠B′C′A＝60°，∠B′D′A＝30°，同时量得CD为60m．问烟囱AB的高度为多少米？（精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）

【解答】解：由题意得：

BB′＝DD′＝CC′＝1.2米，D′C′＝DC＝60米，

∵∠AC′B′是△AD′C′的一个外角，

∴∠D′AC′＝∠AC′B′﹣∠AD′B′＝30°，

∴∠AD′C′＝∠D′AC′＝30°，

∴D′C′＝AC′＝60米，

在Rt△AC′B′中，∠AC′B′＝60°，

∴AB′＝AC′•sin60°＝60×＝30（米），

∴AB＝AB′+BB′＝30+1.2≈53.2（米），

∴烟囱AB的高度约为53.2米．

6．（2021•河池）如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为100m，从A处看风筝的仰角为30°，小明的父母从C处看风筝的仰角为50°．

（1）风筝离地面多少m？

（2）A、C相距多少m？

（结果保留小数点后一位，参考数据：sin30°＝0.5，cos30°≈0.8660，tan30°≈0.5774，sin50°≈0.7760，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）

【解答】解：（1）过B作BD⊥AC于D，如图所示：

则∠ADB＝∠CDB＝90°，

∵∠BAD＝30°，

∴BD＝AB＝50（m），

即风筝离地面50m；

（2）由（1）得：BD＝50m，

在Rt△BCD中，∠BCD＝50°，

∵tan∠BCD＝＝tan50°≈1.1918，

∴CD≈＝≈41.95（m），

在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，

∵tan∠BAD＝＝tan30°≈0.5774，

∴AD≈≈86.60（m），

∴AC＝AD+CD≈41.95+86.60≈128.6（m），

即A、C相距约128.6m．

7．（2020•贺州）如图，小丽站在电子显示屏正前方5m远的A1处看“防溺水六不准”，她看显示屏顶端B的仰角为60°，显示屏底端C的仰角为45°，已知小丽的眼睛与地面距离AA1＝1.6m，求电子显示屏高BC的值．（结果保留一位小数，参考数据：≈1.414，≈1.732）．

【解答】解：过A作AD⊥BC于D，如图所示：

由题意得：AD＝5m，∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，

∴△ACD是等腰直角三角形，

∴CD＝AD＝5m，

在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝，

∴BD＝AD＝5（m），

∴BC＝BD﹣CD＝5﹣5≈3.7（m），

答：电子显示屏高BC的值约为3.7m．

五．解直角三角形的应用-方向角问题（共3小题）

8．（2021•贺州）如图，一艘轮船离开A港沿着东北方向直线航行60海里到达B处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达C处，求AC的距离．

【解答】解：延长CB交AD于点D，则∠ADB＝90°，

由题意可知∠DAB＝45°，

∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝45°，

∴∠ABD＝∠DAB，

∴AD＝BD，

在Rt△ABD中，

∵AB＝60海里，sin∠DAB＝，

∴AD＝BD＝AB•sin45°＝60×＝60（海里），

∵BC＝20海里，

∴DC＝60+20＝80（海里），

在Rt△ADC中，

由勾股定理得，AC＝＝＝100（海里），

答：AC的距离为100海里．

9．（2021•柳州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．

（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；

（2）求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．

【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：

则∠PCA＝∠PCB＝90°，

由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠CBP＝45°，

在Rt△ACP中，∵∠CAP＝30°，∠PCA＝90°，

∴PC＝PA＝60海里，

在Rt△BCP中，∵∠PCB＝90°，∠CBP＝45°，sin∠CBP＝，

∴PB＝＝＝60（海里），

答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60海里；

（2）∵PA＝120海里，PB＝60海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，

∴救助船A所用的时间为＝3（小时），救助船B所用的时间为＝2（小时），

∵3＞2，

∴救助船B先到达．

10．（2020•广西）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．

（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？

（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？

【解答】解：（1）过B作BM⊥AC于M，

由题意可知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°，

在Rt△ABM中，∵∠BAM＝45°，AB＝40nmile，

∴BM＝AM＝AB＝20nmile，

∴渔船航行20nmile距离小岛B最近；

（2）∵BM＝20nmile，MC＝20nmile，

∴tan∠MBC＝＝＝，

∴∠MBC＝60°，

∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，

在Rt△BCM中，∵∠CBM＝60°，BM＝20nmile，

∴BC＝＝2BM＝40nmile，

故救援队从B处出发沿点B的南偏东45°的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是40nmile．