2021-2022学年河北省石家庄市平山县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

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2021-2022学年河北省石家庄市平山县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共16小题，共42分）   下列式子中是分式的是(    )A.  B.  C.  D.    下列图标中轴对称图形的个数是(    )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个   下列计算中，正确的是(    )A.  B.  C.  D.    若分式的值为零，则的值是(    )A.  B.  C.  D.    如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断≌的是(    )A.
B.
C.
D.    等腰三角形的一个角是，则它的底角是(    )A.  B. 或 C.  D.    如图，，于，于，与交于点有下列结论：
≌；≌；点在的平分线上；点在的中垂线上．
以上结论正确的有个．(    )
 A.  B.  C.  D.    一定能将三角形的面积分成相等的两部分的是三角形的(    )A. 高线 B. 中线 C. 角平分线 D. 都不是   若分式中的和都扩大到原来的倍，那么分式的值(    )A. 扩大到原来的倍 B. 不变 C. 缩小到原来的 D. 缩小到原来的如图，在五边形中，，且，，则(    )A.
B.
C.
D. 如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，若，则的边长为(    )
A.  B.  C.  D. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是(    )A.  B.  C.  D. 已知实数，满足，，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点，若
与的周长分别是，，则为(    )A.
B.
C.
D. 如图，是可调躺椅示意图，与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使根据图中数据信息，下列调整大小的方法正确的是(    )A. 增大
B. 减小
C. 增大
D. 减小已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是(    )A. 且 B.  C. 且 D. 且二、填空题（本题共3小题，共12分）分解因式：______．计算：的结果为______．现有甲，乙、丙三种不同的矩形纸片边长如图．

取甲、乙纸片各块，其面积和为______．
嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片块，再取乙纸片块，还需取丙纸片______块．三、解答题（本题共7小题，共66分）计算：；
解方程：．先化简，再化简：，请你从的整数解中选取一个合适的数代入求值．如图，，平分，且点是的中点，求证：．
如图，三个顶点的坐标分别为，，．
若与关于轴成轴对称，在图中画出，点坐标为______．
若直线与轴相交于点，在轴上是否存在点使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由；
在轴上找一点，使的值最小，点的坐标是______．
如图，和都是等边三角形，点、、在同一直线上，连接。
求证：；
求的度数。
为迎接“均衡教育大检查”，县委县府对通往某偏远学校的一段全长为 米的道路进行了改造，铺设草油路面．铺设 米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用天完成道路改造任务．
求原计划每天铺设路面多少米；
若承包商原来每天支付工人工资为元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？如图，直线分别与轴、轴交于、两点，平分交于点，点为线段上一点，过点作交轴于点，已知，，且、满足．
求、两点的坐标；
若点为中点，延长交轴于点，在的延长线上取点，使，连接．
与轴的位置关系怎样？说明理由；
求的长；
如图，若点的坐标为，点是轴的正半轴上一动点，点是直线上一点，且点的坐标为，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，分母中都没有未知数，所以不是分式，而分母中有未知数，故D选项是分式．
故选：．
根据分式的定义逐个判断即可．
本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，已知整式和，如果中分母含有字母，那么叫分式．
 2.【答案】 【解析】解：图是轴对称图形，图是轴对称图形；图是轴对称图形；图不是轴对称图形，
轴对称图形共个，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 3.【答案】 【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则、零指数幂的性质分别计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算、零指数幂的性质等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
 4.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了分式的值为零，正确把握相关定义是解题关键，直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【解答】
解：分式的值为零，只能分子为，分母不能为．
，，
解得．
故选：．  5.【答案】 【解析】解：、添加，可根据判定≌，故正确；
B、添加，不能判定≌，故错误；
C、添加，可根据判定≌，故正确；
D、添加，可根据判定≌，故正确．
故选：．
本题要判定≌，已知，，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 6.【答案】 【解析】解：
当底角为时，则底角为，
当顶角为时，由三角形内角和定理可求得底角为：，
所以底角为或，
故选：．
分这个角为底角和顶角两种情况讨论即可．
本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】证明：于，于，
，故在中，，在中，
，
在和中，
，
≌，
故选项正确，
由，，得，
在和中，
，
≌，选项正确，
≌，
，，
连接，
在和中，
，
≌，
，即点在的平分线上，选项正确，
而点不一定是的中点，故错误．
故选C．
由，，，可推出选项正确；由，可知正确；由，，可证得≌，得到正确；而点不一定是的中点，故错误．
本题主要考查了垂直定义，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质与判定，角平分线的判定，熟记三角形判定定理是解决问题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
故选：．
根据三角形的中线、角平分线、高的性质即可即可判断．
本题考查三角形的中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考基础题．
 9.【答案】 【解析】解：用和代替式子中的和得：，
则分式的值扩大为原来的倍．
故选：．
，都扩大成原来的倍就是分别变成原来的倍，变成和用和代替式子中的和，看得到的式子与原来的式子的关系．
此题考查的知识点是分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
 10.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，
，
，，
．
故选：．
根据等腰三角形的性质可求，根据两直线平行，内错角相等可求，然后根据等腰三角形两底角相等和四边形的内角和等于计算即可得解．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，以及多边形的内角和，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：是等边三角形，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，

，
，
同理，
，
以此类推：．
故选：．
根据等边三角形的性质以及外角性质得出 ，进而得出，以此类推得出答案．
此题主要考查了等边三角形的性质以及外角的性质，根据已知得出，，，进而发现规律是解题关键．
 12.【答案】 【解析】解：由题意得是的平分线，过点作于，
所以，

又，
，
在和中，

≌，
，
的面积．
故选：．
【分析】
判断出是的平分线，过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．  13.【答案】 【解析】解：，即；
    又，即；
；
；
．
       故选：．
根据完全平方公式推导出，再结合和的完全平方式代入求解即可．
本题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方式并推导出是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：是的垂直平分线，
，
的周长，的周长，
的周长的周长，
．
故选：．
首先根据是的垂直平分线，可得；然后根据的周长，的周长，可得的周长的周长，据此求出的长度是多少即可．
此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握．
 15.【答案】 【解析】解：延长，交于点，如图：

，
．
，
．
，，
．
而图中，
应减少．
故选：．
延长，交于点，依据三角形的内角和定理可求，根据对顶角相等可得，再由三角形内角和定理的推论得到的度数；利用，和三角形的外角的性质可得的度数，从而得出结论．
本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理．熟练使用上述定理是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】【分析】
先利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可．
本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
【解答】
解：方程两边同时乘以得，，
解得．
为正数，
，解得．
，
，即．
的取值范围是且．
故选A．  17.【答案】 【解析】解：原式
故答案为：
根据因式分解法即可求出答案．
本题考查因式分解法，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．
 18.【答案】 【解析】解：





，
故答案为：．
根据幂的乘方与积的乘方，零指数幂，负整数指数幂的运算法则进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，幂的乘方与积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 19.【答案】   【解析】解：甲纸片的面积是，乙纸片的面积是，
甲、乙纸片各块的面积之和是，
故答案为：；
甲纸片块和乙纸片块的面积之和为：，
且是完全平方式，
要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形时，还需取丙纸片块，
故答案为：．
分别求两个正方形面积再求它们的和；
根据完全平方式结构构造完全平方式即可．
此题考查了完全平方式几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形和完全平方式的结构准确列式、构造求解．
 20.【答案】解：


；

，
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是． 【解析】先根据单项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式进行计算，再合并同类项即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了整式的混合运算和解分式方程，能正确根据整式的运算法则进行化简是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解的关键．
 21.【答案】解：

，
当时，原式． 【解析】根据分式的减法阿和除法可以化简题目中的式子，然后从中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 22.【答案】证明：过点作于点，则，
又平分，
，
在和中，

≌，
，，
又点是的中点，
，
在和中，

≌，
，
． 【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．过点作于点，只要证明≌，≌ 即可解决问题；
 23.【答案】   【解析】解：如图所示，即为所求，点坐标为，

故答案为：；

存在．设，
如图，当点在直线的上方时，

，
，
解得，
；
如图，当点在直线的下方时，

，
，
解得，

综上所述，点的坐标为或
如图所示，点即为所求，其坐标为，
故答案为：．
作出、、关于轴的对称点、、即可得到坐标；
存在．设，构建方程即可解决问题．
作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小．
本题考查轴对称最短路线问题、三角形的面积、坐标与图形变化等知识，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
 24.【答案】证明：和都是等边三角形

，，
又，

在和中，

≌

解：在等边中，

≌

 【解析】在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。
由条件和均为等边三角形，易证≌，从而得到对应边相等，即；
根据≌，可得，由点，，在同一直线上，可求出，从而可以求出的度数。
 25.【答案】解：设原计划每天铺设路面米，根据题意可得：

解得：
检验：是原方程的解且符合题意，
答：原计划每天铺设路面米；
原来工作天；
后来工作天．
共支付工人工资：
元
答：共支付工人工资元． 【解析】设原计划每天铺设米管道，提高工作效率之后每天铺设米管道，根据共用天完成这一任务，列方程解答即可．
根据中数据代入解答即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
 26.【答案】解：因为，
所以，
所以，且，
所以，，
所以，．
轴，理由如下：
因为点为中点，
所以，
在与中，
，
所以，
所以，，
因为平分，
所以，
因为，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以轴；
由可知，，为等腰直角三角形，
所以，
设，则，
因为，
所以，
解得，
即；
若为等腰直角三角形，必有，且，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
则，
因为
所以，
又
所以，
在和中，

所以，
所以，，
因为点的坐标为，点的坐标为，
所以，，
所以，
所以．
所以点，
因此，存在点使为等腰直角三角形，点的坐标为． 【解析】此题是三角形综合题，考查了偶次方和绝对值的非负性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
先把化为的形式，再根据非负数的性质求出、的值即可；
先证，得，，再证，，进而求出，即可得出结论；
由可知，，为等腰直角三角形，设，则有，由列方程，解方程即可；
过点作轴于点，过点作轴于点，证，得，，再求出，，则，然后求出，即可得出结论．