专题2.2 基本不等式- 2022-2023学年高一数学阶段性复习精选精练（人教A版2019必修第一册）

专题2.2 基本不等式

知识点①基本不等式

1．基本不等式：≤

2．基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

3．等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．

4．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．

知识点②几个重要的不等式

1．a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

2．＋≥2(a，b同号)．

3．ab≤(a，b∈R)．

4．≥ (a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

知识点③利用基本不等式求最值

1．已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.

2．已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.

注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

题型一

解法突破：两种常数处理方法.

例1 求的最小值（）.

解： 因为所以令解得（舍）

例2 求的最小值（）.

解： 因为所以令解得（舍）

题型二

解法突破: “1”的代换

例1已知，求的最小值

解：

例2 已知求的最小值

解：，

题型三 消元法

解法突破：此类题目特点是有多个变量，且变量间满足等式关系

例1已知求的最小

解：，

题型四 换元法:一般求谁最值换谁为t

例1已知求的最小

解：

令则或（舍）即的最小是6

题型五 基本不等式的使用条件

解法突破：使用基本不等式前要注意验证使用条件是否满足

例1已知求的最大值

解：,

一、单选题

1．下列说法正确的为（       ）

A．

B．函数的最小值为4

C．若则最大值为1

D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8

2．函数有（       ）

A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2

3．已知，则的最小值是(       )

A．5 B．4 C．8 D．6

4．已知，且，则的最小值是（       ）

A．6 B．8 C．14 D．16

5．设，，且，则的最大值为（       ）．

A． B． C． D．

6．下列不等式恒成立的是（       ）

A． B．

C． D．

7．已知正实数a、b满足，则的最小值为（       ）

A． B．4 C． D．

8．已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（       ）

A． B． C． D．

9．已知为正实数，且，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

10．已知x，y都是正数，若，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．1

11．已知，，且，则的最小值为（       ）

A．8 B． C．9 D．

12．已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

13．若，且，则下列不等式中成立的是（       ）

A．  B．

C． D．

14．已知实数，则的最小值是（        ）

A．1 B． C．2 D．

15．已知a，b为正实数，且，则的最小值为（       ）

A．1 B．6 C．7 D．

16．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ）

A． B．

C． D．

17．若，，则的最小值是（       ）

A．16 B．18 C．20 D．22

18．已知实数，满足，则的最小值为（       ）

A． B．

C． D．

19．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（       ）

A． B． C． D．

20．已知实数满足，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．