2022温州瑞安中学高二下学期期初测试数学试题含答案

浙江省瑞安中学2021-2022学年高二下学期期初测试

数学试题

一、选择题

1全集，，则（）

A.  B.  C.  D.

2. 若复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部是（）

A. 2i B.  C. 2 D.

3. 已知与抛物线准线相切，则（）

A B. 16 C.  D. 8

4. 已知事件A与事件B是互斥事件，则（）

A.  B.

C.  D.

5. 设点是双曲线与圆在第一象限的交点，，是双曲线的两个焦点，且，则双曲线的离心率为（）

A.  B.  C.  D.

6. 已知函数（，），其图象关于点成中心对称，相邻两条对称轴的距离为，且对任意，都有，则在下列区间中，f(x)为单调递减函数的是（）

A.  B.  C.  D.

7. 如图所示，是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，其中，圆锥的底面和球的直径都是0.2m，圆锥的高是0.24m．要对1000个这样的台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，则共需胶（）克

A. 340π B. 440π C. 4600π D. 6600π

8. 已知函数，若，则实数t的取值范围是（）

A.  B.  C.  D.

二、选择题

9. 已知直线，其中，下列说法正确的是（）

A. 若直线与直线平行，则

B. 当时，直线与直线垂直

C. 直线过定点

D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等

10. 记为公差d不为0的等差数列的前n项和，则（）

A. 成等差数列 B. 成等差数列

C.  D.

11. 若函数，则下列关于函数的说法正确的是（）

A. 最大值为1 B. 最小正周期为

C.  D. 函数在上单调递增

12. 四棱锥顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，设分别是的中点，则（）

A. 平面平面

B. 四棱锥外接球的半径为

C. 三点到平面的距离相等

D. 平面截球所得的截面面积为

三、填空题

13. ______．

14. 已知，，则______．

15已知向量，，若与共线，则实数________．

16. 为增强广大师生生态文明意识，大力推进国家森林城市建设创建进程，某班26名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵（各自挖坑种植），相邻两棵树相距均为10米，在同学们挖坑期间，运到的树苗集中放置在了某一树坑旁边，然后每位同学挖好自己的树坑后，均从各自树坑出发去领取树苗．记26位同学领取树苗往返所走的路程总和为，则的最小值为______米．

四、解答题

17. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，在①，②，③这三个条件中任选一个，并解答下列问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）：

（1）求角A；

（2）若，，求BC边上的中线长．

18. 某城市为节能减排，提出了在保障生活必需的基础上，“低碳生活，节约用电”的倡议．以下是某社区随机提取的100户居民的月平均用电量（单位：度）的数据，根据这些数据，以[160，180），[180，200），[200，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．

（1）求月平均用电量的25%分位数（精确到小数点后1位）；

（2）在月平均用电量最小组[160，180）和最大组[280，300]用户中，各随机抽取1户到社区做用电情况交流，其中最小组的甲与最大组的乙恰有一人被选到的概率．

19. 在四棱锥A－BCDE中，直线AB⊥平面BCDE，底面BCDE是梯形，BC//DE，BC⊥CD，CD＝DE＝BC＝2，F是边BC的中点.

（1）证明：AE⊥CE；

（2）若平面ADF与平面ABE所成二面角为45°，求直线AD与平面ABE所成角的正弦值.

20. 已知正项等比数列的前项和为，满足，.记.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列前项和，求使得不等式成立的的最小值.

21. 在平面直角坐标系中，已知点，，过点的动直线与过点的动直线的交点为P，，的斜率均存在且乘积为，设动点Р的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程;

（2）若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N，点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T，求的最大值.

22. 设，已知函数.

（1）若，，求函数的单调递增区间；

（2）若对任意，时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【1题答案】

【答案】C

【2题答案】

【答案】C

【3题答案】

【答案】A

【4题答案】

【答案】D

【5题答案】

【答案】A

【6题答案】

【答案】C

【7题答案】

【答案】C

【8题答案】

【答案】D

【9题答案】

【答案】BC

【10题答案】

【答案】ABD

【11题答案】

【答案】BC

【12题答案】

【答案】BCD

【13题答案】

【答案】##-1.5

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】

【答案】（1）；

（2）.

【小问1详解】

选①，在中，由正弦定理及得：，

而，即，于是得，又，

所以.

选②，在中，由正弦定理及得：

，而，，则，

所以.

选③，在中，由正弦定理及得：，

即，由余弦定理得，而，

所以.

【小问2详解】

由(1)知，，在中，由余弦定理得：

，即，

，设BC的中点为D，则，

在中，由余弦定理得：，

解得，

所以BC边上的中线长.

【答案】（1）201.8

（2）

【小问1详解】

由图可得月平均用电量在[160，180）的频率为0.002×20=0.04，[180，200）的频率为0.0095×20=0.19，[200，220）的频率为0.011×20=0.22，0.04+0.19=0.23<0.25，0.04+0.19+0.22>0.25，

所以25%分位数一定位于[200，220）内，

由，所以，月平均用电量的25%分位数约为201.8．

【小问2详解】

最小组中有4户，设为甲，

最大组有5户，设为乙，，

各随机抽取1户，有（甲，），（甲，），（甲，），（甲，），（甲，乙），

(,乙)，（），（），（），（），

（，乙），（），（），（），（），

（，乙），（），（），（），（），

共20种可能，

其中最小组的甲与最大组的乙恰有一人被选到有：（甲，），（甲，），（甲，），（甲，），(,乙)，（，乙），（，乙），共7种

甲、乙被选到的事件分别记为A、B，

所以最小组的甲与最大组的乙恰有一人被选到的概率为：．

【小问1详解】

证明：因为直线AB⊥平面BCDE，所以AB⊥BC，AB⊥BE，

因为底面BCDE是梯形，BC//DE，BC⊥CD，CD＝DE＝BC＝2，F是边BC的中点，

所以四边形CDEF为正方形，，

所以，，，

所以，

所以；

【小问2详解】

解：如图建立空间直角坐标系，设，则，，，，

设平面ADF的法向量为，则，所以，

因为直线AB⊥平面BCDE，所以AB⊥，又，所以，

因为，所以平面，

所以平面的法向量为，

因为平面ADF与平面ABE所成二面角为45°，

所以，解得，

所以，

设直线AD与平面ABE所成角为，则，

所以直线AD与平面ABE所成角的正弦值为.

【答案】（1），.

（2）5.

【小问1详解】

解：设正项等比数列的公比为，当时，，即，

则有，即，而，解得，

又，则，所以，

所以数列，的通项公式分别为：，.

【小问2详解】

解：由(1)知，，

则，

则，

两式相减得：

于是得，

由得：，即，令，，

显然，，，，，，

由，解得，即数列在时是递增的，

于得当时，即，，则，

所以不等式成立的n的最小值是5.

【答案】（1）

（2）

【小问1详解】

解：设点坐标为，

定点，，直线与直线的斜率之积为，

，

【小问2详解】

解：设，，，则，，所以

又，所以，又即，则直线：，直线：，由，解得，即，所以

令，则，所以

因为，当且仅当即时取等号，所以的最大值为；

【22题答案】

【答案】（1）单调递增区间、；（2）

【详解】（1）由，则，

，所以开口向上，且过，

对称轴，，

令，解得或，

作出的大致图像，如图：

由图可知，函数的单调递增区间为、.

（2）由题意可得恒成立，

，

恒成立，

即恒成立，

恒成立，

令，

不妨设，则，，

由的对称轴，

所以在上单调递增，

，

只需，解得，

只需，

由的对称轴，

所以在上单调递减，，

只需，解得，

只需，

综上所述，