2022-2023学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年级（上）入学数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年级（上）入学数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列四个实数中，属于无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    关于，的二元一次方程有一组解是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    下列调查中，最适合采用抽样调查的是(    )

A. 了解我校八年级班全体同学的视力情况
B. 乘坐飞机时对旅客行李的检查
C. 了解小明家三口人对端午节来历的了解程度
D. 了解某批灯泡的使用寿命

4.    如图，老师在黑板上建立平面直角坐标系，并把课本放在如图所示的位置，则一定没有被课本遮住的点是(    )

A.
B.
C.
D.

5.    若，则下列式子中一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.    去年某市有名学生参加中考，为了解这名学生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是(    )

A. 名考生是总体 B. 样本容量为
C. 名考生是总体的一个样本 D. 每位考生是个体

7.    以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

8.    如图，在中，，平分，，若，则的度数为度．(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图，已知的三条边和三个角，则甲、乙、丙三个三角形中和全等的是(    )

A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 只有甲

10. 一个正多边形的内角和比外角和多，则该正多边形的边数是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的的两边上，分别截取，，使再分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，则射线就是的平分线．其作图原理是：≌，这样就有，那么判定这两个三角形全等的依据是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知点的坐标为，其中，均为实数，若，满足，则称点为“和谐点”若点是“和谐点”，则点所在的象限是(    )

A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

13. 在直角坐标系中，点向右平移个单位长度后的坐标为______ ．
14. 在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则______．
15. 如图，在中，，平分，，点到的距离为，则______．

16. 如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______．
17. 若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是______．
18. 已知关于、的方程组，其中，给出下列结论：是方程组的解；若，则；若，则的最小值为；其中正确的有______填写正确答案的序号．

三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：．
20. 本小题分
    解不等式组．
21. 本小题分
    阅读并填空：如图，在四边形中，，，直线交于点试说明的理由．
    解：在和中，
    ．
    ≌______
    ______全等三角形的对应角相等．
    ______
    ______

22. 本小题分
    某校为了解“课程选修”的情况，对报名参加“艺术鉴赏”，“科技制作”，“数学思维”，“阅读写作”这四个选修项目的学生每人限报一课进行抽样调查，下面是根据收集的数据绘制的不完整的统计图：请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
    
    此次共调查了______名学生，扇形统计图中“艺术鉴赏”部分的圆心角是______度；
    此次调查“数学思维”的人数为______，并补全条形统计图；
    现该校共有名学生报名参加这四个选修项目，请你估计大约有______名学生选修“科技制作”项目？
23. 本小题分
    某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造个甲种型号大棚比个乙种型号大棚多需资金万元，改造个甲种型号大棚和个乙种型号大棚共需资金万元．
    改造个甲种型号和个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？
    已知改造个甲种型号大棚的时间是天，改造个乙种型号大概的时间是天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共个，改造资金最多能投入万元，要求改造时间不超过天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？
24. 本小题分
    我们约定：若点的坐标为，则把坐标为的点成为点的“阶益点”其中为正整数，例如：即就是点的“阶益点”．
    已知点是点的“阶益点”，求点的坐标；
    已知点是点的“阶益点”，将点先向右移动个单位，再向下移动个单位得到点，若点落在第四象限，求的取值范围；
    已知点的“阶益点”是，若，求符合要求的点的坐标．
25. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，点且、满足，过点作轴于，过点作轴于点，点，分别是直线，轴的动点．
    
    如图点，分别在线段，上，若，求证：；
    如图，连接，已知．
    求证：；
    若三角形的面积为，，求线段的长度；
    已知，点，分别在线段和的延长线上，连接．
    如图，已知，，线段上存在一点，使得，求点的坐标；
    如图，请直接写出线段，和之间的数量关系以及点到直线的距离．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意．
故选：．
根据有理数和无理数的定义判断即可．
本题考查了无理数，掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，，
解得，
故选：．
把代入方程得出，求出方程的解即可．
本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：了解我校八年级班全体同学的视力情况，全面调查，故本选项不符合题意；
B.乘坐飞机时对旅客行李的检查，适合全面调查，故本选项不符合题意；
C.了解小明家三口人对端午节来历的了解湿度，适合全面调查，故本选项不符合题意；
D.了解某批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故本选项符合题意．
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图所示：只有第三象限没有被课本遮挡，故一定没有被课本遮住的点是．
故选：．
直接利用第三象限点的坐标特点，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
故C符合题意；
D、，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、名考生的数学成绩是总体，故A不符合题意；
B、样本容量为，故B符合题意；
C、名考生的数学成绩是总体的一个样本，故C不符合题意；
D、每位考生的数学成绩是个体，故D不符合题意；
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、，能组成三角形，故此选项符合题意；
故选：．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
故选：．
根据直角三角形的两个锐角互余可得，，可得，根据角平分线的定义即可求出的度数．
本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
根据可以判定甲与全等，根据可以判定乙与全等．
故选：．
根据全等三角形的判定一一判断即可．
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：设该正多边形的边数为，
由题意得，
解得，
答：该正多边形的边数为．
故选：．
根据一个正多边形的内角和比外角和多，结合多边形的内角和定理和外角和定理可列方程，解方程可求解．
本题主要考查正多边形的内角和定理，多边形的外角的性质，注意方程思想的运用．
 

11.【答案】 

【解析】解：由作图可知，，
在和中，
，
≌，
，即线就是的平分线．
故选：．
根据证明三角形全等即可．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定，角平分线的判定等知识，解题的关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

12.【答案】 

【解析】解：点在第三象限，
理由如下：
点是“和谐点”，
，
解得，
，，
点在第三象限．
故选：．
直接利用“和谐点”的定义得出的值，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确掌握“和谐点”的定义是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：平移后点的横坐标为，纵坐标不变为；
点向右平移个单位长度后的坐标为．
故答案填：．
让点的横坐标加，纵坐标不变即可．
平移变换是中考的常考点，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据点在轴上的点横坐标为，得：，
解得：．
故答案为：．
根据点在轴上的点横坐标为求解．
此题考查了点与坐标的对应关系，熟记坐标轴上的点的特征是解答本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

平分，
，
，
，
故答案为：．
过点作于点，由平分知，则可得出答案．
本题主要考查角平分线的性质、勾股定理，解题的关键是掌握角平分线的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，，，
，
，，
，
在和中，
，
≌；
由题意得：，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
故答案为：．
根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明≌即可，利用全等三角形的性质进行解答．
此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
 

17.【答案】 

【解析】解：不等式组整理得：，
解得：，
不等式组只有个整数解，即，，，
，
解得：．
故答案为：．
表示出不等式组的解集，由不等式组只有个整数解，确定出的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
得：，
，
把代入得，
，
当时，，
是方程组的解，故正确；
若，则，
，故正确；
，，
，
的最小值为，故正确；
正确的有，
故答案为：．
先解出方程组得，再逐项判断．
本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用立方根的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】    内错角相等，两直线平行  两直线平行，内错角相等 

【解析】解：在和中，
．
≌．
全等三角形的对应角相等．
内错角相等，两直线平行．
两直线平行，内错角相等．
故答案为：；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
根据全等三角形的判定和性质以及平行线的判定解答即可．
考查了全等三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】    人   

【解析】解：此次共调查的学生人数为名，
扇形统计图中“艺术鉴赏”部分的圆心角是，
故答案为：，；
“数学思维”的人数为人，
补全图形如下：

故答案为：人；
选修“科技制作”项目的人数约为名，
故答案为：．
由“阅读写作”的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以“艺术鉴赏”人数所占比例可得其圆心角度数；
根据四个选修项目人数之和等于总人数求出“数学思维”人数，从而补全图形；
总人数乘以样本中“科技制作”人数所占比例即可．
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
 

23.【答案】解：设改造个甲种型号大棚需要万元，改造个乙种型号大棚需要万元，
依题意，得：，
解得：．
答：改造个甲种型号大棚需要万元，改造个乙种型号大棚需要万元．
设改造个甲种型号大棚，则改造个乙种型号大棚，
依题意，得：，
解得：．
为整数，
，，，
共有种改造方案，方案：改造个甲种型号大棚，个乙种型号大棚；方案：改造个甲种型号大棚，个乙种型号大棚；方案：改造个甲种型号大棚，个乙种型号大棚．
方案所需费用万元；
方案所需费用万元；
方案所需费用万元．
，
方案改造个甲种型号大棚，个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是万元． 

【解析】设改造个甲种型号大棚需要万元，改造个乙种型号大棚需要万元，根据“改造个甲种型号大棚比个乙种型号大棚多需资金万元，改造个甲种型号大棚和个乙种型号大棚共需资金万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设改造个甲种型号大棚，则改造个乙种型号大棚，根据改造时间不超过天且改造费用不超过万元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各改造方案，再利用总价单价数量分别求出三种方案所需改造费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

24.【答案】解：由题意，解得，，
；

由题意，，
解得，；

由题意，，
解得，，
，
，
解得，，
是正整数，
或或，
或或，
满足条件的点的坐标为或或 

【解析】构建方程组求解即可；
构建不等式组解决问题即可；
根据不等式组，求出整数，可得结论．
本题考查坐标与图形变化平移，解一元一次方程，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决问题．
 

25.【答案】证明：，
，
，，
点，
，，，
，四边形是矩形，
四边形是正方形，
，
，
，
又，
≌，
；
证明：如图，在轴的负半轴上截取，连接，

，，，
≌，
，，
，
，
，
又，
≌，
，
；
解：≌，
，
≌，
，
，，
，
，
，
；
解：如图，过点作于，

，
，
，，
，
，
，
又，，
≌，
，，
，
点；
解：，理由如下：
如图，在上截取，连接，过点作于，

，，，
≌，
，，
，
，
，
又，，
≌，
，，
，
，，，
，
点到直线的距离为． 

【解析】由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可得，可得结论；
由三角形的面积关系可求解；
由“”可证≌，可得，，即可求解；
由“”可证≌，可得，，可得，由角平分线的性质可求．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．