2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学九年级（上）开学数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学九年级（上）开学数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是(    )

A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 圆

2.    下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    点和点都在直线上，则和的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

4.    制造一种产品，原来每件成本是元，由于连续两次降低成本，现在的成本是元，则平均每次降低的百分率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6.    如图，在矩形中，点是边的中点，则：(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

7.    在中，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，四边形是平行四边形，点在边上，连接交于点，则下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图，将矩形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上．若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 记者乘汽车赴外的农村采访，前一段路为高速公路，后一段路为乡村公路，汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程与时间间的关系如图所示，则该记者到达采访地的时间为(    )

A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

11. 在中，，，则的值是______．
12. 在函数中，自变量的取值范围是______ ．
13. 不等式组的解集为______．
14. 矩形的两条对角线的夹角为，较短的边长为，则矩形较长的边长______ ．
15. 如图，身高的小超站在某路灯下，发现自己的影长恰好是，经测量，此时小超离路灯底部的距离是，则路灯离地面的高度是______

16. 计算：______．
17. 如图，将等腰直角，绕点逆时针旋转后得到，点与点对应，点与点对应，则 ______ ．

18. 如图，正方形的边长为，、分别是、上的两个动点，且始终保持当时， ______ ．

19. 如图，中，，，，则的面积是______ ．

20. 如图，在正方形外侧，作等边三角形，，相交于点，则为______度．

三、解答题（本大题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    先化简再求值：，其中．
22. 本小题分
    图、图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为，点、在小正方形的顶点上．
    在图中画出点在小正方形的顶点上，使为轴对称图形；
    在图中画出四边形点、都在小正方形的顶点上使四边形为中心对称图形且面积为．
     

23. 本小题分
    如图，在中，为边上一点，，如果，，求的长．

24. 本小题分
    如图，在平行四边形中，，是对角线，是的平分线，交边的延长线于点．
    证明：；
    若，，写出图中长度等于的所有线段．
     

25. 本小题分
    某手机厂家准备购买甲、乙两型手机芯片，已知购买片甲型芯片和片乙型芯片共需元，购买片甲型芯片和片乙型芯片共需元．
    求甲、乙两型芯片的单价各是多少元？
    若该手机厂家准备购买两种芯片共片，且购买的总费用不超过元，求最多可以购买多少片甲型芯片？
26. 本小题分
    如图，四边形是正方形，点在对角线上，点在边上，
    如图，求证：；
    如图，求证：；
    如图，作于，连接，若，，求的长．
     

27. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，点为原点，直线分别交轴，轴于点，，点在轴的负半轴上，且，作直线．
    求直线的解析式；
    点在线段上，过点作轴交于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
    在的条件下，在直线的右侧以线段为斜边作等腰直角，连接，，点在线段上，且点在直线的右侧，若，且，求点的坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项正确；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误．
故选：．
根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、应为，故本选项错误；
B、因为，故本选项错误；
C、因为，故本选项错误；
D、，故正确．
故选：．
根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，同底数幂的除法的性质对各选项分析判断求解．
本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法．理清指数的变化是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：直线中，，
此函数中随的增大而减小，
，
．
故选：．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再比较出与的大小，根据函数的增减性进行解答即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，根据题意判断出函数的增减性是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：设平均每次降低的百分率为，
根据题意，得

解得：，舍去．
故选D．
设平均每次降低的百分率为，则降低一次后的成本为元，降低两次后的成本为元，而此时成本又是元，根据这个等量关系列出方程．
本题考查求平均变化率的方法．掌握求增长率的等量关系：增长后的量增长率增长前的量．
 

5.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，
，，
．
故选：．
根据旋转的性质得，，然后根据三角形内角和可得到．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 

6.【答案】 

【解析】解：点是边的中点，
，
四边形是矩形，
，，
，∽，
：：；
故选：．
由矩形的性质得出，，得出，∽，由相似三角形的性质得出：：即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意画出图形如图所示：

在中，，，，
则．
故选：．
根据三角函数的定义就可以求解．
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比边．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，，∽，
，
，
故选项A、、D正确；B错误；
故选：．
由四边形是平行四边形，可得，，易证得∽，然后由平行线分线段成比例定理与相似三角形的性质，求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握各线段的对应关系是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了折叠问题及勾股定理的应用同时也考查了列方程求解的能力，解题的关键是找出线段的关系．
先求出，再由图形折叠特性知，，在中，运用勾股定理求解．
【解答】
解：点是边的中点，，
，
由图形折叠特性知，，
在中，，
，
解得，，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：汽车在乡村公路上行驶的速度为：，
则该记者到达采访地的时间为：，
故选：．
根据题意表示出乡村公路的速度，从而可以求出到达的时间．
解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图：

在中，，，
可以假设，
，
．
故答案为：．
根据三角函数的定义即可求解．
本题考查了同角三角函数的关系．熟练掌握三角函数的定义是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题可得，，
解得，
自变量的取值范围是，
故答案为：．
当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零，据此可得结论．
本题主要考查了函数自变量的取值范围，当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．
 

13.【答案】 

【解析】解：，由得，；由得，，
故此不等式组的解集为：．
故答案为：．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，
四边形是矩形，
，，
，
是等边三角形，
，，
在中，．
故答案为：．
首先证明是等边三角形，求出，在中，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，，，，
，
∽，
，即，
．
故答案为：．
如图，，，，先证明∽，然后利用相似比可计算出．
本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
 

16.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
 

17.【答案】 

【解析】解：是等腰直角三角形，
，
旋转角为，
，
，
，
故答案为：．
根据旋转的性质求出，然后根据三角函数的定义即可得解．
本题考查了旋转的性质，熟记性质并准确识图判断出阴影部分是有一个角是的直角三角形是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，

，
，
，
即

解得．
故答案为．
根据正方形的性质可得，，进而证明，得，即可求得的值．
本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
 

19.【答案】 

【解析】解：过点作，
中，，，，
，
，
，
，
，
，
则的面积是：．
故答案为：．
根据已知作出三角形的高线，进而得出，，，的长，即可得出三角形的面积．
此题主要考查了解直角三角形的知识，作出，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，
又是等边三角形，
，，
，
，，
，
又，
．
故答案为：．
根据正方形的性质及全等三角形的性质求出，，再求．
本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出．
 

21.【答案】解：


，
，
原式

． 

【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再把相应的值代入运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

22.【答案】解：如图所示：
如图所示：
使得，正好组成一个正方形，此时面积为，且是中心对称图形．
 

【解析】根据等腰三角形的性质得出画出等腰三角形即可；
根据正方形的性质，画一个边长为，的正方形即符合要求．
此题主要考查了轴对称图形以及中心对称图形的性质，得出正方形的边长为是解题关键．
 

23.【答案】解：，，
，
，
，，
，
解得：，
故CD的长为． 

【解析】本题考查相似三角形的判定与性质，通常先从图形中寻找相等的角从而利用相似三角形的判定定理推出三角形的相似关系，再利用相似三角形的性质进行求解，注意数形结合思想方法的运用．
根据题意，结合图形中公共角，推出，从而利用相似三角形的对应边成比例列出式子进行求解即可．
 

24.【答案】证明：如图，
是的平分线，
，
在平行四边形中，
，，
，，
，
；

解：，
理由：如图，，，
，
，
，
则是等边三角形，
可得，，
，
，
是直角三角形，，
在和中，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
． 

【解析】利用角平分线的性质结合平行四边形的性质得出，，进而得出答案；
利用等边三角形的判定方法得出和是等边三角形，再证明得出≌，即可得出，进而可判定为矩形，再利用矩形的性质可得，进而可得答案．．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，得出是得出四边形是平行四边形的关键．
 

25.【答案】解：设甲型芯片的单价为元，乙型芯片的单价为元，
依题意，得：，
解得：．
答：甲型芯片的单价为元，乙型芯片的单价为元．
设可以购买片甲型芯片，则可以购买片乙型芯片，
依题意，得：，
解得：．
答：最多可以购买片甲型芯片． 

【解析】设甲型芯片的单价为元，乙型芯片的单价为元，根据“购买片甲型芯片和片乙型芯片共需元，购买片甲型芯片和片乙型芯片共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设可以购买片甲型芯片，则可以购买片乙型芯片，根据总价单价数量结合购买的总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】解：如图，作于点，于点，
四边形是正方形，
平分，
四边形是正方形，

平分，
，

≌，
，
，
，


由知，≌，
；

如图，设，，
是正方形的对角线，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，过点作于，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
由知，，
，
是等腰直角三角形，

在中，，，
，
，
舍或，
． 

【解析】先判断出，即可得出≌，即可得出结论；
由判断出≌，即可得出结论；
设出，，表示出利用勾股定理依次表示出，，，，，，，得出，再用勾股定理表示出，即可建立方程求出，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解的关键是判断出，解的关键是利用勾股定理利用勾股定理表示出相关的相等，建立方程求解，是一道中等难度的中考常考题．
 

27.【答案】解：，
当时，，
，
当时，，
解得，
，
，
．
设直线的解析式为，
则，
解得．
直线的解析式为；

过点作轴于，过点作轴于，令与轴的交点为．
点在直线：上，点的横坐标为，
．
轴，
，
轴，
，
点的纵坐标为．
直线的解析式为，
当时，
，
解得，
．
，
四边形是矩形，
，
即与之间的函数关系式为；

过点作交延长线于，连接，过点作轴于，过点作交的延长线于，交轴于．
，
，即．
，
，
，
又，
≌，
，，
又，
．
设，
，
，
又，
≌，
，，，

，
，．
在中，，
，
解得，舍去，

设点的横坐标为．
，
，，
，
又，
≌，
，．
四边形为矩形，
．
，
，
，
 

【解析】先由直线的解析式求出、两点的坐标，根据，求出点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式；
过点作轴于，过点作轴于，令与轴的交点为由点在直线：上，点的横坐标为，得出根据轴，在直线上，得到，进而得出线段的长与之间的函数关系式；
过点作交延长线于，连接，过点作轴于，过点作交的延长线于，交轴于先根据证明≌，得出，，再根据证明≌，得出，那么然后在中，利用勾股定理得出，即，求出，得到设点的横坐标为根据证明≌，得出，由四边形为矩形，求出根据，列出方程，求出，即可得到点坐标．
本题是综合题，其中涉及到利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形、矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线构造三角形全等，利用数形结合与方程思想是解题的关键．