专题28：函数的最值与导数-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）

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专题28：函数的最值与导数
精讲温故知新
①最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或）
②如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。
③求可导函数在闭区间上的最值方法：
第一步；求在区间内的极值；
第二步：比较的极值与、的大小：
第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。
注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）
3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。
注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
题型一：函数最值与极值的关系
例1：（2022·安徽省太和中学模拟预测（文））设函数，则（       ）
A．有极大值，且有最大值
B．有极小值，但无最小值
C．若方程恰有一个实根，则
D．若方程恰有三个实根，则
【答案】D
【解析】
先求出导函数，由导数的正负确定单调性，极值，确定函数值的变化趋势可确定最值，及方程的根的情形．
【详解】
由题意，
∴当或时，，当时，，
在和上递增，在上递减．
极大值＝，极小值＝，
或时，，时，，时，，
∴也是最小值．无最大值．
作出的图象，和直线，如图，
当或时，有一个根，当时，有三个根．
故选：D．

【点睛】
本题考查用导数研究函数的极值和最值，研究方程根的个数问题，掌握极值与最值的定义是解题基础．方程根的个数常常转化为函数图象交点个数，由数形结合思想易求解．
举一反三
（多选）（2022·全国·模拟预测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A． B．
C．时，取得最大值 D．时，取得最小值
【答案】AB
【解析】
【分析】
由图象可确定的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
由图象可知：当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减；
对于A，，，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误；
对于D，由单调性知，D错误.
故选：AB.
题型二：由导数求函数的最值
例2：1.（2022·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】
，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
2.（2021·江西·二模（文））已知函数，则在上的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可．
【详解】
由题意可知，，
，．
当时，，
函数在区间上单调递增，则．
故答案为：

举一反三
1．（2022·河南郑州·三模（文））在区间上的最小值是（       ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求导函数，分析其导函数的符号，得出原函数的单调性，从而可求得最小值．
【详解】
因为，所以，令，解得，
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以函数在上的最小值为，
故选：B．
2.（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】
∵ 球的体积为，所以球的半径,


设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
题型三：由导数求函数的含参最值
例3：（2022·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（       ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】
因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
举一反三
（2022·湖北·模拟预测），的最小值为___________．
【答案】3
【解析】
【分析】
利用换元可得，分类讨论结合导数求最值．
【详解】
令，则
当时，单调增，
当时，令，
时，递减
时，递增
∴
综上：
故答案为：3．
题型四：已知函数最值求参数
例4：1.（2022·河北·模拟预测）已知，函数在上的最小值为1，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
求函数的导数，讨论a的范围，判断函数的单调性，确定函数的最小值，令其等于1，即可求得答案.
【详解】
由题意得，
当，即时，，在上递增，
故，解得；
当，即时，当 时，，递减，
当 时，，递增，
故，解得，不符合，舍去，
综上，.
故答案为：1
举一反三
1.（2021·北京·高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】
（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】
（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：













增
极大值
减
极小值
增

所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
2.（2014·安徽·高考真题（文））设函数，其中
（1）讨论在其定义域上的单调性；
（2）当时，求取得最大值和最小值时的的值.
【答案】（1）,在和内单调递减，在内单调递增；（2）当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值.
【解析】
【详解】
（1）的定义域为，.令，得，
所以.当或时；
当时，.
故在和内单调递减，在内单调递增.;
（2）因为，所以.
①当时，，由（1）知，在上单调递增，
所以在和处分别取得最小值和最大值.
②当时，.由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
因此在处取得最大值.又，
所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值.

题型5：综合应用
例5：（2022·全国·高考真题（文））已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
(1)
当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
(2)
，则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.
举一反三
2．（2022·福建省福州第一中学三模）已知函数在区间内有唯一极值点.
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：在区间内有唯一零点，且.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求导，再讨论时，函数单增不合题意，时，由导数的正负确定函数单调性知符合题意；
（2）先由导数确定函数在区间上的单调性，再由零点存在定理即可确定在区间内有唯一零点；表示出，构造函数求导，求得，又由，结合在上的单调性即可求解.
(1)，当时，，，
①当a≤1时，，在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；
②当时，显然在上递增，又因为，，
所以在上有唯一零点，所以，；，，
所以在上有唯一极值点，符合题意.综上，.
(2)由（1）知，所以时，，所以，，单调递减；
，，单调递增，所以时，，则，又因为，
所以在上有唯一零点，即在上有唯一零点.
因为，由（1）知，所以，
则，构造，所以，
记，则，显然在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以，
所以，由前面讨论可知：，，且在单调递增，所以.
【点睛】
本题关键点在于先表示出，构造函数求导，令导数为新的函数再次求导，进而确定函数的单调性，从而得到，再结合以及在上的单调性即可证得结论.

精练巩固提升
一、单选题
1．（2021·福建·高二学业考试）函数在上的最小值是（       ）
A．-2 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
求导，求出函数单调区间和极值，确定最小值.
【详解】
，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，

故选：C
2．（2022·河南·模拟预测（文））当时，函数取得最小值，则（       ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
求出导函数，令，可得增区间，令，可得减区间，从而根据单调性即可求解.
【详解】
解：，
当时，；当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值．
故选：A.
3．（2022·广西南宁·二模（文））已知函数，，则函数的最大值是（       ）
A． B． C．-1 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接求导确定函数的单调性，进而求出最大值.
【详解】
依题意函数，，则函数在上递增，在上递减．
因此在上，．
故选：B．
4．（2022·四川凉山·三模（理））函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求得导数，当时，得到在上单调递减，不符合题意；
当时，结合函数与的图象，得到存在，使得，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
若时，当时，可得，在上单调递减，
此时函数在没有最小值，不符合题意；
当时，令，即，即与的交点，
画出函数与的图象，如图所示，
结合图象，可得存在，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
此时函数在上有最小值，符合题意，
综上可得，实数a的取值范围是.
故选：A.

5．（2022·河南·模拟预测（理））生物学家为了研究某生物种群的数量情况，经过数年的数据采集，得到该生物种群的数量Q（单位：千只）与时间t（，单位：年）的关系近似地符合，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5000只．现有如下结论：
①该生物种群的数量不超过40000只；
②该生物种群数量的增长速度逐年减小；
③该生物种群数量的年增长量不超过10000只．
其中所有正确说法的个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知，求出，然后得，化成带分式便可求出的取值范围判断①，对求导，根据单调性便可求出增长速度，可判断②③.
【详解】
解：由题意得：
，即，解得，故．因为，故①正确；
因为，可知当时，单调递增，当时，单调递减，故该生物种群数量的增长速度先增大后减小，故②错误；
当时，，故③正确.
故选C．
6．（2022·四川·眉山市彭山区第一中学模拟预测（文））已知函数在上有零点，则m的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数存在零点可知有解，设，利用导数求出函数的最小值，进而得出结果.
【详解】
由函数存在零点，则有解，
设，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
则时取得最小值，且，
所以m的取值范围是．
故选：C
7．（2021·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，那么就称函数为“上的类成功函数”．已知函数是“上的类成功函数”，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据类成功函数的定义，结合导数的性质进行求解即可.
【详解】
由题意知函数是“上的类成功函数”，可得在上的值域为．由在上单调递减，得，即方程在上必有两个不相等的实数根，
即在上必有两个不相等的实数根．设，则原问题可转化为直线与函数的图象在上有两个不同的交点．因为，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，图象如下图所示：

所以在上，．又，所以，
故选：C．
8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（理））如图所示为某“胶囊”形组合体，由中间是底面半径为1，高为2的圆柱，两端是半径为1的半球组成，现欲加工成一个圆柱，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面上，则当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分析内接圆柱的底面半径与体积的函数关系，求导，利用函数单调性即可求解.
【详解】
设该几何体的内接圆柱的底面半径为，则其高为，
该内接圆柱的体积为，
因为，
令，则有 ，解得，
当时，，当时，，
所以当时体积有最大值；
故选：A．
二、多选题
9．（2022·重庆·三模）已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（       ）
A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在单调递增 D．最小值为1
【答案】BC
【解析】
【分析】
先求定义域，再求导，求出单调区间和极值，最值情况，判断BCD，A可以证明出函数值恒正，A错误.
【详解】
定义域为R，，
令得：或1，
当时，，当时，，
如下表：


0

1


-
0
+
0
-

递减
极小值1
递增
极大值
递减

从而判断出函数有两个极值点，在上单调递增，
BC正确，
由于恒成立，所以函数无零点，A错误，
当时，，故函数无最小值，D错误；.
故选：BC
10．（2022·广东·模拟预测）【多选题】已知函数，则（       ）
A．时，的图象位于轴下方
B．有且仅有一个极值点
C．有且仅有两个极值点
D．在区间上有最大值
【答案】AB
【解析】
根据题意，求得函数定义域，求得导数，利用导数根据函数单调性即可求得函数极值点，最值情况.
【详解】
由题，函数 满足 ，故函数的定义域为
由 当 时 ，
所以则的图象都在轴的下方，所以A正确；
又，
再令 则 ，故
故单调递增，
当时，
由，
故存在唯一的，使得，
此时当,，单调递减，
当，单调递增.
又当时，，
故此时恒成立，即单调递减，
综上函数只有极值点且为极小值点，所以B正确，C不正确；
又
所以函数在先减后增，没有最大值，所以D不正确.
故选：AB.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值点以及最值，属综合基础题.
三、填空题
11．（2022·吉林·东北师大附中一模（文））已知函数，当时，函数的最大值为_______ .
【答案】
【解析】
【分析】
对函数进行求导，判断单调性，求出函数的最大值．
【详解】
因为，所以函数是上的增函数，故
当时，函数的最大值为．
【点睛】
本题考查了利用导数判断函数的单调性，求函数的最大值问题．
12．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数，，若存在实数，使成立，则实数______．
【答案】0
【解析】
【分析】
令，利用导数求出函数在处取得最小值，进而可证明，即可得出结果.
【详解】
令，
令，则，
由，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
当且仅当即时等号成立，
即，当且仅当等号同时成立时，等号成立，
故，即.
故答案为：0.
13．（2021·全国·高考真题）函数的最小值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】
由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】
由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
14．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））若可以作为一个三角形的三条边长，`则称函数是区间D上的“稳定函数”．已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数m的取值范围为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用导数可求得单调性，进而得到最大值和最小值，根据稳定函数定义可得，由此可得关于的不等式，解不等式可求得的取值范围.
【详解】
，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，
又，，，
由“稳定函数”定义可知：，即，
解得：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
15．（2022·河南郑州·二模（理））已知函数．
（1）求函数的单调区间．
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调增区间 单调减区间 （2）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）对函数求导，令，解不等式，即得到递增区间，令，解不等式，即得递减区间；（2）若对恒成立，即对恒成立，所以问题转化为求成立即可，即求函数在区间上的最小值，根据第（1）问单调性，易求出函数在上的最小值，于是可以求出的取值范围．
试题解析：（1）令，解得或，
令，解得：.        
故函数的单调增区间为，单调减区间为.   
（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
∴，                                             
∵对恒成立，
∴，即，∴
16．（2021·甘肃·金昌市第一中学一模（理））设函数f(x)＝axex+x2+2x+1．
（1）当a＝1时，求函数f(x)在[－2，1]上的最值；
（2）若函数f(x)在[0，+∞）上单调递减，求实数a的最大值．
【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）－2．
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，判断函数的单调性，然后求解闭区间上的最值即可．
（2）由已知得在，上恒成立，推出在，上恒成立，构造函数，求解函数的最值，然后推出的最值即可．
【详解】
（1）因为，所以
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
则在，上的最小值为，
又（1），，（1），
则函数在，上的最大值为，
综上： 在，上的最小值为，最大值为；
（2）由已知得在，上恒成立，
因为，所以在，上恒成立，即在，上恒成立，
因为函数在，上单调递增，
所以当时，函数取得最小值为，所以，
故实数的最大值为．