专题29：同构函数-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）

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专题29：同构函数
精讲温故知新
同构式：在成立或恒成立命题中，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度。找到这个函数模型的方法，我们称为同构法。具有相同结构的两个代数式称为同构式。
例如：若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)] ≥f[h(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法。
第一类：常见类型同构函数
(1) 构造函数xf(x)，：当条件中含“＋”时优先考虑xf(x)；当条件中含“－”时优先考虑.
(2)构造函数：条件中含“xf′(x)－nf(x)”的形式；
构造函数xf(nx)：条件中含“nxf′(nx)＋f(nx)”的形式.
(3)构造函数：条件中含“f′(x)－f(x)”的形式.
(4)构造函数：条件中含“f′(x)sin x－f(x)cos x”的形式.
例1： 1.（2015·福建·高考真题（理））若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：令，则，因此，所以选C.
考点：利用导数研究不等式
【方法点睛】
利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等

2．（2011·辽宁·高考真题（文））函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（      ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.
【详解】
依题意可设，所以.
所以函数在上单调递增，又因为.
所以要使，即，只需要，故选B.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
3．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数，由得，即，即可得到单调性，再结合的奇偶性，即可对选项进行判断
【详解】
构造函数，由在上恒有成立，即在上为增函数，又由为偶函数，，故A错误.
偶函数在上为增函数，在上为减函数，

，故B正确；
，，故C错误；
，，故D错误.
故选：B
4.（2018·浙江·高考真题）已知成等比数列，且．若，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.
【详解】
令则，令得，所以当时，，当时，，因此，
若公比，则，不合题意；
若公比，则
但，
即，不合题意；
因此，
，选B.
【点睛】
构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如

5.已知函数满足：，那么系列不等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：设，
则.
因为，所以,则在定义域上单调递增，所以,
则，即答案为A.
举一反三：

1.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的取值范围（ ）.
A.
B.
C.
D.
解析：设，
则.
因为时，，所以,即当时，单调递减.
又因为为奇函数，且，所以为偶函数，且,
则当时，单调递增.
当时，，.
当时，，.
所以成立的取值范围
，即答案为A..
对题的解析过程进行回顾，本题是如何构造出，从而给出极其巧妙的解答. 为了寻求问题的本质，这里对以下例题进行分析.
2.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：因为，所以，.
由，
得
设，
则，可得,
则在定义域上单调递减，
所以,
则，即答案为A.
3.（2022·全国·高考真题（理））已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由结合三角函数的性质可得；构造函数，利用导数可得，即可得解.
【详解】
因为,因为当
所以,即,所以；
设，
，所以在单调递增，
则,所以，
所以,所以，
故选：A

4. 已知为上的可导函数，且，均有，则有
A．，
B．，
C．，
D．，
解：构造函数则，
因为均有并且，所以，故函数在R上单调递减，所以，即
也就是，故选D．
5. 已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
解：构造新函数, 则，
，对任意，有，即函数在R上单调递减，则的解集为，即的解集为，选D.
二、指对数同构
①
②来进行研究
③

④
⑤
指对互化关系

同构转化关系：已知含有则可同构转化如下
(同左边),则构造函数
(同右边),则构造函数
(取对数),则构造函数
例2：1.设实数λ＞0，若对任意的x∈（e2，+∞），关于x的不等式λeλx﹣lnx≥0恒成立，则λ的最小值为：　　．
分析：λeλx﹣lnx≥0
令


2.不等式的解集为：　 ．
分析：，

故不等式的解集为
3.已知对任意给定的的取值范围为：　 ．
分析：
显然成立，

显然

.
注释：本题逻辑关联词较多，首先处理逻辑关联词我们遵循就近原则优先处理，即优先处理离
较近的逻辑关联词，按照逻辑关联词出现的相反顺序进行处理，比如本题，我们要先处理存在一方的变量上有解即可，故而得到求导还要借助隐零点处理过程也不简单.仔细观察发现，不等式两边同乘，可以利用同构来进行处理，接着就可以参变分离了，借助恒成立问题处理策略，即可使问题得以解决!
4.已知方程的取值范围是： ．
分析：由
当；


5.（2022·全国·高考真题）设，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.

举一反三
1.的最小值为： ．
分析：
构造函数
故实数
2.已知不等式最小值为（ ）
A. B. C. D.
分析：，

只需考虑其为负数的情况，
，
令
故
3．（2022·山东潍坊·模拟预测）设，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数,然后结合导数与单调性关系分析出时,函数取得最大值,可得最大,然后结合函数单调性即可比较大小.
【详解】
设,则,
当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
故当时,函数取得最大值,
因为,,
,
当时,,函数单调递减,可得,
即.
故选:C
4．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意可得恒成立，令，则不等式转化为恒成立，令，求出函数的导函数，再对分两种情况讨论，结合函数的单调性计算可得；
【详解】
解：因为，不等式恒成立，等价于恒成立，
令，则不等式转化为恒成立，
令，则，显然，当且仅当，即时取等号，
所以当时，即在上单调递增，所以，符合题意；
当时，令，则，
故在上单调递增，所以存在满足，且当时，当时，
所以在上单调递减，此时，与题意矛盾，综上可得；
故选：B
5．（2021·全国·高考真题（理））设，，．则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】
,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,，
由于
所以当0