专题31：极值点偏移-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）

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专题31：极值点偏移精讲温故知新对于函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点x0，方程f(x)＝0的解为x1，x2且a<x1<x2<b，若≠x0.则称函数y＝f(x)在区间(a，b)上极值点偏移.极值点偏移问题的解法(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对结论x1x2>x型，构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式.(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.（3）（等价转换法）等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.（4）（构造函数法）构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.例1．（2021·全国·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.【详解】(1)的定义域为．由得，，当时，；当时；当时，．故在区间内为增函数，在区间内为减函数，(2)[方法一]：等价转化由得，即．由，得．由（1）不妨设，则，从而，得，①令， 则，当时，，在区间内为减函数，，从而，所以，由（1）得即．①令，则，当时，，在区间内为增函数，，从而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最优解】：变形为，所以．令．则上式变为，于是命题转换为证明：．令，则有，不妨设．由（1）知，先证．要证：．令，则，在区间内单调递增，所以，即．再证．因为，所以．令，所以，故在区间内单调递增．所以．故，即．综合可知．[方法三]：比值代换证明同证法2．以下证明．不妨设，则，由得，，要证，只需证，两边取对数得，即，即证．记，则.记，则，所以，在区间内单调递减．，则，所以在区间内单调递减．由得，所以，即．[方法四]：构造函数法由已知得，令，不妨设，所以．由（Ⅰ）知，，只需证．证明同证法2．再证明．令．令，则．所以，在区间内单调递增．因为，所以，即又因为，所以，即．因为，所以，即．综上，有结论得证． 举一反三（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数.(1)若有两个零点，的取值范围；(2)若方程有两个实根、，且，证明：.解：函数的定义域为.当时，函数无零点，不合乎题意，所以，，由可得，构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点，，由可得，列表如下：增极大值减 所以，函数的极大值为，如下图所示：且当时，，由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，故实数的取值范围是.(2)证明：因为，则，令，其中，则有，，所以，函数在上单调递增，因为方程有两个实根、，令，，则关于的方程也有两个实根、，且，要证，即证，即证，即证，由已知，所以，，整理可得，不妨设，即证，即证，令，即证，其中，构造函数，其中，，所以，函数在上单调递增，当时，，故原不等式成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.例2：（2016·全国（理））已知函数有两个零点.（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是的两个零点，证明：.解析：（Ⅰ）．（Ⅰ）设，则，只有一个零点．（Ⅱ）设，则当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．又，，取满足且，则，故存在两个零点．（Ⅲ）设，由得或．若，则，故当时，，因此在单调递增．又当时，所以不存在两个零点．若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．综上，的取值范围为．（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在单调递减，所以等价于，即．由于，而，所以．设，则．所以当时，，而，故当时，．从而，故．举一反三（2022·安徽淮北·一模（文））已知函数，(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在上有两个不相等的零点，求证：.【解析】(1)，.①当时，恒成立，单调递增；②当时，由得，，单调递增，由得，，单调递减.综上：当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.(2)∵在上有两个不相等的零点，，不妨设，∴在上有两个不相等的实根，令，，∴，由得，，单调递减，由得，，单调递增，，，，，∴要证，即证，又∵，只要证，即证，∵，即证即证，即证，即证令，，∴，令，，则，当时，恒成立，所以在上单调递增，又，∴，∴，∴∴在上递增，∴，∴∴.【点睛】极值点偏移问题，需要构造函数，利用函数单调性及极值，最值等进行求解.精练巩固提升一、单选题1．（2022·湖北恩施·二模）已知，，，均为的解，且，则下列说法正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】A选项：根据“三个等价”，将方程根的问题转化成构造出的函数零点的问题，利用零点存在性定理确定出的取值情况；B，C，D选项：对方程变形，参变分离构造函数，从函数的角度以及利用极值点偏移可以得出相应结论，详细过程见解析.【详解】对于A，令，因为，所以在上单调递增，与x轴有唯一交点，由零点存在性定理，得，，则，故A错误.对于B，C，D，当时，两边同时取对数，并分离参数得到，令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；如图所示， 当时，与的图象有两个交点，，解得，故B正确；，由A选项知，，故C错误；由极值点偏移知识，此时函数的极值点左移，则有，故D错误.故选：B.2．（2021·河南·郑州外国语中学三模理））关于函数，下列说法错误的是（       ）A．是的极小值点B．函数有且只有个零点C．存在正实数，使得恒成立D．对任意两个正实数，，且，若，则【答案】C【解析】【分析】对于A，分析导函数可作判断；对于B，考查函数的单调性可作判断；对于C，分离参数，再分析函数最值情况而作出判断；对于D，构造函数讨论其单调性，确定即可判断作答.【详解】对于A选项：定义域为，，时,时，是的极小值点，A正确；对于B选项：令，在上递减，，有唯一零点，B正确；对于C选项：令，令，时,时,，在上递减，在上递增，则，，在上递减，图象恒在x轴上方，与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误；对于D选项：由A选项知，在上递减，在上递增，因正实数，，且，，则，时，令，，即在上递减，于是有，从而有，又 ，所以，即成立，D正确.故选：C.3．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）关于函数，下列判断正确的是（   ）①是极大值点；②函数有且仅有个零点；③存在正实数，使得成立；④对任意两个正实数、且，若，则.A．①④ B．②③ C．②③④ D．②④【答案】D【解析】【分析】利用极值与导数的关系可判断①的正误；利用导数分析函数的极值与单调性，结合零点存在定理可判断②的正误；利用参变量分离法结合导数可判断③的正误；利用对数平均不等式结合基本不等式可判断④的正误.【详解】对于①，函数的定义域为，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，是极小值点，①错；对于②，令，该函数的定义域为，，则函数在上单调递减，因为，，所以，函数有且仅有个零点，②对；对于③，若存在正实数，使得成立，则，令，其中，则，令，其中，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，则，所以，当时，，故函数在上单调递减，则无最小值，故不存在正实数，使得成立，③错；对于④，先证明，其中，即证，令，即证，令，其中，则，所以，函数在上为减函数，当时，，所以，当时，，由，得可得，所以，，所以，，因此，，④对.故选：D.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.二、多选题4．（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）函数，下列说法正确的有（       ）A．最小值为B．C．当时，方程无实根D．当时，若的两根为，，则【答案】BD【解析】【分析】求出函数的导函数，即可得其单调性，画出函数图象，进而判断出ABC的正误．对于D，当时，若的两根为，，则，下面给出证明构造函数，．利用导数研究函数的单调性及其与最值即可得出结论．【详解】解：，定义域，，或时，；当时．和时，函数单调递减；，函数单调递增．画出函数图象如下所示：对于A．可得时，，因此函数无最小值；对于B．，函数单调递增，， ），，因此B正确；对于C．当时，方程有一个实根，因此C不正确；对于D．当时，若的两根为，，则，下面给出证明：不妨设，要证明，即证明，即证明，构造函数，，．，，，，，，即成立，因此当时，若的两根为，，则，故D正确．故选：BD．三、解答题5．（2022·天津河东·二模）已知函数（且）．(1)，求函数在处的切线方程．(2)讨论函数的单调性；(3)若函数有两个零点，且，证明：．【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，利用点斜式写出切线方程；（2）求出导函数，对a分类讨论： a<0和a>0分别讨论单调性；（3）本题属于极值点偏移，利用分析法转化为只要证明f(2e- x2)>0，由构造函数，利用导数证明出g(t)在(e，2e)上是递增的，得到g(t)>g(e)=0即为f(2e- x2)>0.(1)当时，，所以.，所以.所以函数在处的切线方程为，即.(2)的定义域为(0，+∞)， .当a<0时， 恒成立，所以在(0，+∞)上单调递减；当a>0时， .在上，，所以单调递减；在上，，所以单调递增.(3)当，.由(2)知， 在上单调递减，在上单调递增.由题意可得：.由及得：.欲证x1+x2>2e，只要x1>2e- x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)=0，只要证明f(2e- x2)>0即可.由得 .所以令则，则g(t)在(e，2e)上是递增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e- x2)>0.综上x1+x2>2e.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)利用导数判断单调性，证明不等式．6．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数(1)求证：当时，；(2)当方程有两个不等实数根时，求证：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）令，进而讨论单调性，求解证明即可；（2）证法一：由函数的单调性易得，进而得，不妨设，由于方程可化为，进而将问题转化为；，再求和即可证明结论；证法二：由函数的单调性易得，进而得，不妨设，根据分析法将问题转化为证，即证明，再构造函数，证明，恒成立即可.(1)证明：令，因为，所以在上单调递增，所以，即当时，.(2)证明：由，得，易知在单调递减，在单调递增，所以.       因为方程有两个不等实根，所以.不妨设.由（1）知，当时，；当时，.方程可化为.所以，整理得.①同理由，整理得.②由①②，得.又因为所以.法二：由，得，易知在单调递减，在单调递增，所以.因为方程有两个不等实根，所以.不妨设.要证，只要证，只要证：.因为在上单调递增，只要证：.令，只要证，恒成立.因为，令，则，故在上单调递增，，所以，所以在上单调递减，所以，故原结论得证.【点睛】本题考查利用导数证明不等式，极值点偏移的问题；考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于借助第一问和，进而求和证明.或者借助极值点偏移问题的方法，构造函数，将问题转化为证，恒成立.