2021-2022学年四川省师大附属实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年四川省师大附属实验中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共32分）

1. 使分式有意义的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知，那么下列不等式中一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列从左到右的变形，是分解因式的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 已知多项式分解因式后为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，的周长是，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 下列命题中正确的是(    )

A. 同位角相等
B. 相等的角是对顶角
C. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等
D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

7. 如图，在中，，是上一点，，，，则长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共10小题，共40分）

9. 分解因式：______．
10. 若分式的值为零，则的值为______．
11. 已知关于的方程的解为正数，则实数的取值范围是______．
12. 如图，已知，，，若平分，平分外角，连接，则的度数为______．

13. 当______时，是一个完全平方式．
14. 对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：则方程的解是______ ．
15. 从、、、、这五个数中随机抽取一个记为数，则关于的不等式组有三个整数解，且使得关于的方程的解为非负数的概率是______．
16. 已知：是三边都不相等的三角形，点是三个内角平分线的交点，点是三边垂直平分线的交点，当、同时在不等边的内部时，那么和的数量关系是： ______ ．

17. 如图，把绕顶点顺时针旋转得到，若直线垂直平分，垂足为点，连接，，且下面四个结论：
    ；
    ；
    ；
    的面积为，
    其中正确的结论有______．

18. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，则的面积为______．

三、解答题（本题共8小题，共78分）

19. 计算
    分解因式：；
    解方程：．
    解不等式组并求出它所有的整数解的和．
    先化简，再求值：，其中．
20. 关于，的二元一次方程组的解是正数．
    用含的代数式表示方程组的解______，______．
    求整数的值．
21. A、两地相距千米，一辆公共汽车从地出发，开往地，小时后，又从地同方向开出一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的倍，结果小汽车比公共汽车早到分钟到达地，求两种车的速度？
22. 如图，在中，平分，且平分于点，于点，交的延长线于点．
    求证：；
    求证：；
    如果，，求的长．

23. 阅读材料：我们已经学习了二次根式和乘法公式，可以发现；当，时，有，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
    当时，的最小值为______；当时，的最大值为______．
    当时，求的最小值．
    如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为和，求四边形面积的最小值．

24. 某校服生产厂家计划在年底推出两款新校服和共套，预计前期投入资金不少于元，但不超过元，且所投入资金全部用于两种校服的研制，其成本和售价如表：

该厂家有几种生产新校服的方案可供选择？
该厂家要想获得最大的利润，最大利润为多少？
经市场调查，年底前每套款校服售价不会改变，而每套款校服的售价将会提高元，且所生产的两种校服都可以售完，该厂家又该如何安排生产校服才能获得最大利润呢？

25. 图，在平面直角坐标系中，直线，都经过点，它们与轴的正半轴分别相交于点，，且
    求直线，的函数表达式；
    设是第一象限内直线上一点，连接，有，分别是直线，上的动点，连接，，，求的最小值；
    如图，在的条件下，将沿射线方向平移，记平移后的三角形为，在平移过程中，若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
     

26. 如图，在中，，，点为斜边的中点，点、点为直角边上的动点点在点的右侧，且．
    如图，当点、点分别在边和上，且时，求的度数．
    如图，若点、点都在边上，当时，说说与有什么数量关系？并加以证明．
    如图，当、均在边上运动时，做点关于直线的对称点，若，为中点，求当最短时，线段的长度．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由分式有意义，得
，
解得，
故选：．
根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．
本题考查了分式有意义的条件，利用分式的分母不为零得出不等式是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
根据不等式的基本性质可得：
，
再根据不等式的基本性质可得：
，故B错误；
当时，，所、D错误．
根据不等式的基本性质可得：
．
故选：．
根据不等式的基本性质，不等式的两边都加上或减去同一个数，所得到的不等式仍成立．不等式的两边都乘以或除以同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，必须把不等号的方向改变，所得的不等式成立；所以，二三四不符合不等式的基本性质，故错误．
不等式的性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：是整式的乘法，故A错误；
B.没把一个多项式转化成几个整式的积，故B错误；
C.是整式的乘法，故C错误；
D.把一个多项式转化成几个整式的积，故D正确；
故选D．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，注意因式分解与整式的乘法是相反方向的恒等变形．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
又，
．
故选：．
利用多项式乘多项式法则计算，再利用因式分解和乘法的关系得结论．
本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解与乘法的关系是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：是线段的垂直平分线，
，
的周长是，
，
，
，
，
又，
．
故选：．
首先根据是线段的垂直平分线，可得，然后根据的周长是，以及，求出的长即可．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．．
 

6.【答案】 

【解析】解：两直线平行，才有同位角相等，故A错误，不符合题意；
相等的角不一定是对顶角，故B错误，不符合题意；
如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故C错误，不符合题意；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故D正确，符合题意；
故选：．
由平行线性质，对顶角概念等逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是平行线，相交线的相关定理和概念．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据含直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质得到，进而求得．
此题考查本题主要考查了含直角三角形的性质、勾股定理和等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握含直角三角形的性质是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了轴对称--最短路线问题，难点主要是确定点的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点的位置即可．要灵活运用对称性解决此类问题．
由于点与关于对称，所以连接，与交于，可得时的和最小，而是等边的边，，由正方形的面积为，可求出的长，从而得出结果．
【解答】
解：连接，与交于点．

点与关于对称，
，
时的和最小．
正方形的面积为，
．
又是等边三角形，
．
所求最小值为．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式进行因式分解即可．
本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
根据分式的值为零的条件列式，，，则可以求出的值．
【解答】
解：由分式的值为零的条件得，，
由，解得或，
由，得，
综上所述，得，
故答案为：．  

11.【答案】且 

【解析】解：
方程两边同时乘以，
，
，
方程的解是正数，
，即，
又，
，即，
实数的取值范围是且．
故答案为：且．
先解方程求出，根据方程的解是正数求出的取值范围，同时需要注意不能是增根．
本题考查了分式方程的解．此题难度适中，注意要排除分式无解的情况，否则容易出错．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作于，于，于，如图，
平分，
，，
平分外角，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
故答案为．
过点作于，于，于，如图，利用角平分线的性质得到，，，则，再根据角平分线的性质定理的逆定理可判断平分，则可计算出，然后根据三角形外角性质可计算出的度数．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形内角和定理．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于．

，，平分，
，
，
故答案为．
如图，过点作于利用角平分线的性质定理求出即可解决问题．
本题考查作图基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

14.【答案】解：

；
，
，
，
，
，
，
经检验：是原方程的解；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
故不等式组的解集是：，
所有的整数解的和为：；



，
当时，
原式
． 

【解析】先提公因式，再利用公式法进行分解即可；
利用解分式方程的方法进行求解即可；
求出每一个不等式的解集，再求出不等式组的解集，写出符合条件的整数解即可；
利用分式的相应的运算法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，分解因式，解一元一次不等式组，解分式方程，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
 

15.【答案】   

【解析】解：，
，得：，
解得，
将代入，得：，
，
故答案为：，；
根据题意，得：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
，
则整数的值为或．
将看做常数，利用加减消元法求解可得；
根据方程组的解为正数列出关于的不等式组，解之求出的取值范围，从而得出答案．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：分钟小时，
设公共汽车的速度为千米小时，则小汽车的速度为千米小时，
根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合实际意义，
千米小时，
答：公共汽车的速度是千米小时，小汽车的速度是千米小时． 

【解析】设公共汽车的速度为千米小时，则小汽车的速度为千米小时，根据“、两地相距千米，一辆公共汽车从地出发，开往地，小时后，又从地同方向开出一辆小汽车，结果小汽车比公共汽车早到分钟到达地”，列出关于的分式方程，解之并验证即可得到答案．
本题考查分式方程的应用，正确找出等量关系，列出分式方程是解题的关键．
 

17.【答案】证明：平分，，，
；
连接、，
平分，，，
，
且平分于点，
，
在和中，
，
≌，
；
由知，
且在和中

≌，
，
而，
，
，
． 

【解析】根据角平分线的性质解答即可；
连接、，证明≌即可得出结论；
由可得出，且，而，代入可求得结果．
本题主要考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：当时，；
当时，，
，
，即．
故答案为：；；
当时，
，
当时，的最小值；
设，
，，
由等高三角形可得：：：，
：：，
，
四边形面积．
当时，直接根据公式计算即可；当时，先将变形为，再根据公式计算即可；
将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式计算的形式，计算即可；
根据等高三角形的性质计算即可．
本题是四边形综合题，考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：是一个完全平方式，
．
故答案为：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：根据题中的新定义化简得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为：．
已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可．
此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：关于的方程的解为非负数，
，
，
、、；
满足关于的不等式组有三个整数解，
即有三个整数解；
，
使得关于的方程的解为非负数，且满足关于的不等式组有三个整数解的有个，当时，有增根，
使关于的不等式组有三个整数解，且使得关于的方程的解为非负数的概率是：．
故答案为．
首先求得关于的方程的解为非负数时的值，满足关于的不等式组有三个整数解时的值，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用、分式方程解的情况以及不等式组的解集．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】 

【解析】解：平分，平分，
，，

，
即；
如图，连接．
点是这个三角形三边垂直平分线的交点，
，
，，，
，，

，

，
故答案为：．
根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到，进而得出和的数量关系．
本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：把绕顶点顺时针旋转得到，
，，
为等腰直角三角形，
，，所以正确；
直线垂直平分，
，，
，
而，
，
为斜边上的中线，
，
，
，所以错误；
作于，如图，
把绕顶点顺时针旋转得到，
，
点为的中点，
，
的面积，所以正确．
故答案为．
利用旋转的性质得，，则可得为等腰直角三角形，于是可对进行判断；由于直线垂直平分，则，，于是根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出，然后根据三角形内角和可计算出，从而可对进行判断；作于，如图，根据三角形中位线性质得，利用旋转性质得，则利用三角形面积公式可计算出的面积，从而可对进行判断．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．求出点到的距离是判断的关键．
 

24.【答案】解：设生产校服套，则生产校服套，根据题意得：
，
解得：，
为整数，
只能取、、，
厂家共有三种方案可供选择，分别是：
方案一、生产校服套，生产校服套；
方案二、生产校服套，生产校服套；
方案三、生产校服套，生产校服套；
答：厂家共有三种方案可供选择，分别是：方案一、生产校服套，生产校服套；方案二、生产校服套，生产校服套；方案三、生产校服套，生产校服套；
设总利润为，则，
，
随的增大而减小，
当取最小值时，最大，
当取时，取得最大值为元，
答：该厂家采用生产方案一可以获得最大的利润，最大利润为元；
总利润，
分为三种情况：当时，安排生产校服套，可获得最大利润，
当时，怎么安排生产利润总是定值元，
当时，安排生产校服套，可获得最大利润．
答：当时，安排生产校服套，可获得最大利润，当时，怎么安排生产利润总是定值元，当时，安排生产校服套，可获得最大利润． 

【解析】设生产校服套，则生产校服套，根据题意得出不等式组求出不等式组的整数解，即可得出答案；
根据得出随的增大而减小，推出当取最小值时，最大，把代入求出即可；
设总利润为，根据题意得出总利润，分为三种情况：当时，安排生产校服套，可获得最大利润，当时，怎么安排生产利润总是定值元，当时，安排生产校服套，可获得最大利润．
本题考查了一次函数的应用，关键是能根据题意得出函数式，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，用的数学思想是转化思想．
 

25.【答案】解：如图中，

，
，
，，
，，
，，
直线的解析式为，直线的解析式为．

设点，
，
，
，
解得，
，
如图中，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接交于，交于，此时的值最小，最小值是线段的长．

，
点在轴上，，
，
，，
，
的最小值为．

如图中，

由题意，点的运动轨迹是直线，设
当时，，
解得，
或
当时，，
解得，

当时，，
解得，
或，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或或 

【解析】求出，两点坐标利用待定系数法即可解决问题．
如图中，设点，利用三角形的面积公式求出点坐标，如图中，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接交于，交于，此时的值最小，最小值是线段的长．
由题意，点的运动轨迹是直线，设分三种情形：当时．当时．当时，分别求解即可解决问题．
本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，轴对称变换，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】解：如图，

作平分，交于，
，
，点是的中点，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
；
如图，

，理由如下：
将三角形绕点顺时针旋转至，连接，
，，，，
，
，，
，
，
即，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；
如图，

连接，
由知：≌，
，，
，
点在与成夹角是的射线上运动，
当时，最小，
在中，，，
，
，
作于，
同理可得：，，，
，
在中，由勾股定理得，
． 

【解析】作平分，交于，证明≌，从而，从而得出，进而得出进一步求得；
将三角形绕点顺时针旋转至，连接，证明≌，从而求得，进而求得，，进一步求得和的数量关系；
结合的证明可得点在与夹角为的射线上运动，从而确定当射线时，最小，进而求得，，进而求得，，，进而在中求得结果．
本题考查了直角三角形和等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．