【题型归类大全】2023年高考一复习学案（理科数学）考点04：函数及其表示

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[考纲传真]
1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．

[题型归类]
1．同一函数问题
2．求函数定义域的方法——直接法
3．求函数定义域的方法——求交法
4．求函数定义域的方法——抽象复合法
5．求函数定义域的方法——实际问题法
6．求函数解析式——换元法
7．求函数解析式——配凑法
8．求函数解析式——待定系数法
9.求函数解析式——方程组法
10.求分段函数的函数值
11.分段函数求参数或自变量的值
12.解与分段函数有关的方程或不等式
题型一：同一函数问题
►例1 下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝(eq \r(x))2与y＝eq \r(x2)
B．y＝lnex与y＝ekx
C．y＝eq \f(x2－1,x＋1)与y＝x－1
D．y＝lg(x＋1)－1与y＝lgeq \f(x＋1,10)
解析：对于A，y＝(eq \r(x))2的定义域为[0，＋∞)，y＝eq \r(x2)的定义域为R，则A不正确；对于B，y＝lnex＝x，y＝ekx，则B不正确；对于C，y＝eq \f(x2－1,x＋1)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，y＝x－1的定义域为R，则C不正确；对于D，y＝lg(x＋1)－1的定义域为(－1，＋∞)，y＝lgeq \f(x＋1,10)＝lg(x＋1)－1的定义域为(－1，＋∞)，则D正确，故选D.
►例2下列各组函数表示相同函数的是( )
A．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝(eq \r(x))2
B．f(x)＝1，g(x)＝x2
C．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x<0，))g(t)＝|t|
D．f(x)＝x＋1，g(x)＝eq \f(x2－1,x－1)
解析：选C g(t)＝|t|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t，t≥0，,－t，t<0.))
►例3具有性质：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：
①y＝x－eq \f(1,x)；②y＝x＋eq \f(1,x)；③y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，01.))
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①
解析：选B 对于①，f(x)＝x－eq \f(1,x)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)－x＝－f(x)，满足题意；对于②，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,\f(1,x))＝f(x)≠－f(x)，不满足题意；对于③，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，0<\f(1,x)<1，,0，\f(1,x)＝1，,－x，\f(1,x)>1，))即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x>1，,0，x＝1，,－x，0题型二：求函数定义域的方法——直接法
知识与方法
一、求函数的定义域的主要依据
1、分式的分母不能为零.
2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中奇次方根的被开方数取全体实数，即中，.
3、指数函数的底数必须满足.
4、对数函数的真数必须大于零，底数必须满足.
5、零次幂的底数不能为零，即中.
6、正切函数的定义域是.
7、复合函数的定义域的求法
（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域.
（2）已知复合函数的定义域为，求原函数的定义域：只需根据求出函数的值域，即得原函数的定义域.
8、求函数的定义域:一般先分别求函数和函数的定义域和，再求，则就是所求函数的定义域.
9、求实际问题中函数的定义域：不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义.
二、函数的定义域的表示：函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.
函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上是集合的一种特殊表示形式.
三、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则.
研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域.之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便.
►例1 函数的定义域是 .
解析：要使函数有意义，必须，即，．故答案应填：
►例2 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
解析：由题意得：x2－x > 0，接的x > 1，或x < 0，所以选C．
►例3 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
解析：由已知得即或，解得或，故选.
►例4函数y＝eq \f(\r(－x2－x＋2),ln x)的定义域为( )
A．(－2,1) B．[－2,1]
C．(0,1) D．(0,1]

解析：由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－x＋2≥0,ln x≠0,x＞0))，解得0＜x＜1，故选C.
题型三：求函数定义域的方法——求交法
知识与方法
求函数的定义域，一般先求和函数的定义域和，再求，则就是所求函数的定义域.
►例1 函数的定义域是 （ ）
A． B． C． D．

解析：要使原式有意义需要满足，解得
►例2 函数的定义域为 （ ）
A．(-3,0] B．(-3,1] C． D．
解析：要使原式有意义需要满足，解得
►例3函数f(x)＝eq \f(3x2,\r(1－x))＋lg(3x＋1)的定义域是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))
解析：由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x＞0，,3x＋1＞0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜1，,x＞－\f(1,3)，))∴－eq \f(1,3)＜x＜1，故选A.
题型四：求函数定义域的方法——抽象复合法
知识与方法
已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域.（2）已知复合函数的定义域为，求原函数的定义域：只需根据求出函数的值域，即得原函数的定义域.
►例1已知函数的定义域为,则函数的定义域为 .
解析：由题意可知 ，则.故选B
►例2若函数的定义域为，求函数的定义域.
解析：依题意知： 解之得 ∴ 的定义域为
►例3已知函数f(2x)的定义域为[－1,1]，则f(x)的定义域为________．
解析：∵f(2x)的定义域为[－1,1]，∴eq \f(1,2)≤2x≤2，即f(x)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)).]
►例4若函数f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lg x)的定义域为( )
A．[－1,1] B．[1,2]
C．[10,100] D．[0，lg 2]
解析：因为f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，
则－1≤x≤1，故0≤x2≤1，所以1≤x2＋1≤2.
因为f(x2＋1)与f(lg x)是同一个对应关系，
所以1≤lg x≤2，故10≤x≤100，
所以函数f(lg x)的定义域为[10,100]．故选C.
题型五：求函数定义域的方法——实际问题法
知识与方法
►例1 一个圆柱形容器的底部直径是,高是.现在以的速度向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度关于注入溶液的时间的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.
解析：向容器内注入溶液经历时间为秒后,容器中溶液的高度为.故秒后溶液的体积为＝底面积×高＝π2＝ 解之得：＝又因为0≤x≤h 即0≤≤h 0≤t≤，故函数的定义域为{|0≤≤}，值域为{|0≤≤}.
►例2一木制框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4 m2，若用x表示y的表达式为f(x)，则f(x)＝__________.
解析：由已知x·y＋eq \f(1,2)·x·eq \f(1,2)x＝4，
∴y＝eq \f(4,x)－eq \f(1,4)x，即f(x)＝eq \f(4,x)－eq \f(x,4).
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,\f(4,x)－\f(x,4)>0，))得0►例3行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：y＝eq \f(x2,200)＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．
(1)求出y关于x的函数表达式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．
解析：(1)由题意及函数图象，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(402,200)＋40m＋n＝8.4，,\f(602,200)＋60m＋n＝18.6，))
解得m＝eq \f(1,100)，n＝0，∴y＝eq \f(x2,200)＋eq \f(x,100)(x≥0)．
(2)令eq \f(x2,200)＋eq \f(x,100)≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．
题型六：求函数解析式——换元法
知识与方法
已知，求的解析式，通常用换元法，其步骤是：⑴ 设，确定的取值范围；⑵ 把看成常数，解关于的方程得到；⑶ 将代入，得到函数的解析式；⑷ 再用替换中的得函数的解析式。
►例1 已知f（）= ，求f（x）的解析式.
解析：设= t ，则 x= （t≠1），∴f（t）= = 1+ +（t－1）= t2－t+1故 f（x）=x2－x+1 （x≠1）.
►例2若函数满足，求的解析式。
解析：令，则，，即。
►例3已知f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________.
解析：令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝eq \f(t－1,2)，
所以f(t)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t－1,2)))2－6×eq \f(t－1,2)＋5＝t2－5t＋9，
所以f(x)＝x2－5x＋9.
题型七：求函数解析式——配凑法
知识与方法
►例1 已知f（+1）= x+2，求f（x）的解析式.
解析：f（+1）= +2+1－1=－1，∴ f（+1）= －1 （+1≥1），将+1视为自变量x，则有f（x）= x2－1 （x≥1）.
题型八：求函数解析式——待定系数法
知识与方法
我们在解决某些问题时，常用一些字母来表示需要确定的系数，然后根据一些条件或要求来确定这些系数，从而解决问题，这样的思维方法叫待定系数法。已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。
►例1 已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求f（x）的解析式.
解析：设二次函数f（x）= ax2+bx+c，则 f（0）= c= 0 ①
f（x+1）= a+b（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b ②
由f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、② 得
解得 故f（x）= x2+7x.
►例2已知实系数的一次函数满足，求。
解析：：设一次函数，则
， 又，
比较对应的系数，得，
故的解析式为或。
►例3已知是二次函数且，求的解析式。
解析：由题意，设，
则
对恒成立，
从而有， ，，
即所求函数的解析式为。
题型九：求函数解析式——方程组法
知识与方法
►例1 设函数f（x）满足f（x）+2 f（）= x （x≠0），求f（x）函数解析式.
解析：∵ f（x）+2 f（）= x （x≠0） ①
由代入得 2f（x）+f（）=（x≠0） ②
解 ①② 构成的方程组，得 f（x）=－ （x≠0）.
►例2已知函数，对任意的满足，且，求的解析式。
解：由题意，令，则
为，
即，再令，得
►例3已知f(x)＋2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝x(x≠0)，则f(x)＝________.
解析：∵f(x)＋2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝x，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋2f(x)＝eq \f(1,x).
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx＋2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝x，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋2fx＝\f(1,x)，))
解得f(x)＝eq \f(2,3x)－eq \f(x,3)(x≠0)．]
►例4已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)＝________.
解析：由f(－x)＋2f(x)＝2x ①，
得f(x)＋2f(－x)＝2－x ②，
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3).
∴f(x)的解析式为f(x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3).]
题型十：求分段函数的函数值
知识与方法
►例1 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2cs πx，x＜0,fx－1＋1，x＞0))，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))的值为( )
A．－1 B．1 C.eq \f(3,2) D.eq \f(5,2)
解析：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋1＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＋1＋1＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)π))＋2＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2＝1，故选B.]
►例2记[x]为不超过x的最大整数，如[－1.2]＝－2，[2.3]＝2，已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2[x]－1，x≥1，,x2＋1，x<1，))则f(f(－1.2))＝________，f(x)≤3的解集为________．
解析：根据[x]的定义，
得f(f(－1.2))＝f(2.44)＝2[2.44]－1＝3.
当x≥1时，由f(x)＝2[x]－1≤3，
得[x]≤2，所以x∈[1,3)；
当x<1时，由f(x)＝x2＋1≤3，
得－eq \r(2)≤x<1.故原不等式的解集为[－eq \r(2)，3)．
►例3已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2cs πx，x≤0，,fx－1＋1，x>0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))的值为( )
A．－1 B．1 C.eq \f(3,2) D.eq \f(5,2)
解析：选B 依题意得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋1＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＋1＋1＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))＋2＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2＝1.故选B.
►例4已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x>0，,fx＋1，x≤0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))的值等于( B )
A．－2 B．4
C．2 D．－4
解析：由题意得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝2×eq \f(4,3)＝eq \f(8,3)，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝2×eq \f(2,3)＝eq \f(4,3)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝4.
题型十一：分段函数求参数或自变量的值
►例1 已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－2，x≥0,－x2＋3，x＜0，))若f(a)＝2，则实数a的值为( )
A．2 B．－1或2
C．±1或2 D．1或2
解析：由f(a)＝2得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0，,2a－2＝2，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,－a2＋3＝2，))解得a＝2或a＝－1，故选B.
►例2已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1－2，x≤1，,－lg2x＋1，x＞1，))且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
A．－eq \f(7,4) B．－eq \f(5,4) C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(1,4)
解析：分类讨论处理条件f(a)＝－3，解得a，然后代入函数解析式计算f(6－a)．
由于f(a)＝－3，
①若a≤1，则2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1.
由于2x>0，所以2a－1＝－1无解；
②若a>1，则－lg2(a＋1)＝－3，
解得a＋1＝8，a＝7，
所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－eq \f(7,4).
综上所述，f(6－a)＝－eq \f(7,4).故选A
►例3已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x≥1，,x2＋m2，x＜1，))若f(f(－1))＝2，则实数m的值为( )
A．1 B．1或－1
C.eq \r(3) D.eq \r(3)或－eq \r(3)
解析：f(f(－1))＝f(1＋m2)＝lg2(1＋m2)＝2，m2＝3，解得m＝±eq \r(3)，故选D.
题型十二：解与分段函数有关的方程或不等式
知识与方法
1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
►例1 设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤0，,2x，x＞0，))则满足f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＞1的x的取值范围是________．
解析：当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋eq \f(1,2)>1，解得x>－eq \f(1,4)，
∴－eq \f(1,4)当01，显然成立．
当x>eq \f(1,2)时，原不等式为2x＋2x－eq \f(1,2)>1，显然成立．
综上可知，x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞)).]
►例3设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x<0，,－x2，x≥0，))g(x)为定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝x2－2x－5，若f(g(a))≤2，则实数a的取值范围是( A )
A．(－∞，－1]∪[0,2eq \r(2)－1]
B．[－1,2eq \r(2)－1]
C．(－∞，－1]∪(0,3]
D．[－1,3]
解析：∵g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(0)＝0，若x>0，则－x<0，g(－x)＝x2＋2x－5，∵g(－x)＝－g(x)，∴g(x)＝－x2－2x＋5，x>0，由题意，知f(－2)＝2，
∴f(g(a))≤2即为f(g(a))≤f(－2)．
又f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x<0，,－x2，x≥0，))∴g(a)≥－2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,a2－2a－5≥－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,－a2－2a＋5≥－2))或a＝0，
∴a≤－1或0≤a≤2eq \r(2)－1.故选A.
►例4设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xx－1，x≥0，,－f－x，x<0，))则满足f(x)＋f(x－1)<2的x的取值范围是
解析：(1)当x≥1时，f(x)＋f(x－1)＝x(x－1)＋(x－1)(x－2)<2，解得0(2)当0≤x<1时，f(x)＋f(x－1)＝x(x－1)＋x(1－x)＝0<2，满足题意；
(3)当x<0时，f(x)＋f(x－1)＝x(－x－1)＋x(1－x)＝－2x2<2恒成立，
综上，x的取值范围是(－∞，2)．