陕西省延安市第一中学2021-2022学年高二下学期第一次月考数学（理）试题（含答案）

2021—2022学年度第二学期月考

高二年级(理科)数学试题

（本卷满分：150分    考试时间：120分钟）

第I卷（选择题）

一、单选题(每题5分，共60分)

1．若函数，当时，平均变化率为2，则等于（       ）

A． B．2 C．3 D．1

2．已知函数在定义域内可导，其图象如下图，记的导函数为，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

3．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（       ）

A． B． C． D．

4．设函数在上存在导函数，的图象在点处的切线方程为，那么（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．积分（       ）

A． B． C． D．

6．在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（  ）．

A． B．

C． D．

7．“函数在上是增函数”是：“实数”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．函数的图象如图所示，是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是（       ）

A． B．

C． D．

9．已知函数，则的值为（       ）

A． B．0 C．1 D．

10．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（　　）

A． B．

C． D．

11．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（       ）

A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞)     C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)

12．已知是定义在上的单调递减函数，是的导函数，若，则下列不等式成立的是

A．    B．     C．    D．

第II卷（非选择题）

二、填空题(每题5分，共20分)

13．若，则_______．

14．若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．

15．已知f (x)=cos x，g (x) = x，则关于x的不等式的解集为__________.

16．已知函数，则的单调递增区间为______．

三、解答题(共70分)

17．(本题10分)已知函数，若曲线在处的切线方程为．

(1)求，的值；

(2)求函数在上的最小值．

18．(本题12分)已知函数．

（1）求函数单调区间；

（2）若曲线在某点处的切线平行于x轴，求切线方程．

19．(本题12分)某种儿童型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成，（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为毫米.防蚊液所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设的长为毫米.（注：，其中为球半径，为圆柱底面积，为圆柱的高）

（1）求容器中防蚊液的体积关于的函数关系式；

（2）如何设计与的长度，使得最大？

20．(本题12分)设函数f（x）=ax2－lnx．

（1）当a=时，判断f（x）的单调性；

（2）设f（x）≤x3+4x－lnx，在定义域内恒成立，求a的取值范围．

21．(本题12分)设函数.

(1)若在点处的切线为，求a，b的值；

(2)求的单调区间.

22．(本题12分)已知在时有极值0．

（1）求常数 的值；

（2）求的单调区间．

（3）方程在区间[-4,0]上有三个不同的实根时实数的范围．

高二(理科)数学参考答案

1-12     D B C C B    A B A B A   C C

13．      14．   15．    16．或者(0,1]

17．(1)；    (2)

【解析】(1)由已知可得．又，所以．

(2)由（1）可知，，

令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减．又，，所以函数在上的最小值为．

18．（1），（2）当为毫米，为毫米时，防蚊液的体积有最大值.

【解析】（1）由得，由得，

所以防蚊液体积，

（2）求导得，

令得；令得，所以在上单调增，在上单调减，所以当时，有最大值，此时，，

答：当为毫米，为毫米时，防蚊液的体积有最大值.

19．（1）f（x）在0＜x≤1上，函数为减函数；在x＞1上，函数为增函数；（2）a≤4.

【解析】（1）、当a=时，f（x）=x2－lnx，=x－

令=0，解得x=1或x=－1（舍），所以当＞0时，x＞1，当＜0，0＜x＜1

所以f（x）在0＜x≤1上，函数为减函数；在x＞1上，函数为增函数．

（2）令H（x）= f（x）－(x3+4x－lnx)= －x3+x2－4x=x(－x2+ax－4)

所以要使f（x）≤x3+4x－lnx，在定义域内恒成立，只需H（x）≤0，在定义域内恒成立，

即x(－x2+ax－4) ≤0在x＞0上恒成立．由于x＞0，所以只要－x2+ax－4≤0在x＞0上恒成立

所以应满足△≤0或者，所以a≤4.

20．(1)，；(2)当时，在单调递减；当时，的递减区间为，单增区间为.

【解析】(1)的定义域为，，

因为在点处的切线为，所以，所以；所以把点代入得：.    即a，b的值为：，.

(2)由（1）知：.

①当时，在上恒成立，所以在单调递减；

②当时，令，解得：，

列表得：

所以，时，的递减区间为，单增区间为.

综上所述：当时，在单调递减；

当时，的递减区间为，单增区间为.

21．（1）增区间为，减区间为，；（2）．

【解析】解：（1）；函数的定义域为，

令，解得，令，解得或，

所以的增区间为，减区间为，；

（2）设切点坐标为，因为切线平行于x轴，故，

解得，故切点坐标为，故处切线的方程为．

22．（1）；（2）减函数区间为；的增函数区间为或；（3）

【解析】

②当时，

故方程有根或

 由表可见，当时，有极小值0，故符合题意

由上表可知：的减函数区间为

的增函数区间为或

③因为，

由数形结合可得．