10有理数的乘方及混合运算（基础）知识讲解学案

有理数的乘方及混合运算（基础）

【学习目标】

1．理解有理数乘方的定义；

2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；

3. 进一步掌握有理数的混合运算.

【要点梳理】

要点一、有理数的乘方

定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．

即有：.在中，叫做底数， n叫做指数.

要点诠释：                                                            

（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．

（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．

（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 

要点二、乘方运算的符号法则

（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ．

要点诠释：

(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．

(2)任何数的偶次幂都是非负数．

要点三、有理数的混合运算

有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．

要点诠释：

 (1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；

 （2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．

(3)在运算过程中注意运算律的运用．

【典型例题】

类型一、有理数乘方

1. 把下列各式写成幂的形式：

(1)；

(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5；

(3)．

【答案与解析】 (1)；

(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5＝(-3.7)4×52；

(3)

【总结升华】乘方时，当底数是分数、负数时，应加上括号.

2．计算：

（1）           （2）      （3）           （4）

（5）　         （6）      （7）         （8）

【答案与解析】

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）

【总结升华】与不同，，

而表示的n次幂的相反数．

举一反三：

【变式1】计算：(1)(-4)4    (2)23    (3)    (4)(-1.5)2  

【答案】 (1)(-4)4=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256；

(2)23＝2×2×2=8；      (3)

(4)   (-1.5)2=(-1.5)×(-1.5)=2.25

【变式2】（2015•长沙模拟）比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（　　）

　 A． 它们底数相同，指数也相同

　 B． 它们底数相同，但指数不相同

　 C． 它们所表示的意义相同，但运算结果不相同

　 D． 虽然它们底数不同，但运算结果相同

【答案】D．

解：比较（﹣4）3=（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）=﹣64，﹣43=﹣4×4×4=﹣64，

底数不相同，表示的意义不同，但是结果相同.

类型二、乘方的符号法则

3．不做运算，判断下列各运算结果的符号．

(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，，-(-2)2010

【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：

 (-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．

【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．

举一反三：

【变式】计算：(-1)2009的结果是(     )．

A．-l    B．1    C．-2009    D．2009

【答案】A

类型三、有理数的混合运算

4.（2016春•滨海县校级月考）计算：

（1）4×（﹣）×3﹣|﹣6|；

（2）（﹣1）3×（﹣12）÷[（﹣4）2+2×（﹣5）]．

【思路点拨】（1）原式先计算乘法及绝对值运算，再计算加减运算即可得到结果；

（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．

【答案与解析】

解：（1）原式=12×（﹣）﹣6

=﹣6﹣9+30﹣6

=9；

（2）原式=﹣1×（－12）÷（16－10）

=12÷6

=2．

【总结升华】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

举一反三：

【变式1】计算：

【答案】原式

【变式2】计算：

【答案】原式

5.          （       ）

（A）        （B）    （C）     （D）

【答案】C

【解析】逆用分配律可得：，所以答案为：C

【总结升华】当几项均为幂的形式，逆用分配律提出共同的因数时，要提指数较小的幂的形式.

举一反三：

【变式】计算：

【答案】

类型四、探索规律

6.（2014秋•埇桥区校级期中）你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到       根面条，第5次捏合抻拉得到       根面条，第次捏合抻拉得到       根面条，要想得到64根细面条，需     次捏合抻拉.

                 第1次               第2次             第3次

【答案】8; 32; ; 6

【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到：

           第1次：；第2次：；第3次：；…；第次：.

第3次捏合抻拉得到面条根数：，即8根；第5次得到：，即32根；第次捏合抻拉得到；

因为，所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.

【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．

举一反三：

【变式】已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，观察上面的规律，试猜想22008的末位数字是________．

【答案】6.