江苏省宿迁市宿豫区青华中学2022-2023学年上学期九年级期初数学试卷（含答案）

2021-2022学年山东省菏泽市郓城县江河外国语实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷

一．选择题（每个题只有一个正确选项，共8小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）如图，菱形中，．点、分别在边、上，且．若，则的面积为　　

A． B． C． D．

2．（3分）一元二次方程配方后可变形为　　

A． B． C． D．

3．（3分）如图，在菱形中，对角线、相交于点，为的中点，且，则菱形的周长为　　

A． B． C． D．

4．（3分）下列说法中，不正确的是　　

A．有三个角是直角的四边形是矩形 

B．对角线相等的四边形是矩形 

C．对角线互相垂直的矩形是正方形 

D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

5．（3分）把方程化为一元二次方程的一般形式是　　

A． B． C． D．

6．（3分）菱形不具备的性质是　　

A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 

C．对角线互相垂直 D．对角线一定相等

7．（3分）菱形的边长为，其中对角线长，菱形的面积为　　

A．60  B． C． D．240

8．（3分）已知、是方程的两个根，则的值为　　

A． B．2 C． D．

二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

9．（3分）如图，菱形中，对角线交于，，是的中点，则的长等于　　．

10．（3分）如果，则　 　．

11．（3分）如图，正方形的对角线是菱形的一边，菱形的对角线交于，则的度数为　 　．

12．（3分）用配方法解方程时，原方程可变形为 　　．

13．（3分）如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，过点的直线分别交、于、，则阴影部分的面积是　　．

14．（3分）一件工艺品进价100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得的利润为3596元，每件工艺品需降价 　　元．

三．解答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（12分）按要求解一元二次方程

（1）（配方法）

（2）（因式分解法）

（3）（公式法）

（4）．

16．（7分）已知：如图，在正方形中，，垂足为，与交于点，与交于点，求证：．

17．（7分）如图：菱形的对角线、相交于点，且，，过点作，垂足为．试求点到边的距离．

18．（7分）某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？

19．（8分）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．

（1）求每张门票的原定票价；

（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．

20．（8分）如图，在菱形中，是的中点，且，，求：

（1）的度数；

（2）菱形的面积．

21．（8分）已知关于的方程．

（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；

（2）若，是方程的两个实数根，且，求的值．

22．（9分）已知：如图，是正方形的对角线上的点，连接、．

（1）求证：；

（2）若将沿翻折后得到，当点在的何处时，四边形是正方形？请证明你的结论．

23．（12分）如图所示，、、、是矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动

（1），两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？

（2），两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是？

2021-2022学年山东省菏泽市郓城县江河外国语实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷（详解版）

一．选择题（每个题只有一个正确选项，共8小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）如图，菱形中，．点、分别在边、上，且．若，则的面积为　　

A． B． C． D．

【分析】只要证明，推出，又，推出是等边三角形，即可解决问题．

【解答】证明：如图，

在菱形中，，，

是等边三角形，

是菱形的对角线，

，

，

，

在和中，

，

，

，，

是等边三角形，

，

，

故选：．

2．（3分）一元二次方程配方后可变形为　　

A． B． C． D．

【分析】常数项移到方程的右边，再在两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．

【解答】解：，

，即，

故选：．

3．（3分）如图，在菱形中，对角线、相交于点，为的中点，且，则菱形的周长为　　

A． B． C． D．

【分析】根据已知可得菱形性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求得菱形的边长即，从而不难求得其周长．

【解答】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，则菱形的周长为．故选．

4．（3分）下列说法中，不正确的是　　

A．有三个角是直角的四边形是矩形 

B．对角线相等的四边形是矩形 

C．对角线互相垂直的矩形是正方形 

D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

【分析】根据各四边形的性质对各个选项进行分析从而得出最后答案．

【解答】解：、正确，有三个角是直角的四边形是矩形是矩形的判定定理；

、错误，对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形；

、正确，对角线互相垂直的矩形是正方形；

、正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

故选：．

5．（3分）把方程化为一元二次方程的一般形式是　　

A． B． C． D．

【分析】先把转化为；

然后再把利用完全平方公式展开得到．

再合并同类项即可得到一元二次方程的一般形式．

【解答】解：

即

移项合并同类项得：

故选：．

6．（3分）菱形不具备的性质是　　

A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 

C．对角线互相垂直 D．对角线一定相等

【分析】根据菱形的性质对各个选项进行分析，从而得到答案．

【解答】解：、是轴对称图形，故正确；

、是中心对称图形，故正确；

、对角线互相垂直，故正确；

、对角线不一定相等，故不正确；

故选：．

7．（3分）菱形的边长为，其中对角线长，菱形的面积为　　

A．60  B． C． D．240

【分析】由菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求得或的长，从而求得的长；利用菱形的面积公式：两条对角线的积的一半求得面积．

【解答】解：如图，设，的交点为

四边形是菱形

，，

在中，

故选：．

8．（3分）已知、是方程的两个根，则的值为　　

A． B．2 C． D．

【分析】先把方程化为一般式得，根据根与系数的关系得到，，再把原式通分得，然后利用整体思想进行计算．

【解答】解：方程化为一般式得，

根据题意得，，

原式．

故选：．

二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

9．（3分）如图，菱形中，对角线交于，，是的中点，则的长等于　4　．

【分析】根据菱形的性质得出，根据三角形的中位线性质得出，代入求出即可．

【解答】解：四边形是菱形，

，

是的中点，

，

，

．

故答案为4．

10．（3分）如果，则　1或　．

【分析】求时可把看作一个整体，利用因式分解法求解即可．

【解答】解：设为则变形为

移项去括号得

因式分解得

解得或

即或．

11．（3分）如图，正方形的对角线是菱形的一边，菱形的对角线交于，则的度数为　　．

【分析】根据菱形的性质对角线平分每一组对角以及正方形性质得出，，进而利用三角形外角性质求出即可．

【解答】解：正方形的对角线是菱形的一边，菱形的对角线交于，

，，

的度数为：．

故答案为：．

12．（3分）用配方法解方程时，原方程可变形为 　　．

【分析】方程两边同时乘以2变形后，利用完全平方公式配方得到结果即可．

【解答】解：去分母得：，

配方得：，

整理得：．

故答案为：．

13．（3分）如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，过点的直线分别交、于、，则阴影部分的面积是　1　．

【分析】由题可知，阴影面积就等于面积．

【解答】解：由题意可知

，

，

阴影面积三角形面积．

故答案为：1．

14．（3分）一件工艺品进价100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得到优惠，且每天获得的利润为3596元，每件工艺品需降价 　6　元．

【分析】设每件工艺品降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，利用总利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要使顾客尽量得到优惠，即可得出每件工艺品需降价6元．

【解答】解：设每件工艺品降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，

依题意得：，

整理得：，

解得：，．

又要使顾客尽量得到优惠，

，

每件工艺品需降价6元．

故答案为：6．

三．解答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（12分）按要求解一元二次方程

（1）（配方法）

（2）（因式分解法）

（3）（公式法）

（4）．

【分析】（1）首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．

（2）方程移项变形后，采用提公因式法，可得方程因式分解的形式，即可求解．

（3）方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，发现其结果大于0，故利用求根公式可得出方程的两个解．

（4）方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【解答】解：（1）（配方法）

移项得，，

配方得，，

，

，．

（2）（因式分解法）

，

，

，，

，；

（3）（公式法）

整理得，

，，，，

，

，；

（4）．

，

，，

，．

16．（7分）已知：如图，在正方形中，，垂足为，与交于点，与交于点，求证：．

【分析】根据正方形的性质得出，所以得到，利用全等的性质得到．

【解答】证明：四边形是正方形，，

，，

，

又，，

，

．

17．（7分）如图：菱形的对角线、相交于点，且，，过点作，垂足为．试求点到边的距离．

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出、，再利用勾股定理列式求出，然后根据的面积列式计算即可得解．

【解答】解：四边形是菱形，

，

，，

在中，由勾股定理得，，

，

，

即，

解得，

即点到边的距离为．

18．（7分）某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？

【分析】设每件童装应降价元，那么就多卖出件，根据每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，可列方程求解．

【解答】解：设每件童装应降价元，

由题意得：，

解得：或．

因为减少库存，所以应该降价20元．

19．（8分）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．

（1）求每张门票的原定票价；

（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．

【分析】（1）设每张门票的原定票价为元，则现在每张门票的票价为元，根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元”建立方程，解方程即可；

（2）设平均每次降价的百分率为，根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程，解方程即可．

【解答】解：（1）设每张门票的原定票价为元，则现在每张门票的票价为元，根据题意得

，

解得．

经检验，是原方程的根．

答：每张门票的原定票价为400元；

（2）设平均每次降价的百分率为，根据题意得

，

解得：，（不合题意，舍去）．

答：平均每次降价．

20．（8分）如图，在菱形中，是的中点，且，，求：

（1）的度数；

（2）菱形的面积．

【分析】（1）由在菱形中，是的中点，且，可证得，即可求得，继而求得答案；

（2）首先连接，交于点，易得，由勾股定理可求出对角线，的长，再由，即可求得答案．

【解答】解：（1）四边形是菱形，

，

是的中点，且，

，

，，

；

（2）连接，交于点，

在菱形中，，

，，

，

根据勾股定理可得：，

即，

．

21．（8分）已知关于的方程．

（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；

（2）若，是方程的两个实数根，且，求的值．

【分析】（1）需证得根的判别式恒为正值．

（2），即，依据根与系数的关系，列出关于的方程求解则可．

【解答】（1）证明：△

，

，，，

此方程有两个不相等的实数根．

（2）解：根据题意，得，，

即，

．

22．（9分）已知：如图，是正方形的对角线上的点，连接、．

（1）求证：；

（2）若将沿翻折后得到，当点在的何处时，四边形是正方形？请证明你的结论．

【分析】（1）利用正方形的性质和证明即可；

（2）由折叠的性质得出，，，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出，得出四边形是菱形，，即可得出结论．

【解答】（1）证明：四边形是正方形，

，，，

在和中，

，

，

．

（2）解：点在的中点时，四边形是正方形；理由如下：

由折叠的性质得：，，，

，是的中点，

，

，

，

四边形是菱形，是正方形对角线的交点，

，

，

四边形是正方形．

23．（12分）如图所示，、、、是矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动

（1），两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？

（2），两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是？

【分析】当运动时间为秒时，，．

（1）利用梯形的面积公式结合四边形的面积为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）过点作于点，则，，利用勾股定理结合，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【解答】解：当运动时间为秒时，，．

（1）依题意，得：，

解得：．

答：，两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为．

（2）过点作于点，如图所示．

，，

，即，

解得：，（不合题意，舍去）．

答：，两点从出发开始到秒时，点和点的距离第一次是．