辽宁省鞍山市第二中学2022-2023学年九年级上学期期初数学试卷（含答案）

这是一份辽宁省鞍山市第二中学2022-2023学年九年级上学期期初数学试卷（含答案），共32页。
2022-2023学年辽宁省鞍山二中九年级（上）期初数学试卷
一.选择题（共8小题，2×8＝16）
1．（2分）下列根式是最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．（2分）下列运算正确的是（　　）
A． B． C．＝6 D．÷＝3
3．（2分）一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝bx+k（b≠0）在同一平面直角坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2分）如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法中错误的是（　　）

A．甲乙两地相距1000km
B．点B表示此时两车相遇
C．慢车的速度为100km/h
D．折线B﹣C﹣D表示慢车先加速后减速最后到达甲地
5．（2分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a＝b，∠C＝45°
C．∠A：∠B：∠C＝6：8：10 D．a＝，b＝，c＝2
6．（2分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．24 B．48 C．72 D．96
7．（2分）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的边AC上的高，则BD的长为（　　）

A． B． C． D．
8．（2分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结DE、EF、DF、AE，点O是AE与DF的交点，下列结论中，正确的个数是（　　）
①△DEF的周长是△ABC周长的一半；
②AE与DF互相平分；
③如果∠BAC＝90°，那么点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等；
④如果AB＝AC，那么点O到四边形ADEF四条边的距离相等．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题（共8小题，3×8＝24）
9．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是　 　．
10．（3分）甲，乙两人进行掷飞镖比赛，每人各掷6次，所得环数的平均数相同．甲所得环数为：9，8，9，6，10，6．乙所得环数的方差为4，那么成绩较为稳定的是 　 　．（填“甲”或“乙”）
11．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+5的图象的交点坐标为（2，3）．则关于x的不等式kx+b＞﹣x+5＞0的解集为 　 　．

12．（3分）在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过　 　秒该直线可将▱OABC的面积平分．

13．（3分）如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.8米，则梯子顶端A下落了 　 　．

14．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为　 　．

15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝9，点E在CD边上，且DE＝2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是 　 　．

16．（3分）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝AD＝2；④△COF的面积为3；⑤AD⊥CF．其中正确的结论有 　 　．

三、解答题（共8小题）
17．（7分）（1）计算：（﹣）×；
（2）先化简，再求值：÷（﹣a﹣2），其中a＝﹣3．
18．（5分）如图，在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处．问：此时快艇航行了多少米（即AB的长）？

19．（5分）如图，▱ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．

20．（6分）近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示：

根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）完成表格填空：

平均月收入/千元
中位数/千元
众数/千元
方差/千元2
“美团”
　 　
6
6
1.2
“滴滴”
6
　 　
　 　
7.6
（2）根据以上数据，若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．
21．（7分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BO的长．

22．（9分）为迎接“国家级文明卫生城市”检查，我市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱．通过市场调研发现：购买1个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需340元；购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元．
（1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
（2）该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱不超过16个．
①求购买垃圾箱的总花费ω（元）与A型垃圾箱x（个）之间的函数关系式；
②当购买A型垃圾箱个数多少时总费用最少，最少费用是多少？
23．（9分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+1与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣3与x轴交于点B，与l1相交于点C．
（1）请直接写出点A、点B、点C的坐标：A　 　，B　 　，C　 　．
（2）如图2，动直线x＝t分别与直线l1，l2交于P，Q两点．
①若PQ＝2，求t的值．
②若存在S△AQC＝2S△ABC，求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

24．（12分）已知：在正方形ABCD和正方形EDGF中，连接BF、CE，取BF，CE的中点H、K，连接HK．
（1）探究HK、CE的关系（图1），并证明．
（2）当正方形DGFE在如图2所示的位置时，上述结论还成立吗？给出证明．
（3）将上题“正方形ABCD和正方形EDGF”改为“菱形ABCD和菱形EDGF”（图3），且∠BCD＝∠GDE＝120°，其它不变，直接求出CH：CE＝　 　．



2022-2023学年辽宁省鞍山二中九年级（上）期初数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题，2×8＝16）
1．（2分）下列根式是最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝，故A不是最简二次根式；
（B）原式＝2，故B不是最简二次根式；
（D）原式＝11，故D不是最简二次根式；
故选：C．
【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
2．（2分）下列运算正确的是（　　）
A． B． C．＝6 D．÷＝3
【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝2﹣＝，所以B选项错误；
C、原式＝＝，所以C选项错误；
D、原式＝＝3，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．（2分）一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝bx+k（b≠0）在同一平面直角坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的图象，可以判断哪个选项中的图象符合题意，从而可以解答本题．
【解答】解：当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第一、二、三象限，y＝bx+k（b≠0）的图象经过第一、二、三象限，故选项A、B、C、D不符合题意；
当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第一、三、四象限，y＝bx+k（b≠0）的图象经过第一、二、四象限，故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意；
当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第一、二、四象限，y＝bx+k（b≠0）的图象经过第一、三、四象限，故选项A、B、C、D不符合题意；
当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，y＝bx+k（b≠0）的图象经过第二、三、四象限，故选项A、B、C、D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
4．（2分）如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法中错误的是（　　）

A．甲乙两地相距1000km
B．点B表示此时两车相遇
C．慢车的速度为100km/h
D．折线B﹣C﹣D表示慢车先加速后减速最后到达甲地
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
甲乙两地相距1000km，故选项A正确；
点B表示此时两车相遇，故选项B正确；
慢车的速度为1000÷10＝100km/h，故选项C正确；
折线B﹣C﹣D表示快车先到达目的地，然后是慢车到达目的地，故选项D错误；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
5．（2分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a＝b，∠C＝45°
C．∠A：∠B：∠C＝6：8：10 D．a＝，b＝，c＝2
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断A和D；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可判断B，根据三角形的内角和定理即可判断C．
【解答】解：A．∵（32）2+（42）2≠（52）2，
∴以32，42，52为边不能组成直角三角形，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵a＝b，∠C＝45°，
∴∠B＝∠A＝（180°﹣∠C）＝67.5°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、设∠A＝6x，∠B＝8x，∠C＝10x，
∴6x+8x+10x＝180，
∴x＝，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵a＝，b＝，c＝2，
∴a2+c2＝b2，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容和三角形内角和定理等于180°是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边a、b的平方和等于第三边c的平方，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
6．（2分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．24 B．48 C．72 D．96
【分析】由菱形的性质得OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝12，再由直角三角形斜边上的中线性质求出BD的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH＝2×4＝8，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×12×8＝48，
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出BD的长是解题的关键．
7．（2分）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的边AC上的高，则BD的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到答案．
【解答】解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣×1×2﹣1×3﹣2×3＝，
∴AC•BD＝，
∴•BD＝7，
∴BD＝，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
8．（2分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结DE、EF、DF、AE，点O是AE与DF的交点，下列结论中，正确的个数是（　　）
①△DEF的周长是△ABC周长的一半；
②AE与DF互相平分；
③如果∠BAC＝90°，那么点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等；
④如果AB＝AC，那么点O到四边形ADEF四条边的距离相等．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据三角形中位线定理即可解决问题；
②根据三角形中位线定理证明四边形ADEF是平行四边形，进而可以解决问题；
③证明四边形ADEF是矩形，进而可以解决问题；
④证明四边形ADEF是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题．
【解答】解：①∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，
∴EF＝AB，DF＝，DE＝AC，
∴EF+DF+DE＝（AB+BC+AC），
∴△DEF的周长是△ABC周长的一半，故①正确；
②∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，
∴DE∥AC，DF∥∥BC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AE与DF互相平分，故②正确；
③∵∠BAC＝90°，四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AE＝DF，OA＝OE＝OD＝OF，
∴点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等，故③正确；
④∵AB＝AC，
∴AD＝AF，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形，
∴AE，DF是菱形两组对角的平分线，
∴点O到四边形ADEF四条边的距离相等，故④正确．
综上所述：正确的是①②③④，共4个，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
二.填空题（共8小题，3×8＝24）
9．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是　x≤2且x≠1　．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2﹣x≥0且x﹣1≠0，
解得x≤2且x≠1．
故答案为：x≤2且x≠1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10．（3分）甲，乙两人进行掷飞镖比赛，每人各掷6次，所得环数的平均数相同．甲所得环数为：9，8，9，6，10，6．乙所得环数的方差为4，那么成绩较为稳定的是 　甲　．（填“甲”或“乙”）
【分析】计算出甲的平均数和方差后，与乙的方差比较，可以得出判断．
【解答】解：甲组数据的平均数＝（9+8+9+6+10+6）÷6＝8，
甲组数据的方差S2＝×[2×（9﹣8）2+2×（6﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2]＝，
∵S2甲＜S2乙，
∴成绩较为稳定的是甲．
故答案为：甲．
【点评】本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+5的图象的交点坐标为（2，3）．则关于x的不等式kx+b＞﹣x+5＞0的解集为 　2＜x＜5　．

【分析】结合函数图象，写出直线y＝﹣x+5在直线y＝kx+b下方且在x轴的上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：把y＝0代入y＝﹣x+5，得﹣x+5＝0，解得x＝5，
∴直线y＝﹣x+5与x轴的交点为（5，0），
∵一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+5的图象的交点坐标为（2，3），
∴当2＜x＜5时，kx+b＞﹣x+5＞0，
即关于x的不等式kx+b＞﹣x+5＞0的解集为2＜x＜5．
故答案为：2＜x＜5．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12．（3分）在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过　6　秒该直线可将▱OABC的面积平分．

【分析】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将□OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y＝2x+1的直线解析式，从而可得直线y＝2x+1要向下平移6个单位，进而可得答案．
【解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将□OABC的面积平分；
∵四边形AOCB是平行四边形，
∴BD＝OD，
∵B（6，2），点C（4，0），
∴D（3，1），
设DE的解析式为y＝kx+b，
∵平行于y＝2x+1，
∴k＝2，
∵过D（3，1），
∴DE的解析式为y＝2x﹣5，
∴直线y＝2x+1要向下平移6个单位，
∴时间为6秒，
故答案为：6．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．
13．（3分）如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.8米，则梯子顶端A下落了 　0.4米　．

【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC＝2.4米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理得CE＝2米，进而得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝0.7米，
故AC＝＝＝2.4（米），
在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝0.8+0.7＝1.5（米），
故EC＝＝＝2（米），
故AE＝AC﹣CE＝2.4﹣2＝0.4（米）．
答：梯子下滑了0.4米．
故答案为：0.4米．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，此题中主要注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长，即可计算下滑的长度．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为　4　．

【分析】根据题意和矩形的性质、线段垂直平分线的性质，可以证明△AOF≌△COE，从而可以得到AE和AB的长，然后利用勾股定理，即可得到AC的长．
【解答】解：连接AE，
∵EF垂直平分AC，
∴∠AOF＝∠COE＝90°，AO＝CO，AE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，AD＝BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴DE＝BF，
∵BE＝3，AF＝5，
∴CE＝5，
∴AE＝5，BC＝BE+CE＝8，
∴AB＝＝4，
∴AC＝＝＝4，
故答案为：4．

【点评】本题考查矩形的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝9，点E在CD边上，且DE＝2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是 　3．　．

【分析】连接BP，BE，则BP＝DP，PE+PD＝PE+PB≥BE，即PE+PD的最小值是BE长度．
【解答】解：连接BP，BE，则BP＝DP，
∴PE+PD＝PE+PB≥BE，
即PE+PD的最小值是BE长度，
∵AB＝9，DE＝2CE，
∴CE＝＝＝3，
∴BE＝＝＝3，
∴PE+PD的最小值是3．
故答案为：3．

【点评】本题考查轴对称最短问题以及矩形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
16．（3分）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝AD＝2；④△COF的面积为3；⑤AD⊥CF．其中正确的结论有 　①②⑤　．

【分析】连接DF交OE于点P，根据正方形的性质可求出OP、PE、DP，再根据“手拉手”模型证明△AOD≌△COF，即可判断各个选项的正误．
【解答】解：由题意得：∠COE＝90°，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝45°，故①正确；
∵EF＝，
∴OE＝2，
∴AE＝5，故②正确；
连接DF交OE于点P，

由题意得：OP＝DP＝1，
∴AD＝＝，
∵∠AOC＝∠DOF，
∴∠AOD＝∠COF，
∵AO＝CO，DO＝FO，
∴△AOD≌△COF（SAS），
∴CF＝AD＝，故③错误；
∵△AOD≌△COF，
∴S△COF＝S△AOD＝AO•DP＝×3×1＝，故④错误；
设AD交CO于T，交CF于K，
∵△AOD≌△COF，
∴∠OAD＝∠OCF，
∵∠ATO＝∠CTK，
∴∠AOT＝90°＝∠CKT，
∴AD⊥CF，故⑤正确，
∴正确的有①②⑤，
故答案为：①②⑤．
【点评】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形边、角、对角线的性质是解题关键．
三、解答题（共8小题）
17．（7分）（1）计算：（﹣）×；
（2）先化简，再求值：÷（﹣a﹣2），其中a＝﹣3．
【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则进行计算，再算减法即可；
（2）先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1）（﹣）×
＝×﹣×
＝﹣
＝6﹣2
＝4；

（2）÷（﹣a﹣2）
＝÷
＝÷
＝•
＝﹣
＝﹣，
当a＝﹣3时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算和分式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则和分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
18．（5分）如图，在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处．问：此时快艇航行了多少米（即AB的长）？

【分析】根据已知及三角函数求得OC的长，再根据等腰直角三角形的性质求得BC的长，从而不难求得AB的长．
【解答】解：如图：在直角△AOC中，∠AOC＝30°，OA＝1000米，
∴AC＝OA•sin30°＝500米，OC＝OA•cos30°＝500米，
∵直角△OBC是等腰直角三角形，
∴BC＝OC＝500米，
∴AB＝500+500（m）．
答：快艇航行了（500+500）米．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法构造直角三角形，难度一般．
19．（5分）如图，▱ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．

【分析】本题中，在连接BD交AC于O，则可知OB＝OD，OA＝OC，又AE＝CF，所以OE＝OF，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
【解答】证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF．
即EO＝FO．
∴四边形BEDF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，要求对平行四边形的所有判定都要掌握．
20．（6分）近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示：

根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）完成表格填空：

平均月收入/千元
中位数/千元
众数/千元
方差/千元2
“美团”
　6　
6
6
1.2
“滴滴”
6
　4.5　
　4　
7.6
（2）根据以上数据，若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．
【分析】（1）利用平均数、中位数、众数的定义分别计算后即可确定正确的答案；
（2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
【解答】解：（1）“美团”的平均数是：7×20%+8×10%+4×10%+5×20%+6×（1﹣20%﹣10%﹣10%﹣20%）
＝1.4+0.8+0.4+1+2.4
＝6（千元）；
把“滴滴”的这些数从小到大排列，中位数是第5、第6个数的平均数，
则中位数是：（4+5）÷2＝4.5（千元）；
“滴滴”的众数为4（千元）；
故答案为：6；4.5；4．
（2）选美团，平均数一样，中位数，众数美团均大于滴滴，且美团方差小，更稳定．
【点评】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式，难度不大．
21．（7分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BO的长．

【分析】（1）先证OE为△ABD的中位线，则OE∥FG，再证四边形OEFG为平行四边形，然后证∠EFG＝90°，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得到AB＝AD＝10，再由三角形中位线定理求出OE的长，然后由矩形的性质得到∠EFG＝∠AFE＝∠OGB＝90°，OG＝EF＝4，FG＝OE＝5，由勾股定理得到AF＝3，求出BG＝2，最后由勾股定理即可求出BO的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝OD，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG为平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝10，
由（1）得：OE为△ABD的中位线，
∴OE＝AB＝×10＝5，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝AD＝×10＝5，
由（1）可知，四边形OEFG是矩形，
∴∠EFG＝∠AFE＝∠OGB＝90°，OG＝EF＝4，FG＝OE＝5，
∴AF＝＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2，
∴BO＝＝＝2．

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质是解题的关键．
22．（9分）为迎接“国家级文明卫生城市”检查，我市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱．通过市场调研发现：购买1个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需340元；购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元．
（1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
（2）该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱不超过16个．
①求购买垃圾箱的总花费ω（元）与A型垃圾箱x（个）之间的函数关系式；
②当购买A型垃圾箱个数多少时总费用最少，最少费用是多少？
【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买1个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需340元；购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设购买x个A型垃圾箱，则购买（30﹣x）个B型垃圾箱，根据总价＝单价×购进数量，即可得出ω关于x的函数关系式；
②利用一次函数的性质解决最值问题．
【解答】解：（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，
由题意得：．
解得：．
答：每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元；

（2）①设购买x个A型垃圾箱，则购买（30﹣x）个B型垃圾箱，
由题意得：ω＝100x+120（30﹣x）＝﹣20x+3600（0≤x≤16，且x为整数）．

②由①知，∵ω＝﹣20x+3600，
∴ω是x的一次函数．
∵k＝﹣20＜0，
∴ω随x的增大而减小．
又0≤x≤16，且x为整数，
∴当x＝16，ω取最小值，且最小值为﹣20×16+3600＝3280．
答：①函数关系式为ω＝﹣20x+3600（0≤x≤16，且x为整数）．
②购买16个A型垃圾箱，总费用最少，最少费用为3280元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①根据各数量间的关系，找出w关于x的函数关系式；②利用一次函数的性质，解决最值问题．
23．（9分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+1与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣3与x轴交于点B，与l1相交于点C．
（1）请直接写出点A、点B、点C的坐标：A　（﹣1，0）　，B　（1，0）　，C　（2，3）　．
（2）如图2，动直线x＝t分别与直线l1，l2交于P，Q两点．
①若PQ＝2，求t的值．
②若存在S△AQC＝2S△ABC，求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）对于直线l2：y＝3x﹣3，令y＝3x﹣3＝0，解得x＝1，故点B（1，0），同理可得：点A（﹣1，0），联立，得到点C的坐标，即可求解；
（2）①设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t﹣3），则PQ＝|t+1﹣3t+3|＝2，即可求解；
②在y轴负半轴取点M，使NM＝NK，过点M作直线m∥AC交l2于点Q，则点Q为所求点，进而求解；当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），进而求解．
【解答】解：（1）对于直线l2：y＝3x﹣3①，
令y＝3x﹣3＝0，解得x＝1，故点B（1，0），
对于l1：y＝x+1，同理可得：点A（﹣1，0），
则，解得，
故点C的坐标为（2，3），
故答案为：（﹣1，0）、（1，0）、（2，3）；

（2）①点P在直线l1上，则设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t﹣3），
则PQ＝|t+1﹣3t+3|＝2，
解得t＝1或3；

②当点Q在x轴下方时，如图，

设直线l1交y轴于点K，过点B作直线n∥AC交y轴于点N，
在y轴负半轴取点M，使NM＝NK，过点M作直线m∥AC交l2于点Q，则点Q为所求点，
理由：∵M、Q在直线m上，且m∥AC，则S△MAC＝S△QAC，同理S△NAC＝S△BAC，
而MN＝KN，则m、l1之间的距离等于2倍n、l1之间的距离，故S△AQC＝2S△ABC，
由直线l1的表达式知点K（0，1），
设直线n的表达式为y＝x+b，将点B的坐标代入上式并解得b＝﹣1，故点N（0，﹣1），
则NK＝1﹣（﹣1）＝2，则MN＝NK＝2，
故点M（0，﹣3），
在直线m的表达式为y＝x﹣3②，
联立①②并解得，故点Q（0，﹣3）；
②当点M在x轴上方时，MN＝2NK，可得点M（0，5），
同理可得，过点M且平行于AC的直线表达式为y＝x+5③，
联立①③并解得，故点Q的坐标为（4，9）；
解法二：当t＜2时，BC＝BQ，可得Q（0，﹣3）．
t＝2时三角形不存在．
t＞2时，CQ＝2BC，
∴点Q的纵坐标为9，当y＝9时，9＝x+5，解得x＝5．
可得Q（4，9）．
综上，点Q的坐标为（0，﹣3）或（4，9）．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行线的性质、绝对值的应用、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
24．（12分）已知：在正方形ABCD和正方形EDGF中，连接BF、CE，取BF，CE的中点H、K，连接HK．
（1）探究HK、CE的关系（图1），并证明．
（2）当正方形DGFE在如图2所示的位置时，上述结论还成立吗？给出证明．
（3）将上题“正方形ABCD和正方形EDGF”改为“菱形ABCD和菱形EDGF”（图3），且∠BCD＝∠GDE＝120°，其它不变，直接求出CH：CE＝　1：2　．


【分析】（1）结论：HK＝EC，HK⊥CE．如图1中，连接EH，CH，DF，过点H作HM⊥AD与点M，交BC于点N．证明△HME≌△CNH（SAS），可得结论；
（2）结论成立．如图2中，延长CH到M，使得HM＝CH，连接FM，EM，EH，设FM交CD于点J，交DE于点O．证明△EDC≌△EFM（SAS），推出EC＝EM，∠CED＝∠FEM，推出△EMC是等腰直角三角形，可得结论；
（3）如图3中，延长CH到T，使得HT＝CH，连接FT，ET，延长TF交CD的延长线于点J，TJ交DE于点O．利用全等三角形的性质证明△ECT是等边三角形，可得结论．
【解答】解：（1）结论：HK＝EC，HK⊥CE．
理由：如图1中，连接EH，CH，DF，过点H作HM⊥AD与点M，交BC于点N．

∵四边形ABCD，四边形DEFG都是正方形，
∴∠EDF＝∠GDF＝45°，
∴点F在正方形ABCD的对角线BD上，
∴∠HBN＝45°，
∵HM⊥AD，AD∥CB，
∴HN⊥CB，
∴∠BNH＝∠CNH＝∠HME＝90°，
∴∠NBH＝∠NHB＝45°，
∴BN＝HN，
∵∠A＝∠ABN＝∠AMN＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴AM＝BN，
∵EF∥HM∥AB，BH＝FH，
∴AM＝ME，
∴ME＝HN，
∵MN＝AB＝BC，BN＝HN，
∴MH＝CN，
∴△HME≌△CNH（SAS），
∴HE＝HC，∠MHE＝∠NCH，
∵∠NCH+∠CHN＝90°，
∴∠MHE+∠CHN＝90°，
∴∠EHC＝90°，
∴△EHC是等腰直角三角形，
∴EK＝CK，
∴HK⊥CE，HK＝CE；

（2）结论成立．
理由：如图2中，延长CH到M，使得HM＝CH，连接FM，EM，EH，设FM交CD于点J，交DE于点O．

∵BH＝FH，∠BHC＝∠FHM，CH＝MH，
∴△BHC≌△FHM（SAS），
∴BC＝FM，∠BCH＝∠FMH，
∴FM∥CB，
∴∠DJM＝∠DCB＝90°，
∴∠DJO＝∠OEF＝90°，
∵∠DOJ＝∠EOF，
∴∠CDE＝∠MFE，
∵ED＝EF，
∴△EDC≌△EFM（SAS），
∴EC＝EM，∠CED＝∠FEM，
∴∠CEM＝∠DEF＝90°，
∴△EMC是等腰直角三角形，
∵MH＝CH，
∴EH⊥CM，EH＝HM＝HC，
∵EK＝CK，
∴HK⊥CE，HK＝CE；

（3）如图3中，延长CH到T，使得HT＝CH，连接FT，ET，延长TF交CD的延长线于点J，TJ交DE于点O．

∵BH＝FH，∠BHC＝∠FHT，HC＝KHT，
∴△BHC≌△FHT（SAS），
∴BC＝FT，∠BCH＝∠FTH，
∴FJ∥CB，
∴∠BCD+∠J＝180°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠J＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，
∴DC＝FT，
∵四边形EFGD是菱形，
∴EF∥DG，EF＝DE，
∴∠GDE+∠DEF＝180°，
∵∠GDE＝120°，
∴∠OEF＝∠J＝60°，
∵∠EOF＝∠DOJ，
∴∠EFO＝∠ODJ，
∴∠EFT＝∠EDC，
∴△EFT≌△EDC（SAS），
∴ET＝CE，∠FET＝∠DEC，
∴∠TEC＝∠FED＝60°，
∴△CET是等边三角形，
∴CE＝CT，
∴EC＝2CH，
∴CH：EC＝1：2．
故答案为：1：2．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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