广东省广州市天河区2022年中考数学一模试题(解析版)

这是一份广东省广州市天河区2022年中考数学一模试题(解析版)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


广东省广州市天河区2022年中考数学一模试题
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列四个选项中，为无理数的是（　　）
A．0 B．13 C．-3 D．﹣3
2．（3分）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若|a﹣b|＝6，则点A表示的数为（　　）

A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6
3．（3分）方程1x+3=2x的解为（　　）
A．x＝6 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．x＝﹣6
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．16=±4 B．（﹣2）0＝1 C．2+5=7 D．39=3
5．（3分）下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
6．（3分）一个布袋里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出一个球是红球的概率是（　　）
A．13 B．15 C．38 D．58
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点，若BC＝4cm，tan∠BAC=33，则劣弧BD的长为（　　）

A．3π3cm B．3π2cm C．23π3cm D．3πcm
8．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，使点C恰好落在A′B上，则tan∠A′AC的值为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．34
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y=-kx（x＞0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为（　　）

A．32 B．2 C．52 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）使式子x-4有意义的条件是 　 　．
12．（3分）方程x2﹣2x＝0的实数解是 　 　．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，线段AB的垂直平分线ED分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD=3，则AD的长为 　 　．

14．（3分）一元二次方程x2+m＝0有两个不相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y=mx上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1　 　y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
15．（3分）正方形ABCD中，△ADF绕着点A顺时针旋转90°后得到△ABM，点M、B、E、C在一条直线上，且△AEM与△AEF恰好关于AE所在直线成轴对称，已知EF＝5，正方形边长为6．那么△EFC的面积是 　 　．

16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点M、N分别为边CD、BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN的中点，连接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，给出以下结论：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③△PQN≌△BQN；④PQ＝5．其中正确的结论有 　 　（填上所有正确结论的序号）

三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17．（4分）解方程组：x-y=1x+3y=9．
18．（4分）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．

19．（6分）先化简，再求值：（1+1x-1）•x2-1x，其中x=3-1．
20．（6分）争创全国文明城市，从我做起，某学校在七年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取一部分学生进行测试．整理测试成绩，得到如下频数分布表和频数分布直方图：
成绩（分）
频数
频率
A组：75＜x≤80
6
0.15
B组：80＜x≤85
a
0.2
C组：85＜x≤90
16
0.4
D组：90＜x≤95
6
0.15
E组：95＜x≤100
4
b
其中最低分为76分，满分率为5%，
C组成绩为89，89，86，88，89，89，89，86，89，90，89，89，88，88，89，87
回答下列问题：
（1）学校共抽取了 　 　名同学进行测试，他们的成绩的众数为 　 　，极差为 　 　；
（2）其中频数分布表中a＝　 　，b＝　 　，并补全频数分布直方图；
（3）若成绩大于85分为优秀，估计该校七年级1500名学生中，达到优秀等级的人数．

21．（8分）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
22．（10分）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB=485，⊙O的半径为5，则sinB＝　 　．（如需画草图，请使用图2）
23．（10分）如图，一次函数y=3x+b的图象与x轴的负半轴交于点A（﹣23，0）与y轴的正半轴相交于点B，△OAB的外接圆的圆心为点C．
（1）求点B的坐标，并求∠BAO的大小；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号）．

24．（12分）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，且满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．
（1）求证：AF＝BE；
（2）若AE＝2，试求AP•AF的值；
（3）当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．

25．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3的最大值为4，且该抛物线与y轴的交点为C，顶点为D．
（Ⅰ）求该二次函数的解析式及点C，D的坐标．
（Ⅱ）点P（t，0）是x轴上的动点，
①求PD﹣PC的最大值及对应的点P的坐标；
②设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y＝a|x|2﹣2a|x|+3的图象只有一个公共点，求t的取值范围．

2022年广东省广州市天河区华南师大附中中考数学一模试卷
答案与详解
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列四个选项中，为无理数的是（　　）
A．0 B．13 C．-3 D．﹣3
【分析】根据无理数的定义判断即可．
【解答】解：0，13，﹣3都是有理数，-3是无理数，
故选：C．
2．（3分）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若|a﹣b|＝6，则点A表示的数为（　　）

A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6
【分析】根据相反数的性质，由a+b＝0，得a＜0，b＞0，b＝﹣a，故|a﹣b|＝b+（﹣a）＝6．进而推断出a＝﹣3．
【解答】解：∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，即a与b互为相反数．
又∵|a﹣b|＝6，
∴b﹣a＝6．
∴2b＝6．
∴b＝3．
∴a＝﹣3，即点A表示的数为﹣3．
故选：A．
3．（3分）方程1x+3=2x的解为（　　）
A．x＝6 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．x＝﹣6
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x＝2（x+3），
解得：x＝﹣6，
检验：把x＝﹣6代入得：x（x+3）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣6．
故选：D．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．16=±4 B．（﹣2）0＝1 C．2+5=7 D．39=3
【分析】根据相关概念和公式求解，选出正确答案即可．
【解答】解：16的算术平方根为4，即16=4，故A不符合题意；
根据公式a0＝1(a≠0)可得（﹣2）0＝1，故B符合题意；
2、5无法运用加法运算化简，故2+5≠7，故C不符合题意；
9=3，故D不符合题意；
故选：B．
5．（3分）下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】根据平行四边形及特殊平行四边形的判定，逐个判断即可．
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等四边形，故A不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线再相等，则四边形是矩形，故B符合题意；
C、对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形，也就不能判定是菱形，故C不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不能判断它的内角有直角，故D不符合题意；
故选：B．
6．（3分）一个布袋里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出一个球是红球的概率是（　　）
A．13 B．15 C．38 D．58
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：∵布袋里装有3个红球和5个黄球，共有8个球，
∴任意摸出一个球是红球的概率是38．
故选：C．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点，若BC＝4cm，tan∠BAC=33，则劣弧BD的长为（　　）

A．3π3cm B．3π2cm C．23π3cm D．3πcm
【分析】连接BD，可判断∠ADB＝90°，根据BC是⊙O的切线，BC＝4cm，tan∠BAC=33，可知AB＝43，∠BAD＝30°，∠BOD＝60°，则劣弧BD的长为圆的周长的16．
【解答】解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BC是⊙O的切线，BC＝4cm，tan∠BAC=33，
∴∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AC＝2BC＝8cm，
∴AB=AC2-BC2=43cm，
∵OB＝OD，
∴∠BOD＝60°，OB＝OD＝23，
∴圆的周长为：2π×OB＝43π，
∴劣弧BD的长为：60°360°×43π=233π，
故选：C．
8．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5
【分析】根据抛物线与x轴两交点，及与y轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求y＝﹣5．
【解答】解：如图

∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），
∴可画出上图，
∵抛物线对称轴x=-1+32=1，
∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），
∴当x＝2时，y的值为﹣5．
故选：A．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，使点C恰好落在A′B上，则tan∠A′AC的值为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．34
【分析】先利用勾股定理求出AC，再根据旋转的性质得出AB＝A′B＝5，从而求出A′C，然后在Rt△ACA′中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，
∴AC=AB2-BC2=52-42=3，
由旋转得：
AB＝A′B＝5，
∴A′C＝A′B﹣BC＝5﹣4＝1，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACA′＝180°﹣∠ACB＝90°，
在Rt△ACA′中，tan∠A′AC=A'CAC=13，
故选：A．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y=-kx（x＞0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为（　　）

A．32 B．2 C．52 D．3
【分析】作BE⊥x轴于E，则AC∥BE，即可得到△CDF∽△BDE，由题意得出CFBE=DFDE=21，即可得出CF＝2BE，DF＝2DE，设B（kb，b），则C（1，﹣2b），代入y=-kx（x＞0）即可求得k＝2b，从而求得B的坐标为2．
【解答】解：作BE⊥x轴于E，
∴AC∥BE，
∴△CDF∽△BDE，
∴CFBE=DFDE=CDBD，
∵BC＝3BD，
∴CFBE=DFDE=21，
∴CF＝2BE，DF＝2DE，
设B（kb，b），
∴C（1，﹣2b），
∵函数y=-kx（x＞0）的图象交于点C，
∴﹣k＝1×（﹣2b）＝﹣2b，
∴k＝2b，
∴B的横坐标为kb=2bb=2，
故选：B．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）使式子x-4有意义的条件是 　x≥4　．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，可得出关于x的不等式，解出即可得出答案．
【解答】解：∵式子x-4有意义，
∴x﹣4≥0，
解得：x≥4．
故答案为：x≥4．
12．（3分）方程x2﹣2x＝0的实数解是 　x1＝0，x2＝2　．
【分析】方程左边分解因式后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程变形得：x（x﹣2）＝0，
可得x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，线段AB的垂直平分线ED分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD=3，则AD的长为 　2　．

【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，利用含30°角的直角三角形的性质可求解BD的长，进而求解．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝15°，
∴∠ABD＝15°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝15°+15°＝30°，
∵∠C＝90°，CD=3，
∴BC＝1，
∴BD＝2BC＝2，
∴AD＝BD＝2．
故答案为：2．
14．（3分）一元二次方程x2+m＝0有两个不相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y=mx上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1　＜　y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
【分析】由一元二次方程根的情况，求得m的值，确定反比例函数y=mx图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝0﹣4m＞0，
解得m＜0，
∵m＜0，
∴反比例函数y=mx图象在第二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
15．（3分）正方形ABCD中，△ADF绕着点A顺时针旋转90°后得到△ABM，点M、B、E、C在一条直线上，且△AEM与△AEF恰好关于AE所在直线成轴对称，已知EF＝5，正方形边长为6．那么△EFC的面积是 　6　．

【分析】由旋转可得，S△ADF＝S△ABM，由对称可得，ME＝EF＝5且S△AEF＝S△AEM，得到五边形ABEFD的面积是30，正方形ABCD的面积是36，进而可得答案．
【解答】解：由旋转可得，S△ADF＝S△ABM，
由对称可得，ME＝EF＝5且S△AEF＝S△AEM，
∴S△AEF＝S△AEM=12ME•AB=12×5×6=15，
∵S△ADF＝S△ABM，
∴五边形ABEFD的面积是15+15＝30，
而正方形ABCD的面积是6×6＝36，
∴△EFC的面积是36﹣30＝6．
故答案为：6．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点M、N分别为边CD、BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN的中点，连接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，给出以下结论：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③△PQN≌△BQN；④PQ＝5．其中正确的结论有 　①④　（填上所有正确结论的序号）

【分析】①正确，证明△ADM≌△DCN（SAS），可得结论．
②③错误，利用反证法证明即可．
④正确，利用勾股定理求出AN，再利用直角三角形斜边中线的性质求出PQ，可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADM＝∠DCN＝90°，
在△ADM和△DCN，
AD=DC∠ADM=∠DCNDM=CN，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，
∵∠CDN+∠ADP＝90°，
∴∠ADP+∠DAM＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴AM⊥DN，故①正确，
不妨假设∠MAN＝∠BAN，
在△APN和△ABN中，
∠APN=∠ABN=90°∠PAN=∠BANAN=AN，
∴△PAN≌△ABN（AAS），
∴AB＝AP，
∵这个与AP＜AD，AB＝AD，矛盾，
∴假设不成立，故②错误，
不妨假设△PQN≌△BQN，
则∠ANP＝∠ANB，同法可证△APN≌△ABN，
∴AP＝AB，
∵这个与AP＜AD，AB＝AD，矛盾，
∴假设不成立，故③错误，
∵DM＝CN＝2，AB＝BC＝8，
∴BN＝6，
∵∠ABN＝90°，
∴AN=AB2+BN2=82+62=10，
∵∠APN＝90°，AQ＝QN，
∴PQ=12AN＝5．故④正确，
故答案为：①④．

三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17．（4分）解方程组：x-y=1x+3y=9．
【分析】运用加减消元解答即可．
【解答】解：x-y=1①x+3y=9②，
②﹣①得，4y＝8，解得y＝2，
把y＝2代入①得，x﹣2＝1，解得x＝3，
故原方程组的解为x=3y=2．
18．（4分）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF．

【分析】根据线段的和差得到AB＝DE，由平行线的性质得到∠A＝∠EDF，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝DE，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
在△ABC与△DEF中，
AB=DE∠A=∠EDFAC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
19．（6分）先化简，再求值：（1+1x-1）•x2-1x，其中x=3-1．
【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1+1x-1）•x2-1x
=x-1+1x-1•x2-1x
=xx-1•(x+1)(x-1)x
＝x+1，
当x=3-1时，原式=3-1+1=3．
20．（6分）争创全国文明城市，从我做起，某学校在七年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取一部分学生进行测试．整理测试成绩，得到如下频数分布表和频数分布直方图：
成绩（分）
频数
频率
A组：75＜x≤80
6
0.15
B组：80＜x≤85
a
0.2
C组：85＜x≤90
16
0.4
D组：90＜x≤95
6
0.15
E组：95＜x≤100
4
b
其中最低分为76分，满分率为5%，
C组成绩为89，89，86，88，89，89，89，86，89，90，89，89，88，88，89，87
回答下列问题：
（1）学校共抽取了 　40　名同学进行测试，他们的成绩的众数为 　89　，极差为 　24　；
（2）其中频数分布表中a＝　8　，b＝　0.1　，并补全频数分布直方图；
（3）若成绩大于85分为优秀，估计该校七年级1500名学生中，达到优秀等级的人数．

【分析】（1）根据频数分布表中C组频数和频率可得学校共抽取的人数，再将C组成绩从低到高排列后即可得众数和极差；
（2）根据频数分布表即可补全频数分布直方图；
（3）利用样本估计总体的方法即可估计该校七年级1500名学生中，达到优秀等级的人数．
【解答】解：（1）根据题意可知：16÷0.4＝40，
所以学校共抽取了40名同学进行测试，
因为C组有16人，成绩从低到高为：86，86，87，88，88，88，89，89，89，89，89，89，89，89，89，90，
众数为89，极差为100﹣76＝24．
故答案为：40、89、24；

（2）a＝40×0.2＝8，b＝4÷40＝0.1，
如图即为补全的频数分布直方图，

故答案为：8，0.1，

（3）0.65×1500＝975（人）．
答：该校七年级1500名学生中，达到优秀等级的975人．
21．（8分）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
【分析】（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣1﹣x）道题，根据总得分＝4×答对题目数﹣1×答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了（25﹣y）道题，根据总得分＝4×答对题目数﹣1×答错题目数，结合总得分大于或等于90分，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣1﹣x）道题，
依题意得：4x﹣（25﹣1﹣x）＝86，
解得：x＝22．
答：该参赛同学一共答对了22道题．
（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了（25﹣y）道题，
依题意得：4y﹣（25﹣y）≥90，
解得：y≥23．
答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．
22．（10分）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB=485，⊙O的半径为5，则sinB＝　45　．（如需画草图，请使用图2）
【分析】（1）利用尺规作出∠ACB的角平分线CD，作线段AC的垂直平分线交CD于点O，以O为圆心，OC为半径作⊙O即可．
（2）连接OA，设射线CD交AB于E．利用勾股定理求出OE，EC，再利用勾股定理求出BC，可得结论．
【解答】解：（1）如图，射线CD，⊙O即为所求．

（2）连接OA，设射线CD交AB于E．
∵CA＝CB，CD平分∠ACB，
∴CD⊥AB，AE＝EB=245，
∴OE=OA2-AE2=52-(245)2=75，
∴CE＝OC+OE＝5+75=325，
∴AC＝BC=AE2+EC2=(245)2+(325)2=8，
∴sinB=ECBC=3258=45．
故答案为：45．
23．（10分）如图，一次函数y=3x+b的图象与x轴的负半轴交于点A（﹣23，0）与y轴的正半轴相交于点B，△OAB的外接圆的圆心为点C．
（1）求点B的坐标，并求∠BAO的大小；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号）．

【分析】（1）首先把点A的坐标代人函数的解析式求得b的值，然后令y＝0可求A点坐标，令x＝0可求B点坐标，再由A，B的坐标求得线段OA，OB的长，利用直角三角形的边角关系可求∠BAO得大小；
（2）连接OC，阴影部分的面积等于扇形CAO的面积减去△CAO的面积，分别计算扇形CAO的面积和△CAO的面积，阴影部分面积可求．
【解答】解：（1）∵一次函数y=3x+b的图象与x轴的负半轴交于点A（﹣23，0），
∴0=3×（﹣23）+b，
∴b＝6，
当x＝0时，y＝6，
∴点B的坐标为（0，6），
∴OB＝6，
在Rt△AOB中，
∵tan∠BAO=BOAO=623=3，
∴∠BAO＝60°；
（2）连CO，

∵△AOB为直角三角形，AC＝CB，
∴C为斜边AB的中点．
∴OC=12AB．
∵AB=AO2+OB2=(23)2+62=43，
∴AC＝BC＝23．
∴∠CAO＝∠COA＝60°．
∴∠ACO＝60°．
∴S阴影＝S扇形﹣S△ACO=60π×(23)2360-12×23×3＝2π﹣33．
24．（12分）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，且满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．
（1）求证：AF＝BE；
（2）若AE＝2，试求AP•AF的值；
（3）当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．

【分析】（1）证明△ABE≌△CAF，由全等三角形的性质可得到答案；
（2）利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得AP•AF的值，即可以得到答案．
（3）当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，
又∵AE＝CF，
在△ABE和△CAF中，
AB=AC∠BAE=∠ACFAE=CF，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴AF＝BE；
（2）解：∵∠C＝∠APE＝60°，∠PAE＝∠CAF，
∴△APE∽△ACF，
∴APAC=AEAF，
即AP6=2AF，
∴AP•AF＝12；
（3）解：如图1所示：当AE＝CF时，点P的路径是一段弧．

当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，
∴∠AOB＝120°，
又∵AB＝6，
∴OA＝23．
∴点P的路径是l=nπr180=120π×23180=43π3．
25．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3的最大值为4，且该抛物线与y轴的交点为C，顶点为D．
（Ⅰ）求该二次函数的解析式及点C，D的坐标．
（Ⅱ）点P（t，0）是x轴上的动点，
①求PD﹣PC的最大值及对应的点P的坐标；
②设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y＝a|x|2﹣2a|x|+3的图象只有一个公共点，求t的取值范围．
【分析】（Ⅰ）可用对称轴公式直接求出y＝ax2﹣2ax+3的对称轴，然后写出顶点D的坐标，将顶点坐标代入y＝ax2﹣2ax+3即可求出点C的坐标；
（Ⅱ）①求出直线CD的解析式，再求出CD与x轴交点即可求出P点坐标，CD的长度即为PD﹣PC的最大值；
②根据题意画出图形，分别表示出关键点即抛物线与x轴交点与点P重合时的图象，由图象即可看出t的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）在二次函数y＝ax2﹣2ax+3中，
∵x=--2a2a=1，
∴y＝ax2﹣2ax+3的对称轴为直线x＝1，
∵y＝ax2﹣2ax+3的最大值为4，
∴抛物线的顶点D（1，4），
将D（1，4）代入y＝ax2﹣2ax+3中，
得a＝﹣1，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴C点坐标为（0，3），D点坐标为（1，4）；

（Ⅱ）①∵|PC﹣PD|≤CD，
∴当P，C，D三点在一条直线上时，|PC﹣PD|取得最大值，
如图1，连接DC并延长交x轴于点P，

将点D（1，4），C（0，3）代入y＝kx+b，
得k+b=4b=3，
解得k＝1，b＝3，
∴yCD＝x+3，
当y＝0时，
x＝﹣3，
∴P（0，﹣3），
CD=12+(4-3)2=2，
∴PD﹣PC的最大值为2，P（﹣3，0）；
②y＝a|x|2﹣2a|x|+3可化为y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)，
将P（t，0），Q（0，2t）代入y＝kx+b，
得tk+b=0b=2t，
解得：k＝﹣2，b＝2t，
∴yPQ＝﹣2x+2t，
情况一：如图2﹣1，当线段PQ过点（﹣3，0），即点P与点（﹣3，0）重合时，线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)的图象只有一个公共点，此时t＝﹣3，
综合图2﹣1，图2﹣2，所以当t≤﹣3时，线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)的图象只有一个公共点；


情况二：如图2﹣3，当线段PQ过（0，3），即点Q与点C重合时，线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)的图象只有一个公共点，此时t=32，
如图2﹣4，当线段PQ过点（3，0），即点P与点A（3，0）重合时，t＝3，此时线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)，的图象有两个公共点，
综合图2﹣3，图2﹣4，所以当32≤t＜3时，线段PQ与函数y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)的图象只有一个公共点；


情况三：如图2﹣5，将y＝﹣2x+2t代入y＝﹣x2+2x+3（x≥0），
整理，得x2﹣4x+2t﹣3＝0，
△＝16﹣4（2t﹣3）＝28﹣8t，
令28﹣8t＝0，
解得t=72，
∴当t=72时，线段PQ与与函数y=-x2+2x+3(x≥0)-x2-2x+3(x＜0)的图象只有一个公共点；

综上所述，t的取值范围为t≤﹣3或32≤t＜3或t=72．