2022-2023学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院九年级（上）返校考数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院九年级（上）返校考数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列反比例函数图象的一个分支在第三象限的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 将二次函数化成顶点式，变形正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 若菱形的周长为，有一条对角线为，则菱形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 二次函数的图象过点，方程的解为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5. 已知，，是二次函数图象上三点，则、、的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如果二次函数的图象如图所示，那么(    )

A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，

7. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，以为边作矩形，点在轴上．双曲线经过点，与直线交于点，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 二次函数的图象在这一段位于轴的下方，在这一段位于轴的上方，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，：：，是的中点，延长线交于，那么：(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

10. 如图，在中，，在内依次作，，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 如图，已知，若，，，则的长为______．

12. 将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得新抛物线的解析式为______．
13. 如图，在矩形中，，对角线的长为，作的垂直平分线交于点，连接，则的周长为______．

14. 如图，直线与双曲线的图象在第一象限内交于点，过点的另一直线交双曲线于第三象限内的点，则不等式的解集是______．

15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形和正方形的顶点，在轴上，顶点，在轴上，且，反比例函数的图象经过点，则______．

16. 如图，正方形的边长为，内部有个全等的正方形，小正方形的顶点、、、分别落在边
    、、、上，则的长为______．

17. 如图，已知点，，点在轴上，轴，交线段于点，且点不与，两点重合，将沿折叠，使点落在轴上的点处．设点的横坐标为，则当为直角三角形时，的值为______．

三、解答题（本大题共3小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    如图，在中，，点、分别是、边上的点，且．
    求证：；
    若，，当时，求的长．

19. 本小题分
    如图，在中，，轴，垂足为反比例函数的图象经过点，交于点已知，．
    若，求的值；
    连接，若，求的长．
     

20. 本小题分
    如图，抛物线经过点、、三点．
    
    求此抛物线的解析式；
    是抛物线上的一个动点，过作轴，垂足为，是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
    在直线上方的抛物线是有一点，使得的面积最大，求出点的坐标．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：图象位于第二、四象限，不合题意；
B.图象位于第一、三象限，符合题意；
C.图象不一定位于第一、三象限，不合题意；
D.图象位于第二、四象限，不合题意；
故选：．
当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小，依据反比例函数的性质进行判断即可．
本题主要考查了反比例函数的性质与图象，反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．
 

2.【答案】 

【解析】解：

，
故选：．
利用配方法把一般式化为顶点式即可．
本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，设对角线、交于点，
四边形是平行四边形，周长为，，
，，，，
在中，由勾股定理得：，
，
菱形的面积，
故选：．
由菱形的性质得，，，，再由勾股定理得，则，然后由菱形面积公式列式计算即可．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与轴的一个交点坐标为，所以抛物线与轴的另一个交点坐标为，
所以方程的解为：，．
故选：．
先确定抛物线的对称轴为直线，再根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，从而根据抛物线与轴的交点问题得到方程的解．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，也考查了二次函数的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：二次函数图象的对称轴为直线，
而到直线的距离最近，到直线的距离最远，
．
故选：．
先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：图象开口方向向上，
；
图象的对称轴在轴的右侧，
，
，
；
图象与轴交点在轴的负半轴上，
；
，，．
故选C．
首先根据开口方向确定的符号，再依据对称轴的正负和的符号即可判断的符号，然后根据与轴的交点的纵坐标即可判断的正负，由此得出答案即可．
本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，运用了数形结合思想．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，直线与轴交于，与轴交于，
分别令，，
得，，
即，，
又且过点，
所以直线所在函数解析式为：，
令，得，
即，
作于，
四边形是矩形，
，，
在和中

≌，
，，
，
点的坐标为
又在双曲线双曲线上，
，
解得，
，
，
直线的解析式为，
解，
得和，
故点的坐标为，
故选D．
根据一次函数图象是点的坐标特征求得，，然后根据垂线的性质求得，进而根据三角形全等求得，代入求得的值，得出直线，最后联立方程，解方程即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了三角形全等的判定与性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
而抛物线在这一段位于轴的上方，
抛物线在这一段位于轴的上方，
抛物线在这一段位于轴的下方，
抛物线过点，
把代入得：，
即，
解得．
故选：．
根据抛物线顶点式得到对称轴为直线，利用抛物线对称性得到抛物线在这一段位于轴的上方，而抛物线在这一段位于轴的下方，于是可得抛物线过点，然后把代入可求出的值．
本题考查了二次函数的性质以及抛物线与轴的交点，解决本题的关键是得出抛物线的对称轴．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，作交于，
是中点，
为中点，
，
：：，且：：，
，
：：，
：，
：．
故选：．
作交于，可得为的中点，进而得出，再由线段之间的转化即可得出结论．
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够掌握并熟练运用．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
．
．
．
∽，
．
，
．
，，
∽．
．
．
∽，
．
，
．
，，
∽．
．
．
故选：．
分别证明∽，∽，∽，利用相似三角形的性质即可求得结论．
本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形对应边成比例解答是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得新抛物线的解析式为，即．
故答案为：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，
的垂直平分线交于点，
，
的周长，
故答案为：．
由勾股定理可求的长，由线段垂直平分线的性质可得，可求解．
本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：直线与双曲线的图象在第一象限内交于点，点的横坐标是，
把代入解析式，
解得，则的坐标是．
把代入，解得，
在中，令，则，即的坐标是：．
根据图象得到：不等式的解集是或．
故本题答案为：或．
从图象上得到点的横坐标是，把代入解析式，解得，则的坐标是把代入，解得，再解方程组，得到的横坐标，从而根据图象求得不等式的解集．
本题考查了一次函数与不等式组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点交点、原点等，做到数形结合．
 

15.【答案】 

【解析】解：设正方形的边长分别是，则，
连接，
四边形和四边形是正方形，
，
，
同底等高，
，
，
，
故答案为．
设正方形的边长分别是，连接，则，得出的面积的面积同底等高，得到关于的方程，解方程求得的值，最后根据系数的几何意义求得即可．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积，根据面积得出方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示：
正方形边长为，
，，
过点作，垂足为，则，
四边形是矩形，
，，
六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中，
，
，
∽，
，
，
．
．
同理．
．
，
小正方形的边长为，
．
故答案为：．
如图，过点作，垂足为，可以得到∽，再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到和，根据勾股定理可求的长，从而求出的长．
本题主要考查了利用相似三角形的判定和相似三角形对应边成比例的性质和勾股定理，综合性较强，得出，以及是解题关键．
 

17.【答案】或 

【解析】解：点，，
，，分两种情况：
当时，
则，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
；
当时，如图所示：
同得：∽，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
；
综上所述，当为直角三角形时，的值为或，
故答案为：或．
分两种情况进行讨论，当时；当时；证∽，求出，即可解决问题．
本题考查了翻折变换的性质、坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折变换的性质，证明∽是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
．
，
．
，，
，
∽，
，
．
，
；
，
．
，
．
，
∽，
．
，，
，
． 

【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，属于中档题．
易证，从而可证到∽，得出比例式，再由即可得证；
由可得，即可得到，从而可证到∽，然后运用相似三角形的性质即可求出的长．
 

19.【答案】解：作，垂足为，

，，
．
在中，，，
，
，
点的坐标为，
点在的图象上，
；
设点的坐标为，
，，
，
，两点的坐标分别为：，．
点，都在的图象上，
，
，
点的坐标为：，
作轴，垂足为，
，，
在中，
，
． 

【解析】利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案；
首先表示出，点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出点坐标，再利用勾股定理得出的长．
此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上的性质，正确得出点坐标是解题关键．
 

20.【答案】解：该抛物线过点，
可设该抛物线的解析式为．
将，代入，
得，
解得，
此抛物线的解析式为；

存在．如图，设点的横坐标为，
则点的纵坐标为，
当时，，．
又，
当，
在抛物线上，
，
，
，
∽，
即．
解得，舍去，
．
当时，∽，即．
解得，均不合题意，舍去
当时，，

当时，，，
或，
把代入得：，，
解得：第一个方程的解是舍去舍去，
第二个方程的解是，舍去
求出，，
则，

当时，，．
或，
则：，，
解得：第一个方程的解是舍去，舍去，第二个方程的解是舍去，，
时，，
则，
综上所述，符合条件的点为或或，
如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为
过作轴的平行线交于．
由题意可求得直线的解析式为．
点的坐标为．
，
，
，
当时，面积最大，
． 

【解析】本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．
本题需先根据已知条件，过点，设出该抛物线的解析式为，再根据过，两点，即可得出结果．
本题首先判断出存在，首先设出横坐标和纵坐标，从而得出的解析式，再分三种情况进行讨论，当时和时，当，重合时，≌，分别求出点的坐标即可．
本题需先根据题意设出点的横坐标和点的纵坐标，再过作轴的平行线交于，再由题意可求得直线的解析式为，即可求出点的坐标，从而得出结果即可．