河南省郑州市中原区郑州市第六十五中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题（含答案）

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1．关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
A．3，，B．3，2，C．，，1D．3，，1
2．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是
A．12B．9C．8D．6
3．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元升，五月底是8.9元升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是
A．B．
C．D．
4．等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为
A．8B．10C．8或10D．不能确定
5．有下列4个命题中，真命题的序号是
①平面上有5个点（没有任何三个点在同一直线上），可以确定10条直线．
②若直角三角形的两条边长恰为方程的两根，那么它的面积一定是6．
③点的坐标，满足，则点在正比例函数的图象上．
④若实数、满足，，则关于的方程一定有一个实数根满足．
A．①②③④B．①③④C．①③D．①④
6．若菱形的边长为，其中一内角为，则它的面积为
A．B．C．D．
7．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，则它们的公共部分的面积等于
A．B．C．D．
8．不透明的袋子中有4个球，上面分别标有1，2，3，4数字，它们除标号外没有其他不同．从袋子中任意摸出1个球，摸到标号大于2的概率是
A．B．C．D．
9．如图，在中，对角线、相交于点，在的延长线上取点，连接交于点，已知，，且，则的长为
A．2.3B．2.2C．2.1D．2
10．如图，矩形的顶点、分别在菱形的边和对角线上，连接、，若，则的长为
A．4B．5C．D．
二．填空题（共5小题）
11．一元二次方程的解是 ．
12．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
13．一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共互送贺年卡72张，则这个小组的人数为 ．
14．如图，已知三边长为、、，三条中位线组成一个新的三角形，新的三角形的中位线又组成一个三角形，以此类推，第五次组成的三角形的周长为 ．
15．如图，菱形中，，对角线相交于点，点、分别是边、上的点，且，连接、分别交对角线于点、，若，，则的面积为 ．
三．解答题（共8小题）
16．用指定方法解下列方程：
（1）（配方法）
（2）（公式法）
（3）（因式分解法）
（4）（适当方法）
17．“双减”意见下，各级教育行政部门都对课后作业作了更明确的要求．为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：表示“40分钟以内完成”， 表示“40—70分钟以内完成”， 表示“70—90分钟以内完成”， 表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
（1）这次调查的总人数是 人；
（2）扇形统计图中，类扇形的圆心角是 ；
（3）在类学生中，有2名男生和2名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
18．如图，在等腰梯形中，已知，，且，，求等腰梯形的高的值．
19．已知：如图，在梯形中，，，平分，，的延长线交于点．求证：
（1）；
（2）．
20．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
21．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
22．某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：
（1）该企业2007年盈利多少万元？
（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？
23．是等边三角形，点是射线上的一个动点（点不与点、重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交射线、于点、，连接．
（1）如图（a）所示，当点在线段上时．
①求证：；
②探究四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由；
（2）如图（b）所示，当点在的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；
（3）在（2）的情况下，当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并说明理由．
河南省郑州市中原区郑州市第六十五中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学北师大版
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
A．3，，B．3，2，C．，，1D．3，，1
【分析】要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，首先把方程化为一般式，然后再找出答案．
【解答】解：一元二次方程变为一般形式为：一元二次方程，
二次项系数是3、一次项系数是、常数项1，
故选：．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是
A．12B．9C．8D．6
【分析】先求摸到红球的频率，再用20乘以摸到红球的频率即可．
【解答】解：摸到红球的频率为，
估计袋中红球的个数是（个，
故选：．
【点评】本题考查了用样本估计总体，关键是求出摸到红球的频率．
3．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元升，五月底是8.9元升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是
A．B．
C．D．
【分析】利用该地92号汽油五月底的价格该地92号汽油三月底的价格该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的感觉．
4．等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为
A．8B．10C．8或10D．不能确定
【分析】先求出方程的根，再根据三角形三边关系确定是否符合题意，然后求解．
【解答】解：方程的解是或4，
（1）当2为腰，4为底时，不能构成三角形；
（2）当4为腰，2为底时，4，4，2能构成等腰三角形，周长．
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和分情况讨论的思想，注意根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，不可盲目讨论．
5．有下列4个命题中，真命题的序号是
①平面上有5个点（没有任何三个点在同一直线上），可以确定10条直线．
②若直角三角形的两条边长恰为方程的两根，那么它的面积一定是6．
③点的坐标，满足，则点在正比例函数的图象上．
④若实数、满足，，则关于的方程一定有一个实数根满足．
A．①②③④B．①③④C．①③D．①④
【分析】①代入即可求解；
②求得两直角边的长，然后即可计算面积；
③求得、的值后即可确实十分在直线上；
④根据，，即，时得出的取值范围，画出图象即可得出较大的实数根的取值范围．
【解答】解：①平面上有5个点（没有任何三个点在同一直线上），可以确定条直线，是真命题；
②解方程得或，因此直角三角形的面积为5或，是假命题；
③由，解得：，，
故点在正比例函数的图象上是真命题；
④实数、满足，，
的图象如图所示，
关于的方程有一实数根满足，故为真命题．
故选：．
【点评】此题主要考查了射影定理即二次函数图象与一元二次方程以及配方法等知识，利用数形结合得出是解题关键．
6．若菱形的边长为，其中一内角为，则它的面积为
A．B．C．D．
【分析】已知菱形边长以及内角的度数，根据菱形的面积公式易求解．
【解答】解：若菱形的边长为，其中一内角为，则的角所对的对角线长是，那么这条对角线到对角的距离是，则菱形的面积等于．故选．
【点评】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．菱形的面积有两种求法（1）利用底乘以相应底上的高，（2）利用菱形的特殊性，菱形面积两条对角线的乘积；具体用哪种方法要看已知条件来选择．看到菱形，要充分联想到它具有的边、角、对角线的性质，并把它们和其他的已知条件进行综合分析从而求解．
7．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，则它们的公共部分的面积等于
A．B．C．D．
【分析】此题只需把公共部分分割成两个三角形，根据旋转的旋转发现两个三角形全等，从而求得直角三角形的边，再进一步计算其面积．
【解答】解：设与相交于点，连接．
根据旋转的性质，得，则．
在和△中，，，
△．
．
又，
．
公共部分的面积．
故选：．
【点评】本题主要考查了利用正方形和旋转的性质来求三角形的面积．
8．不透明的袋子中有4个球，上面分别标有1，2，3，4数字，它们除标号外没有其他不同．从袋子中任意摸出1个球，摸到标号大于2的概率是
A．B．C．D．
【分析】直接根据概率公式计算即可．
【解答】解：从袋中任意摸出一个球，摸到标号大于2的概率；
故选：．
【点评】本题考查了概率的求法，熟记公式和理解题意是关键．
9．如图，在中，对角线、相交于点，在的延长线上取点，连接交于点，已知，，且，则的长为
A．2.3B．2.2C．2.1D．2
【分析】过点作，求出和的长，利用，由相似三角形的性质得到关于的比例式，求出的长即可．
【解答】解：过点作，
四边形是平行四边形，
，，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题．
10．如图，矩形的顶点、分别在菱形的边和对角线上，连接、，若，则的长为
A．4B．5C．D．
【分析】连接，由菱形的性质得出，，可证明，由全等三角形的性质得出，由矩形的性质得出，则可得出答案．
【解答】解：连接，
四边形是菱形，
，，
又，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．一元二次方程的解是 ， ．
【分析】先移项，然后利用因式分解法求解．
【解答】解：，
，
或，
所以，．
故答案为，．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．
12．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 且 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得且△，
解得且．
故答案为且．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
13．一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共互送贺年卡72张，则这个小组的人数为 9 ．
【分析】设这个小组的人数为个，则每个人要送其他个人贺卡，则共有张贺卡，等于72张，由此可列方程．
【解答】解：设这个小组有人，
则根据题意可列方程为：，
解得：，（舍去）．
所以这个小组共有9人．
【点评】本题考查的是一元二次方程在实际生活中的应用，正确找准等价关系列方程即可，比较简单．
14．如图，已知三边长为、、，三条中位线组成一个新的三角形，新的三角形的中位线又组成一个三角形，以此类推，第五次组成的三角形的周长为 ．
【分析】根据三角形中位线定理，新三角形与原三角形相似，相似比是，即：后一个三角形的周长都是前一个三角形周长的
以此类推，第五次组成的三角形的周长．
【解答】解：由三边长为、、，三条中位线组成一个新的三角形，
可知新三角形与原三角形相似，相似比是，
即：后一个三角形的周长都是前一个三角形周长的，
以此类推，第次组成的三角形的周长．，
那么第五次组成的三角形的周长为．
【点评】此题主要考查学生对三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质的理解与掌握．
15．如图，菱形中，，对角线相交于点，点、分别是边、上的点，且，连接、分别交对角线于点、，若，，则的面积为 ．
【分析】根据菱形的性质可证是等边三角形，可求出，的长，由，得，可求出的长，再通过证明，得，同理可求出的长，从而得出的长，即可解决问题．
【解答】解：四边形为菱形，，，
，，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了菱形的性质．等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
16．用指定方法解下列方程：
（1）（配方法）
（2）（公式法）
（3）（因式分解法）
（4）（适当方法）
【分析】（1）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解；
（2）找出，，的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；
（3）方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（4）方程整理后，利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：（1）方程移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
（2）这里，，，
△，
；
（3）方程移项得：，
分解因式得：，
解得：，；
（4）方程整理得：，
分解因式得：，
解得：，．
【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，配方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．
17．“双减”意见下，各级教育行政部门都对课后作业作了更明确的要求．为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，某部门针对某校七年级学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：表示“40分钟以内完成”， 表示“40—70分钟以内完成”， 表示“70—90分钟以内完成”， 表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
（1）这次调查的总人数是 40 人；
（2）扇形统计图中，类扇形的圆心角是 ；
（3）在类学生中，有2名男生和2名女生，再需从这4名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【分析】（1）由类的人数除以所占百分比即可；
（2）由乘以类所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）这次调查的总人数为：（人，
故答案为：40；
（2）扇形统计图中，类扇形的圆心角是，
故答案为：108；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，
所抽2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
18．如图，在等腰梯形中，已知，，且，，求等腰梯形的高的值．
【分析】设，，则根据题意面积，从而可求出的值．
【解答】解：设，，
可得：，，
等腰梯形的面积，
即，
．
【点评】本题考查等腰梯形的性质，有一定难度，注意掌握梯形面积的两种表示形式，从而解出梯形的高．
19．已知：如图，在梯形中，，，平分，，的延长线交于点．求证：
（1）；
（2）．
【分析】（1）由平分可知，然后通过就能证出．
（2）要证明，连接，证明则可．，又，，，再证明则可，容易推理．
【解答】证明：（1）平分，
．
在和中，
．
（2）连接．
，
，．
，
．
．
，
．
，
．
．
又是公共边，
．
．
【点评】这道题是主要考查全等三角形的判定和性质，涉及的知识比较多，有点难度．
20．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据根的定义，把代入即可得出的形状；
（2）根据根的判别式得出，即可得出，，的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断的形状．
【解答】解：（1）是一元二次方程的根，
，
，
，
，
为等腰三角形；
（2）方程有两个相等的实数根，
，
即，
，
为直角三角形．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握各个定理的内容是解题的关键．
21．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【分析】设每千克水果应涨价元，得出日销售量将减少千克，再由盈利额每千克盈利日销售量，依题意得方程求解即可．
【解答】解：设每千克水果应涨价元，
依题意得方程：，
整理，得，
解这个方程，得，．
要使顾客得到实惠，应取．
答：每千克水果应涨价5元．
【点评】解答此题的关键是熟知此题的等量关系是：盈利额每千克盈利日销售量．
22．某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：
（1）该企业2007年盈利多少万元？
（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率）．
（1）可先求出增长率，然后再求2007年的盈利情况．
（2）有了2008年的盈利和增长率，求出2009年的就容易了．
【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为，
根据题意，得．
解得，（不合题意，舍去）．
．
答：2007年该企业盈利1800万元．
（2）．
答：预计2009年该企业盈利2592万元．
【点评】本题考查的是增长率的问题．增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．
23．是等边三角形，点是射线上的一个动点（点不与点、重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交射线、于点、，连接．
（1）如图（a）所示，当点在线段上时．
①求证：；
②探究四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由；
（2）如图（b）所示，当点在的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；
（3）在（2）的情况下，当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并说明理由．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等；②四边形是平行四边形，因为，所以可得，进而证明，则可得到又，所以四边形是平行四边形；
（2）根据（1）的思路解答即可．
（3）当时，四边形是菱形，由（1）可知，可得，再证明，即邻边相等的平行四边形是菱形．
【解答】证明：（1）①和都是等边三角形，
，，．
又，，
，
．
②方法一：由①得，
．
又，
，
．
又，
四边形是平行四边形．
方法二：证出，得．
，
四边形是平行四边形．
（2）①②都成立．
（3）当或或时，四边形是菱形．
理由：方法一：由①得，
又，
．
由②得四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
方法二：由①得，
．
又四边形是菱形，
．
方法三：四边形是平行四边形，
，，
，
，是等边三角形．
又，四边形是菱形，
，
，
，
．
【点评】本题主要考了平行线四边形的判定和性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定，解题关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论．