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北京市丰台区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
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这是一份北京市丰台区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题，共47页。试卷主要包含了计算，解方程，已知关于x的一元二次方程，小朋在学习过程中遇到一个函数等内容，欢迎下载使用。
北京市丰台区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
1．（2022·北京丰台·九年级期末）计算：．
2．（2022·北京丰台·九年级期末）解方程：.
3．（2022·北京丰台·九年级期末）下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在上．
求作：直线PA和相切．
作法：如图，
①连接AO；
②以A为圆心，AO长为半径作弧，与的一个交点为B；
③连接BO；
④以B为圆心，BO长为半径作圆；
⑤作的直径OP；
⑥作直线PA．
所以直线PA就是所求作的的切线．
根据小亮设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：在中，连接BA．
∵，，
∴．
∴点A在上．
∵OP是的直径，
∴（______）（填推理的依据）．
∴．
又∵点A在上，
∴PA是的切线（______）（填推理的依据）．
4．（2022·北京丰台·九年级期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若，且该方程的两个实数根的差为1，求k的值．
5．（2022·北京丰台·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线与y轴的交点为C，求的面积．
6．（2022·北京丰台·九年级期末）小宇和小伟玩“石头、剪刀、布”的游戏．这个游戏的规则是：“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，“石头”胜“剪刀”，手势相同不分胜负．如果二人同时随机出手（分别出三种手势中的一种手势）一次，那么小宇获胜的概率是多少？
7．（2022·北京丰台·九年级期末）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
8．（2022·北京丰台·九年级期末）如图，AB是的直径，PA，PC是的切线，A，C是切点，连接AC，PO，交点为D．
(1)求证：；
(2)延长PO交于点E，连接BE，CE．若，，求AB的长．
9．（2022·北京丰台·九年级期末）小朋在学习过程中遇到一个函数．
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
(1)观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有______值（填“最大”或“最小”），这个值是______；
(2)进一步研究，当时，y与x的几组对应值如下表：
x
0
1
2
3
4
…
y
0
2
1
0
2
…
结合上表，画出当时，函数的图象；
(3)结合（1）（2）的分析，解决问题：
若关于x的方程有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为______（结果保留小数点后一位）．
10．（2022·北京丰台·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上任意两点．
(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
(2)若，，比较与的大小，并说明理由；
(3)若对于，，都有，直接写出m的取值范围．
11．（2022·北京丰台·九年级期末）如图，在中，，，D是边BC上一点，作射线AD，满足，在射线AD取一点E，且．将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到线段AF，连接BE，FE，连接FC并延长交BE于点G．
(1)依题意补全图形；
(2)求的度数；
(3)连接GA，用等式表示线段GA，GB，GC之间的数量关系，并证明．
12．（2022·北京丰台·九年级期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：若图形M和图形N有且只有一个公共点P，则称点P是图形M和图形N的“关联点”．
已知点，，，．
(1)直线l经过点A，的半径为2，在点A，C，D中，直线l和的“关联点”是______；
(2)G为线段OA中点，Q为线段DG上一点（不与点D，G重合），若和有“关联点”，求半径r的取值范围；
(3)的圆心为点，半径为t，直线m过点A且不与x轴重合．若和直线m的“关联点”在直线上，请直接写出b的取值范围．
13．（2021·北京丰台·九年级期末）已知二次函数．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
（3）当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
14．（2021·北京丰台·九年级期末）如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，且．
（1）求证：ADE∽ACB；
（2）若∠B=55°，∠ADE =75°，求∠A的度数．
15．（2021·北京丰台·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点坐标分别是A(1，0)，O(0，0)，B(2，2)．
（1）画出A1OB1，使A1OB1与AOB关于点O中心对称；
（2）以点O为位似中心，将AOB放大为原来的2倍，得到A2OB2，画出一个满足条件的A2OB2．
16．（2021·北京丰台·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4，0)，C(0，2)．点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数（）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．
（1）求点D的坐标和k的值；
（2）反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M， N两点）记为图形Ｇ，求图形Ｇ上点的横坐标x的取值范围．
17．（2021·北京丰台·九年级期末）如图， AC与⊙O相切于点C， AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．
18．（2021·北京丰台·九年级期末）在倡议“绿色环保，公交出行”的活动中，学生小志对公交车的计价方式进行了研究．他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有：“10公里以内（含）票价2元，每增加5公里以内（含）加价1元”，如下图．
小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，乘客可以按照如下方法计算票价：
①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间(含0和10，下同)，则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数在16至20之间，则票价为4元，以此类推．
②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折．
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，那么原票价应为 元，他使用学生卡实际支付 元；
（2）学生乙使用学生卡乘339路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了1元，则他在佃起村上车的概率为 ．
19．（2021·北京丰台·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）过点(4，0)．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）已知点A(0，a)，将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点B，再将点B向右平移2个单位长度得到点C，求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求a的取值范围．
20．（2021·北京丰台·九年级期末）已知正方形ABCD，点E是CB延长线上一点，位置如图所示，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF．
（1）求证：；
（2）作点B关于直线AE的对称点M，连接BM，FM．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段CF，AF，BM之间的数量关系，并证明．
21．（2021·北京丰台·九年级期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在点Q，使得OQ=kOP，k为正数，则称点P为图形M的k倍等距点．已知点A(－2，2)，B(2，2)．
（1）在点C(1，0)，D(0，-2)，E(1，1)中，线段AB的2倍等距点是 ；
（2）画出线段AB的所有2倍等距点形成的图形（用阴影表示），并求该图形的面积；
（3）已知直线y=－x+b与x轴，y轴的交点分别为点F， G，若线段FG上存在线段AB的2倍等距点，直接写出b的取值范围．
22．（2019·北京丰台·九年级期末）计算：．
23．（2019·北京丰台·九年级期末）如图，四边形是平行四边形，是延长线上的一点，连接交于点．求证：．
24．（2019·北京丰台·九年级期末）已知二次函数．
（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）当0≤x≤3时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
25．（2019·北京丰台·九年级期末）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的两个交点分别为点(，)和点．
（1）求的值和点的坐标；
（2）如果点为轴上的一点，且∠直接写出点A的坐标．
26．（2019·北京丰台·九年级期末）习近平总书记指出，到2020年全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标．为贯彻习总书记的指示，实现精准脱贫，某区相关部门指导对口帮扶地区的村民，加工包装当地特色农产品进行销售，以增加村民收入．已知该特色农产品每件成本10元，日销售量(袋)与每袋的售价(元)之间关系如下表：
每袋的售价(元)
…
20
30
…
日销售量(袋)
…
20
10
…
如果日销售量y (袋)是每袋的售价x(元)的一次函数，请回答下列问题：
（1）求日销售量y(袋)与每袋的售价x(元)之间的函数表达式；
（2）求日销售利润(元)与每袋的售价(元)之间的函数表达式；
（3）当每袋特色农产品以多少元出售时，才能使每日所获得的利润最大？最大利润是多少元？
(提示：每袋的利润=每袋的售价每袋的成本)
27．（2019·北京丰台·九年级期末）中华人民共和国《城市道路路内停车泊位设置规范》规定：
一、在城市道路范围内，在不影响行人、车辆通行的情况下，政府有关部门可以规划停车泊位.停车泊位的排列方式有三种，如图所示：
二、双向通行道路，路幅宽米以上的，可在两侧设停车泊位，路幅宽米到米的，可在单侧设停车泊位，路幅宽米以下的，不能设停车泊位；
三、规定小型停车泊位，车位长米，车位宽米；
四、设置城市道路路内机动车停车泊位后，用于单向通行的道路宽度应不小于米.
根据上述的规定，在不考虑车位间隔线和车道间隔线的宽度的情况下，如果在一条路幅宽为米的双向通行车道设置同一种排列方式的小型停车泊位，请回答下列问题：
（1）可在该道路两侧设置停车泊位的排列方式为 ；
（2）如果这段道路长米，那么在道路两侧最多可以设置停车泊位 个.
(参考数据：，)
28．（2019·北京丰台·九年级期末）如图，点O为∠ABC的边上的一点，过点O作OM⊥AB于点，到点的距离等于线段OM的长的所有点组成图形．图形W与射线交于E，F两点(点在点F的左侧).
（1）过点作于点，如果BE=2，，求MH的长；
（2）将射线BC绕点B顺时针旋转得到射线BD，使得∠，判断射线BD与图形公共点的个数，并证明．
29．（2019·北京丰台·九年级期末）在二次函数的学习中，教材有如下内容：
小聪和小明通过例题的学习，体会到利用函数图象可以求出方程的近似解.于是他们尝试利用图象法探究方程的近似解，做法如下：
请你选择小聪或小明的做法，求出方程的近似解(精确到0.1).
30．（2019·北京丰台·九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线：沿轴翻折得到抛物线.
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
① 当时，求抛物线和围成的封闭区域内(包括边界)整点的个数；
② 如果抛物线C1和C2围成的封闭区域内(包括边界)恰有个整点，求m取值范围．
31．（2019·北京丰台·九年级期末）如图，∠MAN=90°，，分别为射线，上的两个动点，将线段绕点逆时针旋转到，连接交于点．
（1）当∠ACB=30°时，依题意补全图形，并直接写出的值；
（2）写出一个∠ACB的度数，使得，并证明．
32．（2019·北京丰台·九年级期末）平面直角坐标系中有点和某一函数图象，过点作轴的垂线，交图象于点，设点，的纵坐标分别为，．如果，那么称点为图象的上位点；如果，那么称点为图象的图上点；如果，那么称点为图象的下位点．
（1）已知抛物线.
① 在点A(-1，0)，B(0，-2)，C(2，3)中，是抛物线的上位点的是 ；
② 如果点是直线的图上点，且为抛物线的上位点，求点的横坐标的取值范围；
（2）将直线在直线下方的部分沿直线翻折，直线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记作图象．⊙的圆心在轴上，半径为．如果在图象和⊙上分别存在点和点F，使得线段EF上同时存在图象的上位点，图上点和下位点，求圆心的横坐标的取值范围．
参考答案：
1．
【分析】根据二次根式的性质化简，化简绝对值，进行实数的混合运算即可
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质化简，化简绝对值是解题的关键．
2．
【分析】将方程的左边因式分解后即可求得方程的解
【详解】解：因式分解得：（x+1）（x-3）=0，
即x+1=0或x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
3．(1)见解析
(2)直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理得到∠OAP＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
(1)
解：补全的图形如图所示；
(2)
证明：在中，连接BA．
∵，，
∴．
∴点A在上．
∵OP是的直径，
∴（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．
∴．
又∵点A在上，
∴PA是的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【点睛】本题考查了作图，切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
4．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）计算，证明即可解题；
（2）利用韦达定理，结合解题．
(1)
证明：
该方程总有两个实数根；
(2)
又
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
5．(1)
(2)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）根据（1）中的解析式求得的坐标，进而根据三角形的面积公式计算即可．
(1)
解：将，代入，得
解得：
(2)
解：由，令，得
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数与轴的交点，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
6．小宇获胜的概率是，见解析．
【分析】根据题意画树状图表示出所有等可能的情况，继而解题．
【详解】解：画树状图如下，
所有机会均等的情况共9种，小宇获胜的概率为：，
答：小宇获胜的概率是．
【点睛】本题考查用列表法或画树状图表示概率，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
7．：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
【分析】设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据冰场的面积是原空地面积的列出方程，解方程后再求通道的宽度即可．
【详解】解：设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据题意列方程得，
，
解得，，（舍去），
则上、下通道的宽度为（米），左、中、右通道的宽度（米），
答：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，列出方程求解．
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接先证明再证明可得 从而可得结论；
（2）如图，先求解 结合求解 再利用建立方程求解即可.
（1）
证明：如图，连接
为的切线，
（2）
解：如图，
而
【点睛】本题考查的是圆的的切线的性质，切线长定理的应用，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的运用切线长定理解题是解本题的关键.
9．(1)最小；0
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据解析式，即可求解；
（2）根据描点法画函数图象；
（3）根据图像法求解即可，作经过点的直线，与的另一个交点的横坐标即为方程的解
（1）
解：∵，
∴y有最小值，这个值是0；
故答案为：最小；0
（2）
根据列表，描点连线，如图，
（3）
依题意，有一个实数根为2，
则过点
的解即为与的交点的横坐标，
且过点
如图，作过点的直线，与交于点
根据函数图象的交点可知点的横坐标约为
则该方程其它的实数根约为
故答案为：
【点睛】本题考查了绝对值与平方的非负性，根据列表描点连线画函数图象，根据函数图象的交点求方程的解，数形结合是解题的关键．
10．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用配方法把抛物线化为从而可得顶点坐标；
（2）由抛物线的对称轴为：直线 可得关于直线对称，从而可得答案；
（3）分三种情况讨论：当 画出图形结合抛物线的对称性可得答案.
(1)
解：
所以抛物线的顶点坐标为：
(2)
解：
抛物线的对称轴为：直线
，，
而
关于直线对称，
(3)
解：当抛物线的对称轴时，如图，
始终在的上方，满足
所以
当时，由抛物线的对称性可得关于的对称点的坐标为：
当时，满足
此时
当时，同理可得 不符合题意，舍去，
综上：对于，，都有，m的取值范围为：
【点睛】本题考查的是把一般式化为顶点式，抛物线的顶点坐标，抛物线的性质，熟练的运用抛物线的对称性与数形结合是解本题的关键.
11．(1)见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据旋转的性质可得，，进而证明，可得，根据角度的转换可得，进而根据三角形的外角性质即可证明；
（3）过点作，证明，进而根据勾股定理以及线段的转换即可得到
(1)
如图，
(2)
将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到线段AF，
,
,
又
即
(3)
证明如下，如图，过点作，
又,
又
，
即
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12．(1)C
(2)
(3)
【分析】（1）作出图形，根据切线的定义结合“关联点”即可求解；
（2）根据题意，为等边三角形，则仅与相切时，和有“关联点”，进而求得半径r的取值范围；
（3）根据关联点以及切线的性质，直径所对的角是直角，找到点的运动轨迹是以为圆心半径为的半圆在轴上的部分，进而即可求得的值．
(1)
解：如图，
，，，,
，轴,.
的半径为2，
直线与相切
直线l和的“关联点”是点
故答案为：
(2)
如图，根据题意与有“关联点”，则与相切，且与相离
,
是等边三角形
为的中点，则
当与相切时，则点为的内心
半径r的取值范围为：
(3)
如图，设和直线m的“关联点”为，，交轴于点，
是的切线，
的圆心为点，半径为t，
轴是的切线
点的运动轨迹是以为圆心半径为的半圆在轴上的部分，则点，
在直线上，
当直线与相切时，即当点与点重合时，最大，
此时与轴交于点，
当点运动到点时，则过点，
则
解得
b的取值范围为：
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，一次函数与坐标轴交点问题，等边三角形的性质，等边三角形的内心的性质，掌握以上知识是解题的关键．
13．（1）(2，-1)；（2）见解析；（3） -1≤y<3．
【分析】（1）将二次函数一般式改为顶点式即可直接写出顶点坐标．
（2）求出二次函数的顶点，与x轴、y轴的交点，即可画出图象．
（3）根据图象即可知y的取值范围．
【详解】（1） ∵，
∴该二次函数图象顶点坐标为(2，-1).
（2） 如图,
（3）根据图象可知当时，最小为-1；当时，．
所以．
【点睛】
本题考查二次函数的顶点式、画二次函数的图象和图象的性质，根据二次函数的解析式求出顶点、与x轴、y轴的交点坐标是解答本题的关键．
14．（1）见解析；（2）50°
【分析】（1）由得，由两边对应成比例且夹角相等得△ADE∽△ACB；
（2）由△ADE∽△ACB，得∠ADE=∠ACB=75°，再由∠B=55°及三角形的内角和为180°可求出∠A．
【详解】（1）证明：∵，
∴.
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）解：∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE=∠ACB，
∵∠ADE=75°，∴∠ACB=75°.
又∵∠B=55°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠B=50°．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，熟记定理是解题的关键．
15．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）分别找到A(1，0)，B(2，2)关于原点中心对称的点A1，B1，再连接O、A1，B1即可；
（2）以点O为位似中心，根据相似比为1：2找到点A2，B2再连接A2，B2，O即可．
【详解】解：（1）如图：A1OB1即为所求作的图形．
（2）如图：A2OB2即为所求作的图形．
【点睛】本题考查作位似图形、中心对称图形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．（1）D(2，1)；k=2；（2）
【分析】（1）根据矩形的性质即可求解D的坐标，从而求解k；
（2）结合矩形的性质可得到M的纵坐标，以及N的横坐标，从而得出结论．
【详解】（1）∵点D是矩形OABC的对角线交点，
∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点，
又∵A(4，0)，C(0，2)，
∴点D的坐标为(2，1)，
∵反比例函数的图象经过点D，
∴，解得：k=2；
（2）由题意可得：点M的纵坐标为2，点N的横坐标为4.
∵点M在反比例函数的图象上，
∴点M的坐标为(1，2)，
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质，求反比例函数的解析式以及反比例函数图像上点的特征，熟练掌握矩形的性质，理解反比例函数图象上点的特征是解题关键．
17．（1）见解析；（2）6
【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质得出∠ODE=∠AOD，∠DEO=∠AOC，根据等腰三角形的性质得出∠OED=∠ODE，即可得出∠AOC=∠AOD，进而证得△AOD≌△AOC（SAS），得到∠ADO=∠ACB=90°，即可证得结论；
（2）由题意，先得到OD=3，然后利用勾股定理求出BO，由切线长定理得到AD=AC，再根据勾股定理，即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接OD，如图：
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠OED=∠AOC，∠ODE=∠AOD，
∴∠AOC=∠AOD.
在△AOD和△AOC中，
∴ △AOD≌△AOC，
∴ ∠ADO=∠ACO.
∵AC与⊙O相切于点C，
∴ ∠ADO=∠ACO=90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵CE=6，
∴OE=OD=OC=3.
在Rt△ODB中，BD=4，OD=3，
∴，
∴BO=5，
∴BC=BO+OC=8.
∵⊙O与AB和AC都相切，
∴AD=AC.
在Rt△ACB中，，
即：，
解得：AC=6；
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
18．（1）3，0.75；（2）
【分析】（1）由题意可得里程数为11公里，则里程数在11到15公里之间，进而问题可求解；
（2）由题意易得学生乙应在里程数为16到20公里之间，则他可能在云岗北区和北京十中之间的站台上车，由此可进行求解．
【详解】解：（1）由题意得：
学生甲乘坐公交车的里程数为14-3=11＜15，
∴票价为3元，使用学生卡打2.5折，即3×0.25=0.75（元），
故答案为：3，0.75；
（2）实际支付了1元，则票价为：(元)，
∴里程数在16和20公里之间，
∴24-8=16，24-4=20，
∴学生乙可能在云岗北区和北京十中之间的六个站台上车，
∴他在佃起村上车的概率为；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键．
19．（1）；（2）(a+2，0)；（3）或
【分析】（1）根据已知条件抛物线（）过点(4，0)，将该点代入到抛物线中即可用含a的代数式表示b；（2）根据旋转的角度和平移的单位长度，即可在平面直角坐标系中表示出点C的坐标；（3）若线段AC与抛物线有公共点，则线段AC有交点，此时可分a>0和a<0两种情况，分别列式计算即可．
【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx过点(4，0)，
∴，
∴.
（2）∵点A(0，a)绕原点O顺时针旋转90°得到点B，
∴点B的坐标为(a，0)，
∵点B向右平移2个单位长度得到点C，
∴点C的坐标为(a+2，0).
（3）（i）如图1，当a>0时，
抛物线y=ax2-4ax开口向上，与x轴交于两点(0，0)，(4，0)，
若线段AC与抛物线有公共点（如图），只需满足：
，
解得：，
（ii）如图2，当a<0时，
抛物线y=ax2-4ax开口向下，与x轴交于两点(0，0)，(4，0).
若线段AC与抛物线有公共点（如图），只需满足：
，
解得：，
综上所述，a的取值范围为或.
【点睛】本题考查了点的平移、旋转、二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数开口方向、图像上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．
20．（1）见详解；（2）①见详解；②CF=AF+BM，证明见详解．
【分析】（1）根据题中的垂直可得到∠FAB+∠AEB=90°，∠BCF+∠AEB=90°，从而可得到答案；
（2）①根据题意补全图形即可；②过点B作BH⊥CF于H，过B作BN⊥BF，交CF于N，令BM与AE交于点G，可证四边形BHFG为正方形，进而得出△FBN为等腰直角三角形，得到FN=BM，再证△ABE≌△CBN，得到CN=AF，即可得到结论．
【详解】（1）证明：由正方形ABCD，可知∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABE=90°，
∴∠FAB+∠AEB=90°，
∵CF⊥AE，
∴∠BCF+∠AEB=90°，
∴；
（2）①如下图所示，
②CF=AF+BM，
过点B作BH⊥CF于H，过B作BN⊥BF，交CF于N，令BM与AE交于点G，
由题可知，∠BGF=∠GFH=∠BHF=90°，AB=CB，
∴四边形BHFG为矩形，
在△ABG与△CBH中，
∴△ABG≌△CBH，
∴BH=BG，
∴矩形BHFG为正方形，
∴∠BFH=45°，BG=FH，
∵BN⊥BF，
∴△FBN为等腰直角三角形，
∵BH⊥CF，
∴ ，
由对称可知，
∴，
∵∠FBN=90°，∠ABE=90°，
∴∠FBE+∠CBN=90°，∠FBE+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠CBN，
在△ABE与△CBN中，
∴△ABE≌△CBN，
∴CN=AF，
∵CN+FN=CF，
∴CF=AF+BM．
【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．
21．（1）点C和点E；（2）见解析；；（3）或．
【分析】（1）先设为线段上一点，再根据图可知，的取值范围，由题意可得，可求出的取值范围，即可求出满足条件的点；
（2）由（1）知，线段的所有倍等距点形成的图形，再根据图形求得面积；
（3）直线y＝−x＋b中的b是变量，−1是常量，直线y＝−x平移的位置由b决定，也决定了与（2）中的阴影部分是否有公共点；还要注意这里的线段FG只是直线y＝−x＋b的一部分；还要进行分类讨论，避免丢解．
【详解】（1）设为线段上一点，
则由图可知，的取值范围是，
，，，
，，，
设线段的倍等距点为，
则，
，
点和点为线段的倍等距点；
故答案为：点和点；
（2）由（1）知，，
线段的所有倍等距点形成的图形如图所示，
由图可知，该图形是环形，
由等距点围成图形的面积；
（3）直线y＝−x＋b由直线y＝−x平移得到，与坐标轴成45°角．
如图，当b＜0时，直线过点（−1，−1）时，b的值最小，由−1＝−（−1）＋b得，b＝−2；当直线过点（0，−1）时，b＝−1，
∴−2≤b≤−1．
当b＞0时，直线过 点（0，1）时，b＝1；直线过点（1，1）时，b的值最大，由1＝−1＋b得，b＝2．
综上所述，−2≤b≤−1或1≤b≤2．
的取值范围是或．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力．
22．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】解：原式
.
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
23．见解析
【分析】先利用平行四边形的性质得出，再利用有两组对应角相等的三角形相似，即可得证．
【详解】证：∵四边形是平行四边形
∴，
∴
在和中
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定定理是解决本题的关键．
24．（1）详见解析；（2）≤≤0
【分析】（1）按照列表，取点，连线的步骤画图即可；
（2）根据图象即可得出答案.
【详解】解：（1）列表如下：
-2
-1
0
1
2
3
5
0
-3
-4
-3
0
函数图象如下图所示：
（2）由图象可知，当0≤x≤3时，≤≤0．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
25．（1）k=1,Q（-1，-1）．（2）
【分析】（1）将点P代入直线中即可求出m的值，再将P点代入反比例函数中即可得出k的值，通过直线与反比例函数联立即可求出Q的坐标；
（2）先求出PQ之间的距离，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求出点A的坐标.
【详解】解：（1）∵点 (，)在直线上，
∴．
∵点 (，)在上，
∴．
∴
∵点为直线与的交点，
∴ 解得
∴点坐标为(，)．
（2）由勾股定理得
∵∠
∴
∴(,0) , (,0)．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合,掌握待定系数法，勾股定理是解题的关键.
26．（1）；（2）P=；（3）当每袋特色农产品以25元出售时，才能使每日所获得的利润最大,最大利润是225元.
【分析】（1）用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据日销售利润=每袋的利润×销售量即可得出日销售利润(元)与每袋的售价(元)之间的函数表达式；
（3）根据二次函数的性质求最大值即可.
【详解】解：（1）设一次函数的表达式为：，
将(，)，(，)代入中得
解得
∴售量(袋)与售价(元)之间的函数表达式为．
(2) ()()
．
(3) () (40)
∴当时，
∴当每袋特色农产品以25元出售时，才能使每日所获得的利润最大,最大利润是225元.
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键.
27．（1）平行式或倾斜式．（2）36．
【分析】（1）对应三种方式分别验证是否合适即可；
（2）分别按照第（1）问选出来的排列方式计算停车泊位，进行比较取较大者即可.
【详解】（1）除去两车道之后道路宽
因为要在道路两旁设置停车泊位，所以每个停车泊位的宽必须小于等于3m，所以方式3垂直式不合适，排除；方式1平行式满足要求，对于房市，它的宽度为，要满足要求，必须有，即，所以当时，方式2倾斜式也能满足要求.
故答案为平行式或倾斜式
（2）若选择平行式，则可设置停车泊位的数量为（个）
若选择倾斜式，每个停车泊位的宽度为 ，要使停车泊位尽可能多，就要使宽度尽可能小，所以取，此时每个停车位的宽度为 ，所以可设置停车泊位的数量为（个）
故答案为36
【点睛】本题主要考查理解能力以及锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
28．（1）MH=；（2）1个．
【分析】（1）先根据题意补全图形，然后利用锐角三角函数求出圆的半径即OM的长度，再利用勾股定理求出BM的长度，最后利用可求出MH的长度.
（2）过点O作⊥于点，通过等量代换可知∠∠，从而利用角平分线的性质可知，得出为⊙的切线，从而可确定公共点的个数.
【详解】解：（1）∵到点的距离等于线段的长的所有点组成图形，
∴图形是以为圆心，的长为半径的圆．
根据题意补全图形：
∵于点M，
∴∠．
在△中，
，
∴．
∵
∴，
解得：．
∴．
在△中，
，
∴．
∵
∴
∴．
（2） 解： 1个．
证明：过点O作⊥于点，
∵∠∠，
且∠∠，
∴ ∠∠．
∴．
∴为⊙的切线．
∴射线与图形的公共点个数为1个．
【点睛】本题主要考查解直角三角形和直线与圆的位置关系，掌握圆的相关性质,勾股定理和角平分线的性质是解题的关键.
29．（1）详见解析， ，，．（2）详见解析， ，，．
【分析】分别按照小聪和小明的作法列表，描点，连线画出图象然后找近似值即可.
【详解】解法：选择小聪的作法，
列表并作出函数的图象：
…
-1
0
1
2
…
…
…
根据函数图象，得近似解为 ，，．
解法2：选择小明的作法，
列表并作出函数和的图象：
…
-1
0
1
2
3
…
…
…
…
-2
-1
1
2
…
…
…
根据函数图象，得近似解为 ，，.
【点睛】本题主要考查根据函数图象求方程的近似解，能够画出函数图象是解题的关键.
30．（1）（-1，-1）；（2）①整点有5个．②≤．
【分析】（1）可先求抛物线的顶点坐标，然后找到该店关于x轴对称的点的坐标即为抛物线的顶点坐标.
（2）① 先求出当时，抛物线和的解析式并画在同一个直角坐标系中即可确定整点的个数；
②结合整点的个数，确定抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围，从而代入抛物线解析式中确定m的取值范围.
【详解】（1）∵
∴的顶点坐标为
∵抛物线：沿轴翻折得到抛物线.
∴的顶点坐标为（，）
（2）①当时，，．
根据图象可知，和围成的区域内(包括边界)整点有5个．
②抛物线在和围成的区域内 (包括边界) 恰有个整点，结合函数图象，可得抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为 ≤．
将（1，）代入，得到 ，
将（2，）代入，得到 ，
结合图象可得 ≤．
【点睛】本题主要考查二次函数，掌握二次函数的图象和性质及整点的定义是解题的关键.
31．（1）；（2）∠．
【分析】（1）按照题意补全图形即可，由已知可证△∽△，再由相似三角形的性质可知，从而可得答案；
（2）过点作于点，由已知可证△∽△，从而有，再利用∠ACB的度数可求出，从而可得出答案.
【详解】解：（1）正确补全图形；
∵
∴△∽△
∴
∵
∴．
（2）解：∠．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
过点作于点，
∴
∵，
∴．
∵，
∴．
∵∠．
∴△∽△．
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握旋转的性质及相似三角形的判定是解题的关键.
32．（1）①A，C.②；（2）或.
【分析】（1）①分别将A,B,C三个点的横坐标代入抛物线的解析式中，然后比较求出的函数值与各自点的纵坐标，最后依据上位点的定义判断即可得出答案；
②找到直线与抛物线的两个交点，即可确定点的横坐标的取值范围
（2）当圆与两条直线的反向延长线相切时，为临界点，临界点的两边都满足要求,数形结合求出临界点时圆心的横坐标，即可得出答案.
【详解】解：（1）①当时，，所以A点是抛物线的上位点；
当时，，所以B点不是抛物线的上位点；
当时，，所以C点是抛物线的上位点；
故答案为，.
②∵点是直线的图上点，∴点在上.
又∵点是的上位点，
∴点在与的交点，之间运动.
∵
∴
∴点(，)，(，).
∴.
（2）如图，当圆与两条直线的反向延长线相切时，为临界点，临界点的两边都满足要求.
将沿直线翻折后的直线的解析式为
当时，，∴A(-3,0),OA=3
当时，∴C(0,3),OC=3
∴
∵
∴
∴
∵A(-3,0)
∴
同理可得
∴线段EF上同时存在图象的上位点，图上点和下位点，圆心的横坐标的取值范围为或.
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握上位点，图上点和下位点的概念是解题的关键.
北京市丰台区3年（2020-2022）九年级数学上学期期末试题汇编-03解答题
1．（2022·北京丰台·九年级期末）计算：．
2．（2022·北京丰台·九年级期末）解方程：.
3．（2022·北京丰台·九年级期末）下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在上．
求作：直线PA和相切．
作法：如图，
①连接AO；
②以A为圆心，AO长为半径作弧，与的一个交点为B；
③连接BO；
④以B为圆心，BO长为半径作圆；
⑤作的直径OP；
⑥作直线PA．
所以直线PA就是所求作的的切线．
根据小亮设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：在中，连接BA．
∵，，
∴．
∴点A在上．
∵OP是的直径，
∴（______）（填推理的依据）．
∴．
又∵点A在上，
∴PA是的切线（______）（填推理的依据）．
4．（2022·北京丰台·九年级期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若，且该方程的两个实数根的差为1，求k的值．
5．（2022·北京丰台·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线与y轴的交点为C，求的面积．
6．（2022·北京丰台·九年级期末）小宇和小伟玩“石头、剪刀、布”的游戏．这个游戏的规则是：“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，“石头”胜“剪刀”，手势相同不分胜负．如果二人同时随机出手（分别出三种手势中的一种手势）一次，那么小宇获胜的概率是多少？
7．（2022·北京丰台·九年级期末）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？
8．（2022·北京丰台·九年级期末）如图，AB是的直径，PA，PC是的切线，A，C是切点，连接AC，PO，交点为D．
(1)求证：；
(2)延长PO交于点E，连接BE，CE．若，，求AB的长．
9．（2022·北京丰台·九年级期末）小朋在学习过程中遇到一个函数．
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
(1)观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有______值（填“最大”或“最小”），这个值是______；
(2)进一步研究，当时，y与x的几组对应值如下表：
x
0
1
2
3
4
…
y
0
2
1
0
2
…
结合上表，画出当时，函数的图象；
(3)结合（1）（2）的分析，解决问题：
若关于x的方程有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为______（结果保留小数点后一位）．
10．（2022·北京丰台·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上任意两点．
(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
(2)若，，比较与的大小，并说明理由；
(3)若对于，，都有，直接写出m的取值范围．
11．（2022·北京丰台·九年级期末）如图，在中，，，D是边BC上一点，作射线AD，满足，在射线AD取一点E，且．将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到线段AF，连接BE，FE，连接FC并延长交BE于点G．
(1)依题意补全图形；
(2)求的度数；
(3)连接GA，用等式表示线段GA，GB，GC之间的数量关系，并证明．
12．（2022·北京丰台·九年级期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：若图形M和图形N有且只有一个公共点P，则称点P是图形M和图形N的“关联点”．
已知点，，，．
(1)直线l经过点A，的半径为2，在点A，C，D中，直线l和的“关联点”是______；
(2)G为线段OA中点，Q为线段DG上一点（不与点D，G重合），若和有“关联点”，求半径r的取值范围；
(3)的圆心为点，半径为t，直线m过点A且不与x轴重合．若和直线m的“关联点”在直线上，请直接写出b的取值范围．
13．（2021·北京丰台·九年级期末）已知二次函数．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
（3）当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
14．（2021·北京丰台·九年级期末）如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE，且．
（1）求证：ADE∽ACB；
（2）若∠B=55°，∠ADE =75°，求∠A的度数．
15．（2021·北京丰台·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点坐标分别是A(1，0)，O(0，0)，B(2，2)．
（1）画出A1OB1，使A1OB1与AOB关于点O中心对称；
（2）以点O为位似中心，将AOB放大为原来的2倍，得到A2OB2，画出一个满足条件的A2OB2．
16．（2021·北京丰台·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4，0)，C(0，2)．点D是矩形OABC对角线的交点．已知反比例函数（）在第一象限的图象经过点D，交BC于点M，交AB于点N．
（1）求点D的坐标和k的值；
（2）反比例函数图象在点M到点N之间的部分（包含M， N两点）记为图形Ｇ，求图形Ｇ上点的横坐标x的取值范围．
17．（2021·北京丰台·九年级期末）如图， AC与⊙O相切于点C， AB经过⊙O上的点D，BC交⊙O于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，CE＝6，求AC的长．
18．（2021·北京丰台·九年级期末）在倡议“绿色环保，公交出行”的活动中，学生小志对公交车的计价方式进行了研究．他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有：“10公里以内（含）票价2元，每增加5公里以内（含）加价1元”，如下图．
小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，乘客可以按照如下方法计算票价：
①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间(含0和10，下同)，则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数在16至20之间，则票价为4元，以此类推．
②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折．
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，那么原票价应为 元，他使用学生卡实际支付 元；
（2）学生乙使用学生卡乘339路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了1元，则他在佃起村上车的概率为 ．
19．（2021·北京丰台·九年级期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）过点(4，0)．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）已知点A(0，a)，将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点B，再将点B向右平移2个单位长度得到点C，求点C的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若线段AC与抛物线有公共点，求a的取值范围．
20．（2021·北京丰台·九年级期末）已知正方形ABCD，点E是CB延长线上一点，位置如图所示，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF．
（1）求证：；
（2）作点B关于直线AE的对称点M，连接BM，FM．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段CF，AF，BM之间的数量关系，并证明．
21．（2021·北京丰台·九年级期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在点Q，使得OQ=kOP，k为正数，则称点P为图形M的k倍等距点．已知点A(－2，2)，B(2，2)．
（1）在点C(1，0)，D(0，-2)，E(1，1)中，线段AB的2倍等距点是 ；
（2）画出线段AB的所有2倍等距点形成的图形（用阴影表示），并求该图形的面积；
（3）已知直线y=－x+b与x轴，y轴的交点分别为点F， G，若线段FG上存在线段AB的2倍等距点，直接写出b的取值范围．
22．（2019·北京丰台·九年级期末）计算：．
23．（2019·北京丰台·九年级期末）如图，四边形是平行四边形，是延长线上的一点，连接交于点．求证：．
24．（2019·北京丰台·九年级期末）已知二次函数．
（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）当0≤x≤3时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
25．（2019·北京丰台·九年级期末）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的两个交点分别为点(，)和点．
（1）求的值和点的坐标；
（2）如果点为轴上的一点，且∠直接写出点A的坐标．
26．（2019·北京丰台·九年级期末）习近平总书记指出，到2020年全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标．为贯彻习总书记的指示，实现精准脱贫，某区相关部门指导对口帮扶地区的村民，加工包装当地特色农产品进行销售，以增加村民收入．已知该特色农产品每件成本10元，日销售量(袋)与每袋的售价(元)之间关系如下表：
每袋的售价(元)
…
20
30
…
日销售量(袋)
…
20
10
…
如果日销售量y (袋)是每袋的售价x(元)的一次函数，请回答下列问题：
（1）求日销售量y(袋)与每袋的售价x(元)之间的函数表达式；
（2）求日销售利润(元)与每袋的售价(元)之间的函数表达式；
（3）当每袋特色农产品以多少元出售时，才能使每日所获得的利润最大？最大利润是多少元？
(提示：每袋的利润=每袋的售价每袋的成本)
27．（2019·北京丰台·九年级期末）中华人民共和国《城市道路路内停车泊位设置规范》规定：
一、在城市道路范围内，在不影响行人、车辆通行的情况下，政府有关部门可以规划停车泊位.停车泊位的排列方式有三种，如图所示：
二、双向通行道路，路幅宽米以上的，可在两侧设停车泊位，路幅宽米到米的，可在单侧设停车泊位，路幅宽米以下的，不能设停车泊位；
三、规定小型停车泊位，车位长米，车位宽米；
四、设置城市道路路内机动车停车泊位后，用于单向通行的道路宽度应不小于米.
根据上述的规定，在不考虑车位间隔线和车道间隔线的宽度的情况下，如果在一条路幅宽为米的双向通行车道设置同一种排列方式的小型停车泊位，请回答下列问题：
（1）可在该道路两侧设置停车泊位的排列方式为 ；
（2）如果这段道路长米，那么在道路两侧最多可以设置停车泊位 个.
(参考数据：，)
28．（2019·北京丰台·九年级期末）如图，点O为∠ABC的边上的一点，过点O作OM⊥AB于点，到点的距离等于线段OM的长的所有点组成图形．图形W与射线交于E，F两点(点在点F的左侧).
（1）过点作于点，如果BE=2，，求MH的长；
（2）将射线BC绕点B顺时针旋转得到射线BD，使得∠，判断射线BD与图形公共点的个数，并证明．
29．（2019·北京丰台·九年级期末）在二次函数的学习中，教材有如下内容：
小聪和小明通过例题的学习，体会到利用函数图象可以求出方程的近似解.于是他们尝试利用图象法探究方程的近似解，做法如下：
请你选择小聪或小明的做法，求出方程的近似解(精确到0.1).
30．（2019·北京丰台·九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线：沿轴翻折得到抛物线.
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
① 当时，求抛物线和围成的封闭区域内(包括边界)整点的个数；
② 如果抛物线C1和C2围成的封闭区域内(包括边界)恰有个整点，求m取值范围．
31．（2019·北京丰台·九年级期末）如图，∠MAN=90°，，分别为射线，上的两个动点，将线段绕点逆时针旋转到，连接交于点．
（1）当∠ACB=30°时，依题意补全图形，并直接写出的值；
（2）写出一个∠ACB的度数，使得，并证明．
32．（2019·北京丰台·九年级期末）平面直角坐标系中有点和某一函数图象，过点作轴的垂线，交图象于点，设点，的纵坐标分别为，．如果，那么称点为图象的上位点；如果，那么称点为图象的图上点；如果，那么称点为图象的下位点．
（1）已知抛物线.
① 在点A(-1，0)，B(0，-2)，C(2，3)中，是抛物线的上位点的是 ；
② 如果点是直线的图上点，且为抛物线的上位点，求点的横坐标的取值范围；
（2）将直线在直线下方的部分沿直线翻折，直线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记作图象．⊙的圆心在轴上，半径为．如果在图象和⊙上分别存在点和点F，使得线段EF上同时存在图象的上位点，图上点和下位点，求圆心的横坐标的取值范围．
参考答案：
1．
【分析】根据二次根式的性质化简，化简绝对值，进行实数的混合运算即可
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质化简，化简绝对值是解题的关键．
2．
【分析】将方程的左边因式分解后即可求得方程的解
【详解】解：因式分解得：（x+1）（x-3）=0，
即x+1=0或x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
3．(1)见解析
(2)直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据圆周角定理得到∠OAP＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．
(1)
解：补全的图形如图所示；
(2)
证明：在中，连接BA．
∵，，
∴．
∴点A在上．
∵OP是的直径，
∴（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．
∴．
又∵点A在上，
∴PA是的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．
故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【点睛】本题考查了作图，切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．
4．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）计算，证明即可解题；
（2）利用韦达定理，结合解题．
(1)
证明：
该方程总有两个实数根；
(2)
又
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
5．(1)
(2)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）根据（1）中的解析式求得的坐标，进而根据三角形的面积公式计算即可．
(1)
解：将，代入，得
解得：
(2)
解：由，令，得
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数与轴的交点，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
6．小宇获胜的概率是，见解析．
【分析】根据题意画树状图表示出所有等可能的情况，继而解题．
【详解】解：画树状图如下，
所有机会均等的情况共9种，小宇获胜的概率为：，
答：小宇获胜的概率是．
【点睛】本题考查用列表法或画树状图表示概率，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
7．：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
【分析】设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据冰场的面积是原空地面积的列出方程，解方程后再求通道的宽度即可．
【详解】解：设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据题意列方程得，
，
解得，，（舍去），
则上、下通道的宽度为（米），左、中、右通道的宽度（米），
答：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，列出方程求解．
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接先证明再证明可得 从而可得结论；
（2）如图，先求解 结合求解 再利用建立方程求解即可.
（1）
证明：如图，连接
为的切线，
（2）
解：如图，
而
【点睛】本题考查的是圆的的切线的性质，切线长定理的应用，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的运用切线长定理解题是解本题的关键.
9．(1)最小；0
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据解析式，即可求解；
（2）根据描点法画函数图象；
（3）根据图像法求解即可，作经过点的直线，与的另一个交点的横坐标即为方程的解
（1）
解：∵，
∴y有最小值，这个值是0；
故答案为：最小；0
（2）
根据列表，描点连线，如图，
（3）
依题意，有一个实数根为2，
则过点
的解即为与的交点的横坐标，
且过点
如图，作过点的直线，与交于点
根据函数图象的交点可知点的横坐标约为
则该方程其它的实数根约为
故答案为：
【点睛】本题考查了绝对值与平方的非负性，根据列表描点连线画函数图象，根据函数图象的交点求方程的解，数形结合是解题的关键．
10．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用配方法把抛物线化为从而可得顶点坐标；
（2）由抛物线的对称轴为：直线 可得关于直线对称，从而可得答案；
（3）分三种情况讨论：当 画出图形结合抛物线的对称性可得答案.
(1)
解：
所以抛物线的顶点坐标为：
(2)
解：
抛物线的对称轴为：直线
，，
而
关于直线对称，
(3)
解：当抛物线的对称轴时，如图，
始终在的上方，满足
所以
当时，由抛物线的对称性可得关于的对称点的坐标为：
当时，满足
此时
当时，同理可得 不符合题意，舍去，
综上：对于，，都有，m的取值范围为：
【点睛】本题考查的是把一般式化为顶点式，抛物线的顶点坐标，抛物线的性质，熟练的运用抛物线的对称性与数形结合是解本题的关键.
11．(1)见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据旋转的性质可得，，进而证明，可得，根据角度的转换可得，进而根据三角形的外角性质即可证明；
（3）过点作，证明，进而根据勾股定理以及线段的转换即可得到
(1)
如图，
(2)
将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到线段AF，
,
,
又
即
(3)
证明如下，如图，过点作，
又,
又
，
即
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12．(1)C
(2)
(3)
【分析】（1）作出图形，根据切线的定义结合“关联点”即可求解；
（2）根据题意，为等边三角形，则仅与相切时，和有“关联点”，进而求得半径r的取值范围；
（3）根据关联点以及切线的性质，直径所对的角是直角，找到点的运动轨迹是以为圆心半径为的半圆在轴上的部分，进而即可求得的值．
(1)
解：如图，
，，，,
，轴,.
的半径为2，
直线与相切
直线l和的“关联点”是点
故答案为：
(2)
如图，根据题意与有“关联点”，则与相切，且与相离
,
是等边三角形
为的中点，则
当与相切时，则点为的内心
半径r的取值范围为：
(3)
如图，设和直线m的“关联点”为，，交轴于点，
是的切线，
的圆心为点，半径为t，
轴是的切线
点的运动轨迹是以为圆心半径为的半圆在轴上的部分，则点，
在直线上，
当直线与相切时，即当点与点重合时，最大，
此时与轴交于点，
当点运动到点时，则过点，
则
解得
b的取值范围为：
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，一次函数与坐标轴交点问题，等边三角形的性质，等边三角形的内心的性质，掌握以上知识是解题的关键．
13．（1）(2，-1)；（2）见解析；（3） -1≤y<3．
【分析】（1）将二次函数一般式改为顶点式即可直接写出顶点坐标．
（2）求出二次函数的顶点，与x轴、y轴的交点，即可画出图象．
（3）根据图象即可知y的取值范围．
【详解】（1） ∵，
∴该二次函数图象顶点坐标为(2，-1).
（2） 如图,
（3）根据图象可知当时，最小为-1；当时，．
所以．
【点睛】
本题考查二次函数的顶点式、画二次函数的图象和图象的性质，根据二次函数的解析式求出顶点、与x轴、y轴的交点坐标是解答本题的关键．
14．（1）见解析；（2）50°
【分析】（1）由得，由两边对应成比例且夹角相等得△ADE∽△ACB；
（2）由△ADE∽△ACB，得∠ADE=∠ACB=75°，再由∠B=55°及三角形的内角和为180°可求出∠A．
【详解】（1）证明：∵，
∴.
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）解：∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE=∠ACB，
∵∠ADE=75°，∴∠ACB=75°.
又∵∠B=55°，
∴∠A=180°-∠ACB-∠B=50°．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，熟记定理是解题的关键．
15．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）分别找到A(1，0)，B(2，2)关于原点中心对称的点A1，B1，再连接O、A1，B1即可；
（2）以点O为位似中心，根据相似比为1：2找到点A2，B2再连接A2，B2，O即可．
【详解】解：（1）如图：A1OB1即为所求作的图形．
（2）如图：A2OB2即为所求作的图形．
【点睛】本题考查作位似图形、中心对称图形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．（1）D(2，1)；k=2；（2）
【分析】（1）根据矩形的性质即可求解D的坐标，从而求解k；
（2）结合矩形的性质可得到M的纵坐标，以及N的横坐标，从而得出结论．
【详解】（1）∵点D是矩形OABC的对角线交点，
∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点，
又∵A(4，0)，C(0，2)，
∴点D的坐标为(2，1)，
∵反比例函数的图象经过点D，
∴，解得：k=2；
（2）由题意可得：点M的纵坐标为2，点N的横坐标为4.
∵点M在反比例函数的图象上，
∴点M的坐标为(1，2)，
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质，求反比例函数的解析式以及反比例函数图像上点的特征，熟练掌握矩形的性质，理解反比例函数图象上点的特征是解题关键．
17．（1）见解析；（2）6
【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质得出∠ODE=∠AOD，∠DEO=∠AOC，根据等腰三角形的性质得出∠OED=∠ODE，即可得出∠AOC=∠AOD，进而证得△AOD≌△AOC（SAS），得到∠ADO=∠ACB=90°，即可证得结论；
（2）由题意，先得到OD=3，然后利用勾股定理求出BO，由切线长定理得到AD=AC，再根据勾股定理，即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接OD，如图：
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠OED=∠AOC，∠ODE=∠AOD，
∴∠AOC=∠AOD.
在△AOD和△AOC中，
∴ △AOD≌△AOC，
∴ ∠ADO=∠ACO.
∵AC与⊙O相切于点C，
∴ ∠ADO=∠ACO=90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵CE=6，
∴OE=OD=OC=3.
在Rt△ODB中，BD=4，OD=3，
∴，
∴BO=5，
∴BC=BO+OC=8.
∵⊙O与AB和AC都相切，
∴AD=AC.
在Rt△ACB中，，
即：，
解得：AC=6；
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
18．（1）3，0.75；（2）
【分析】（1）由题意可得里程数为11公里，则里程数在11到15公里之间，进而问题可求解；
（2）由题意易得学生乙应在里程数为16到20公里之间，则他可能在云岗北区和北京十中之间的站台上车，由此可进行求解．
【详解】解：（1）由题意得：
学生甲乘坐公交车的里程数为14-3=11＜15，
∴票价为3元，使用学生卡打2.5折，即3×0.25=0.75（元），
故答案为：3，0.75；
（2）实际支付了1元，则票价为：(元)，
∴里程数在16和20公里之间，
∴24-8=16，24-4=20，
∴学生乙可能在云岗北区和北京十中之间的六个站台上车，
∴他在佃起村上车的概率为；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键．
19．（1）；（2）(a+2，0)；（3）或
【分析】（1）根据已知条件抛物线（）过点(4，0)，将该点代入到抛物线中即可用含a的代数式表示b；（2）根据旋转的角度和平移的单位长度，即可在平面直角坐标系中表示出点C的坐标；（3）若线段AC与抛物线有公共点，则线段AC有交点，此时可分a>0和a<0两种情况，分别列式计算即可．
【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx过点(4，0)，
∴，
∴.
（2）∵点A(0，a)绕原点O顺时针旋转90°得到点B，
∴点B的坐标为(a，0)，
∵点B向右平移2个单位长度得到点C，
∴点C的坐标为(a+2，0).
（3）（i）如图1，当a>0时，
抛物线y=ax2-4ax开口向上，与x轴交于两点(0，0)，(4，0)，
若线段AC与抛物线有公共点（如图），只需满足：
，
解得：，
（ii）如图2，当a<0时，
抛物线y=ax2-4ax开口向下，与x轴交于两点(0，0)，(4，0).
若线段AC与抛物线有公共点（如图），只需满足：
，
解得：，
综上所述，a的取值范围为或.
【点睛】本题考查了点的平移、旋转、二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数开口方向、图像上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．
20．（1）见详解；（2）①见详解；②CF=AF+BM，证明见详解．
【分析】（1）根据题中的垂直可得到∠FAB+∠AEB=90°，∠BCF+∠AEB=90°，从而可得到答案；
（2）①根据题意补全图形即可；②过点B作BH⊥CF于H，过B作BN⊥BF，交CF于N，令BM与AE交于点G，可证四边形BHFG为正方形，进而得出△FBN为等腰直角三角形，得到FN=BM，再证△ABE≌△CBN，得到CN=AF，即可得到结论．
【详解】（1）证明：由正方形ABCD，可知∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABE=90°，
∴∠FAB+∠AEB=90°，
∵CF⊥AE，
∴∠BCF+∠AEB=90°，
∴；
（2）①如下图所示，
②CF=AF+BM，
过点B作BH⊥CF于H，过B作BN⊥BF，交CF于N，令BM与AE交于点G，
由题可知，∠BGF=∠GFH=∠BHF=90°，AB=CB，
∴四边形BHFG为矩形，
在△ABG与△CBH中，
∴△ABG≌△CBH，
∴BH=BG，
∴矩形BHFG为正方形，
∴∠BFH=45°，BG=FH，
∵BN⊥BF，
∴△FBN为等腰直角三角形，
∵BH⊥CF，
∴ ，
由对称可知，
∴，
∵∠FBN=90°，∠ABE=90°，
∴∠FBE+∠CBN=90°，∠FBE+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠CBN，
在△ABE与△CBN中，
∴△ABE≌△CBN，
∴CN=AF，
∵CN+FN=CF，
∴CF=AF+BM．
【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．
21．（1）点C和点E；（2）见解析；；（3）或．
【分析】（1）先设为线段上一点，再根据图可知，的取值范围，由题意可得，可求出的取值范围，即可求出满足条件的点；
（2）由（1）知，线段的所有倍等距点形成的图形，再根据图形求得面积；
（3）直线y＝−x＋b中的b是变量，−1是常量，直线y＝−x平移的位置由b决定，也决定了与（2）中的阴影部分是否有公共点；还要注意这里的线段FG只是直线y＝−x＋b的一部分；还要进行分类讨论，避免丢解．
【详解】（1）设为线段上一点，
则由图可知，的取值范围是，
，，，
，，，
设线段的倍等距点为，
则，
，
点和点为线段的倍等距点；
故答案为：点和点；
（2）由（1）知，，
线段的所有倍等距点形成的图形如图所示，
由图可知，该图形是环形，
由等距点围成图形的面积；
（3）直线y＝−x＋b由直线y＝−x平移得到，与坐标轴成45°角．
如图，当b＜0时，直线过点（−1，−1）时，b的值最小，由−1＝−（−1）＋b得，b＝−2；当直线过点（0，−1）时，b＝−1，
∴−2≤b≤−1．
当b＞0时，直线过 点（0，1）时，b＝1；直线过点（1，1）时，b的值最大，由1＝−1＋b得，b＝2．
综上所述，−2≤b≤−1或1≤b≤2．
的取值范围是或．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力．
22．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】解：原式
.
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
23．见解析
【分析】先利用平行四边形的性质得出，再利用有两组对应角相等的三角形相似，即可得证．
【详解】证：∵四边形是平行四边形
∴，
∴
在和中
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定定理是解决本题的关键．
24．（1）详见解析；（2）≤≤0
【分析】（1）按照列表，取点，连线的步骤画图即可；
（2）根据图象即可得出答案.
【详解】解：（1）列表如下：
-2
-1
0
1
2
3
5
0
-3
-4
-3
0
函数图象如下图所示：
（2）由图象可知，当0≤x≤3时，≤≤0．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
25．（1）k=1,Q（-1，-1）．（2）
【分析】（1）将点P代入直线中即可求出m的值，再将P点代入反比例函数中即可得出k的值，通过直线与反比例函数联立即可求出Q的坐标；
（2）先求出PQ之间的距离，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求出点A的坐标.
【详解】解：（1）∵点 (，)在直线上，
∴．
∵点 (，)在上，
∴．
∴
∵点为直线与的交点，
∴ 解得
∴点坐标为(，)．
（2）由勾股定理得
∵∠
∴
∴(,0) , (,0)．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合,掌握待定系数法，勾股定理是解题的关键.
26．（1）；（2）P=；（3）当每袋特色农产品以25元出售时，才能使每日所获得的利润最大,最大利润是225元.
【分析】（1）用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据日销售利润=每袋的利润×销售量即可得出日销售利润(元)与每袋的售价(元)之间的函数表达式；
（3）根据二次函数的性质求最大值即可.
【详解】解：（1）设一次函数的表达式为：，
将(，)，(，)代入中得
解得
∴售量(袋)与售价(元)之间的函数表达式为．
(2) ()()
．
(3) () (40)
∴当时，
∴当每袋特色农产品以25元出售时，才能使每日所获得的利润最大,最大利润是225元.
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键.
27．（1）平行式或倾斜式．（2）36．
【分析】（1）对应三种方式分别验证是否合适即可；
（2）分别按照第（1）问选出来的排列方式计算停车泊位，进行比较取较大者即可.
【详解】（1）除去两车道之后道路宽
因为要在道路两旁设置停车泊位，所以每个停车泊位的宽必须小于等于3m，所以方式3垂直式不合适，排除；方式1平行式满足要求，对于房市，它的宽度为，要满足要求，必须有，即，所以当时，方式2倾斜式也能满足要求.
故答案为平行式或倾斜式
（2）若选择平行式，则可设置停车泊位的数量为（个）
若选择倾斜式，每个停车泊位的宽度为 ，要使停车泊位尽可能多，就要使宽度尽可能小，所以取，此时每个停车位的宽度为 ，所以可设置停车泊位的数量为（个）
故答案为36
【点睛】本题主要考查理解能力以及锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
28．（1）MH=；（2）1个．
【分析】（1）先根据题意补全图形，然后利用锐角三角函数求出圆的半径即OM的长度，再利用勾股定理求出BM的长度，最后利用可求出MH的长度.
（2）过点O作⊥于点，通过等量代换可知∠∠，从而利用角平分线的性质可知，得出为⊙的切线，从而可确定公共点的个数.
【详解】解：（1）∵到点的距离等于线段的长的所有点组成图形，
∴图形是以为圆心，的长为半径的圆．
根据题意补全图形：
∵于点M，
∴∠．
在△中，
，
∴．
∵
∴，
解得：．
∴．
在△中，
，
∴．
∵
∴
∴．
（2） 解： 1个．
证明：过点O作⊥于点，
∵∠∠，
且∠∠，
∴ ∠∠．
∴．
∴为⊙的切线．
∴射线与图形的公共点个数为1个．
【点睛】本题主要考查解直角三角形和直线与圆的位置关系，掌握圆的相关性质,勾股定理和角平分线的性质是解题的关键.
29．（1）详见解析， ，，．（2）详见解析， ，，．
【分析】分别按照小聪和小明的作法列表，描点，连线画出图象然后找近似值即可.
【详解】解法：选择小聪的作法，
列表并作出函数的图象：
…
-1
0
1
2
…
…
…
根据函数图象，得近似解为 ，，．
解法2：选择小明的作法，
列表并作出函数和的图象：
…
-1
0
1
2
3
…
…
…
…
-2
-1
1
2
…
…
…
根据函数图象，得近似解为 ，，.
【点睛】本题主要考查根据函数图象求方程的近似解，能够画出函数图象是解题的关键.
30．（1）（-1，-1）；（2）①整点有5个．②≤．
【分析】（1）可先求抛物线的顶点坐标，然后找到该店关于x轴对称的点的坐标即为抛物线的顶点坐标.
（2）① 先求出当时，抛物线和的解析式并画在同一个直角坐标系中即可确定整点的个数；
②结合整点的个数，确定抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围，从而代入抛物线解析式中确定m的取值范围.
【详解】（1）∵
∴的顶点坐标为
∵抛物线：沿轴翻折得到抛物线.
∴的顶点坐标为（，）
（2）①当时，，．
根据图象可知，和围成的区域内(包括边界)整点有5个．
②抛物线在和围成的区域内 (包括边界) 恰有个整点，结合函数图象，可得抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为 ≤．
将（1，）代入，得到 ，
将（2，）代入，得到 ，
结合图象可得 ≤．
【点睛】本题主要考查二次函数，掌握二次函数的图象和性质及整点的定义是解题的关键.
31．（1）；（2）∠．
【分析】（1）按照题意补全图形即可，由已知可证△∽△，再由相似三角形的性质可知，从而可得答案；
（2）过点作于点，由已知可证△∽△，从而有，再利用∠ACB的度数可求出，从而可得出答案.
【详解】解：（1）正确补全图形；
∵
∴△∽△
∴
∵
∴．
（2）解：∠．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
过点作于点，
∴
∵，
∴．
∵，
∴．
∵∠．
∴△∽△．
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握旋转的性质及相似三角形的判定是解题的关键.
32．（1）①A，C.②；（2）或.
【分析】（1）①分别将A,B,C三个点的横坐标代入抛物线的解析式中，然后比较求出的函数值与各自点的纵坐标，最后依据上位点的定义判断即可得出答案；
②找到直线与抛物线的两个交点，即可确定点的横坐标的取值范围
（2）当圆与两条直线的反向延长线相切时，为临界点，临界点的两边都满足要求,数形结合求出临界点时圆心的横坐标，即可得出答案.
【详解】解：（1）①当时，，所以A点是抛物线的上位点；
当时，，所以B点不是抛物线的上位点；
当时，，所以C点是抛物线的上位点；
故答案为，.
②∵点是直线的图上点，∴点在上.
又∵点是的上位点，
∴点在与的交点，之间运动.
∵
∴
∴点(，)，(，).
∴.
（2）如图，当圆与两条直线的反向延长线相切时，为临界点，临界点的两边都满足要求.
将沿直线翻折后的直线的解析式为
当时，，∴A(-3,0),OA=3
当时，∴C(0,3),OC=3
∴
∵
∴
∴
∵A(-3,0)
∴
同理可得
∴线段EF上同时存在图象的上位点，图上点和下位点，圆心的横坐标的取值范围为或.
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握上位点，图上点和下位点的概念是解题的关键.
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